Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Οι μιγαδικοί αριθμοί ως πίνακες

Περίληψη

Αυτό το μάθημα αντιστοιχίζει σε κάθε μιγαδικό αριθμό z=a+biz = a + bi τον πίνακα του μετασχηματισμού του επιπέδου που πολλαπλασιάζει επί zz, και αποδεικνύει ότι η αντιστοιχία αυτή είναι ένα προς ένα και μετατρέπει τα αθροίσματα σε αθροίσματα και τα γινόμενα σε γινόμενα: οι πίνακες αυτής της μορφής αποτελούν ένα πιστό αντίγραφο των μιγαδικών αριθμών μέσα στους τετραγωνικούς πίνακες τάξης δύο. Σε αυτό το αντίγραφο, η φανταστική μονάδα είναι η στροφή κατά ένα τέταρτο του κύκλου, της οποίας το τετράγωνο είναι ο αντίθετος του μοναδιαίου πίνακα· το τετράγωνο του μέτρου είναι η ορίζουσα, ο συζυγής είναι ο ανάστροφος και ο αντίστροφος είναι ο αντίστροφος πίνακας. Η πολική μορφή αναλύει καθέναν από αυτούς τους πίνακες σε μια στροφή που ακολουθείται από μια ομοιοθεσία, και οι τύποι του Όιλερ και του Ντε Μουάβρ επανεμφανίζονται ως ο κανόνας σύνθεσης των στροφών. Το μάθημα εξηγεί γιατί αυτοί οι πίνακες αντιμετατίθενται, παρότι οι πίνακες γενικά δεν αντιμετατίθενται, και κλείνει με μια πρώτη ματιά στα τετρανίονα του Χάμιλτον, των οποίων το γινόμενο δεν είναι πια αντιμεταθετικό.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να βρίσκει τον πίνακα του πολλαπλασιασμού επί έναν μιγαδικό αριθμό και να αποδεικνύει ότι η αντιστοιχία μεταξύ μιγαδικών και πινάκων διατηρεί το άθροισμα και το γινόμενο.
  2. Να μεταφέρει σε πίνακες το μέτρο, τον συζυγή, τον αντίστροφο και την πολική μορφή ενός μιγαδικού, και να ερμηνεύει γεωμετρικά κάθε μεταφορά.
  3. Να υπολογίζει δυνάμεις, αντιστρόφους και ρίζες μιγαδικών αριθμών μέσω των πινάκων τους, και να αναγνωρίζει στους τύπους του Όιλερ και του Ντε Μουάβρ τη σύνθεση στροφών.
  4. Να εξηγεί γιατί οι πίνακες των μιγαδικών αντιμετατίθενται μεταξύ τους, να αποδεικνύει ότι είναι εκείνοι που αντιμετατίθενται με τη στροφή κατά ένα τέταρτο του κύκλου και να επιβεβαιώνει με τους πίνακές τους ότι το γινόμενο των τετρανίων δεν είναι αντιμεταθετικό.

Ο πίνακας του πολλαπλασιασμού επί έναν μιγαδικό

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τους μιγαδικούς αριθμούς ταυτίσαμε κάθε μιγαδικό x+yix + yi με το σημείο (x,y)(x, y) του επιπέδου και αποδείξαμε ότι ο πολλαπλασιασμός επί ii στρέφει κάθε σημείο κατά ένα τέταρτο του κύκλου γύρω από την αρχή. Αν αυτό ισχύει, ο πολλαπλασιασμός επί έναν σταθερό μιγαδικό zz είναι ένας μετασχηματισμός του επιπέδου, που σε κάθε σημείο ww αντιστοιχίζει το σημείο zwzw. Στο μάθημα για τους πίνακες ως μετασχηματισμούς του επιπέδου αποδείξαμε ότι ένας γραμμικός μετασχηματισμός καθορίζεται από έναν πίνακα, του οποίου οι στήλες είναι οι εικόνες των διανυσμάτων (1,0)(1, 0) και (0,1)(0, 1). Από αυτό προκύπτει το ερώτημα που καθοδηγεί αυτό το μάθημα: ποιος πίνακας αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό επί zz, και τι κερδίζουμε αν παραστήσουμε κάθε μιγαδικό αριθμό με αυτόν τον πίνακα;

ΠρότασηΟ πίνακας του πολλαπλασιασμού επί z

Έστω z=a+biz = a + bi ένας σταθερός μιγαδικός. Ο μετασχηματισμός του επιπέδου που πολλαπλασιάζει κάθε μιγαδικό w=x+yiw = x + yi επί zz είναι γραμμικός· ο πίνακάς του έχει στήλες τους zz και iziz και, αν z≠0z \neq 0, απεικονίζει το μοναδιαίο τετράγωνο σε τετράγωνο πλευράς ∣z∣\abs{z}.

Αναπτύσσουμε το γινόμενο και διαβάζουμε σε αυτό τον πίνακα. Το σχήμα χρησιμοποιεί τον z=2+iz = 2 + i.

Απόδειξη

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    Αναπτύσσουμε το γινόμενο με την επιμεριστική ιδιότητα και θέτουμε i2i^2 στη θέση του −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    Γράφουμε τα σημεία ως διανύσματα στήλες. Οι συντεταγμένες του zwzw είναι συνδυασμοί των xx και yy με σταθερούς συντελεστές: πρόκειται για το γινόμενο ενός πίνακα επί το διάνυσμα του ww, και ο μετασχηματισμός είναι συνεπώς γραμμικός.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    Οι στήλες του πίνακα είναι οι εικόνες του 11 και του ii. Η πρώτη είναι ο zz· η δεύτερη είναι ο iz=−b+aiiz = -b + ai, η στροφή του zz κατά ένα τέταρτο του κύκλου.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    Το μοναδιαίο τετράγωνο, με κορυφές 00, 11, 1+i1 + i και ii, μετασχηματίζεται στο τετράπλευρο με κορυφές 00, zz, z+izz + iz και iziz. Οι πλευρές του που ξεκινούν από την αρχή έχουν το ίδιο μήκος ∣z∣\abs{z} και είναι κάθετες: η εικόνα είναι τετράγωνο πλευράς ∣z∣\abs{z}, στραμμένο σε σχέση με το μοναδιαίο τετράγωνο.

Ο πίνακας που βρήκαμε έχει πολύ ιδιαίτερη μορφή: τα δύο στοιχεία της διαγωνίου του είναι ίσα, και τα άλλα δύο είναι αντίθετα. Πίνακας του μιγαδικού z=a+biz = a + bi, με aa και bb πραγματικούς, λέγεται ο πίνακας του πολλαπλασιασμού επί zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

Η πρώτη στήλη του M(z)M(z) είναι ο ίδιος ο zz, και η δεύτερη είναι ο iziz. Αν χωρίσουμε τα δύο μέρη του μιγαδικού, ο πίνακας αναλύεται σε συνδυασμό δύο σταθερών πινάκων: του μοναδιαίου II, που είναι ο πίνακας του αριθμού 11, και του πίνακα JJ του αριθμού ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

Ειδικότερα, στους πραγματικούς αριθμούς αντιστοιχούν τα πολλαπλάσια του μοναδιαίου πίνακα, M(a)=aIM(a) = aI, που είναι οι ομοιοθεσίες με κέντρο την αρχή, και στους φανταστικούς αριθμούς bibi τα πολλαπλάσια του JJ. Ο κατάλογος των αντιστοιχιών αρχίζει ως εξής.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}