Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ο αντίστροφος πίνακας

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μελετά τον αντίστροφο πίνακα, που κάνει για τους τετραγωνικούς πίνακες ό,τι κάνει ο αντίστροφος για τους μη μηδενικούς αριθμούς. Αποδεικνύει ότι ο αντίστροφος, όταν υπάρχει, είναι μοναδικός· ότι ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν, και ότι σε αυτή την περίπτωση ο αντίστροφος είναι ο προσαρτημένος πίνακας, που σχηματίζεται από τα αλγεβρικά συμπληρώματα, διαιρεμένος με την ορίζουσα· από εκεί παίρνει τον τύπο του αντιστρόφου τάξης δύο. Αποδεικνύει τις ιδιότητες του αντιστρόφου του γινομένου, του ανάστροφου και των δυνάμεων, μεταφράζει κάθε στοιχειώδη πράξη γραμμών στον πολλαπλασιασμό με έναν στοιχειώδη πίνακα και συνάγει από αυτό τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν, που βρίσκει τον αντίστροφο μετασχηματίζοντας τον πίνακα (A,I)\left( A, I \right) σε (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Τέλος, λύνει τις εξισώσεις πινάκων και συγκεντρώνει σε ένα μόνο θεώρημα τις συνθήκες που είναι ισοδύναμες με την αντιστρεψιμότητα, οι οποίες συνδέουν τον αντίστροφο με την ορίζουσα, με τη βαθμίδα και με τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων· από αυτές συνάγει ότι αρκεί να ελεγχθεί ένα από τα δύο γινόμενα του ορισμού, και με τους στοιχειώδεις πίνακες αποδεικνύει ότι η ορίζουσα ενός γινομένου είναι το γινόμενο των οριζουσών.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει τον αντίστροφο πίνακα, να αποδεικνύει τη μοναδικότητά του και να αποφασίζει αν ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος μέσω της ορίζουσάς του.
  2. Να υπολογίζει τον αντίστροφο μέσω του προσαρτημένου πίνακα, ειδικότερα με τον τύπο τάξης δύο, και μέσω της μεθόδου Γκάους-Ζορντάν, αιτιολογώντας και τις δύο διαδικασίες.
  3. Να εφαρμόζει τις ιδιότητες του αντιστρόφου του γινομένου, του ανάστροφου και των δυνάμεων, και να λύνει εξισώσεις πινάκων σεβόμενος τη σειρά των παραγόντων.
  4. Να συνδέει την αντιστρεψιμότητα ενός πίνακα με τη βαθμίδα, με τους στοιχειώδεις πίνακες και με την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων των γραμμικών συστημάτων, και να αποδεικνύει με τους στοιχειώδεις πίνακες ότι η ορίζουσα ενός γινομένου είναι το γινόμενο των οριζουσών.

Ο αντίστροφος πίνακας

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα σύνολα αριθμών είδαμε ότι κάθε μη μηδενικός αριθμός aa έχει αντίστροφο a−1a^{-1}, που επιτρέπει να λυθεί η εξίσωση ax=bax = b πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της με a−1a^{-1}. Στο μάθημα για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες, ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων γράφτηκε ως μία μόνο εξίσωση AX=BAX = B, και ο μοναδιαίος πίνακας II αποδείχθηκε το ουδέτερο στοιχείο του γινομένου. Αν αυτό ισχύει, το φυσικό ερώτημα είναι αν υπάρχει πίνακας που να παίζει, ως προς τον AA, τον ρόλο του αντιστρόφου, ώστε το σύστημα να λύνεται με έναν μόνο πολλαπλασιασμό. Όμως το γινόμενο πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικό, οπότε ο ορισμός πρέπει να απαιτεί και τις δύο ισότητες· και για να έχουν οι ABAB και BABA την ίδια διάσταση με τον II, ο πίνακας AA πρέπει να είναι τετραγωνικός.

Ένας τετραγωνικός πίνακας AA τάξης nn είναι αντιστρέψιμος όταν υπάρχει πίνακας BB τάξης nn τέτοιος ώστε AB=BA=IAB = BA = I, όπου II είναι ο μοναδιαίος πίνακας τάξης nn. Ένας πίνακας BB με αυτή την ιδιότητα λέγεται αντίστροφος του AA.

Για παράδειγμα, οι δύο πίνακες που ακολουθούν είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου, όπως επαληθεύεται αν πολλαπλασιαστούν και κατά τις δύο σειρές:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Δεν είναι κάθε μη μηδενικός πίνακας αντιστρέψιμος, και σε αυτό οι πίνακες διαφέρουν από τους αριθμούς. Ένας πίνακας με μια μηδενική γραμμή δεν είναι, γιατί το γινόμενο αυτής της γραμμής με οποιαδήποτε στήλη είναι 00, οπότε ο ABAB έχει μια μηδενική γραμμή για κάθε BB και δεν μπορεί να είναι ο μοναδιαίος. Ούτε είναι αντιστρέψιμος ένας πίνακας AA για τον οποίο υπάρχει μη μηδενικός CC με AC=0AC = 0, ένας από τους διαιρέτες του μηδενός του μαθήματος για τους πίνακες: αν ο AA είχε αντίστροφο BB, θα ήταν C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0· και ούτε ο CC, γιατί αν είχε αντίστροφο BB θα ήταν A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Για παράδειγμα, ο πίνακας με γραμμές 1,11, 1 και 1,11, 1 πολλαπλασιασμένος με τον πίνακα με γραμμές 1,−11, -1 και −1,1-1, 1 δίνει τον μηδενικό πίνακα, και κανένας από τους δύο δεν είναι αντιστρέψιμος.

ΛήμμαΜοναδικότητα του αντιστρόφου

Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει το πολύ έναν αντίστροφο: αν AB=BA=IAB = BA = I και AD=DA=IAD = DA = I, τότε B=DB = D.

Η απόδειξη είναι εκείνη της μοναδικότητας του αντιθέτου και του αντιστρόφου από το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα σύνολα αριθμών, με τη διαφορά ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η αντιμεταθετικότητα· στη θέση της χρησιμοποιείται μία ισότητα από κάθε πλευρά, μαζί με την προσεταιριστικότητα του γινομένου πινάκων και τον ουδέτερο χαρακτήρα του μοναδιαίου πίνακα, που αποδείχθηκαν στο μάθημα για τους πίνακες. Το σχήμα γράφει κάθε γινόμενο ως μια σειρά παραγόντων και επισημαίνει τους δύο που ομαδοποιούνται.

Απόδειξη

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Ξεκινάμε από τις δύο παραδοχές: οι BB και DD ικανοποιούν, ο καθένας, και τις δύο ισότητες του ορισμού.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Επειδή ο II είναι το ουδέτερο στοιχείο του γινομένου, B=BIB = BI· θέτουμε στη θέση του II το ADAD, που είναι η ισότητα του DD από τα δεξιά.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Με την προσεταιριστικότητα ομαδοποιούμε διαφορετικά και χρησιμοποιούμε την ισότητα του BB από τα αριστερά, BA=IBA = I. Οι δύο παράγοντες που ομαδοποιούνται αλλάζουν, αλλά η σειρά των τριών πινάκων όχι.

Ο μοναδικός αντίστροφος του AA, όταν υπάρχει, συμβολίζεται με A−1A^{-1}. Δεν πρέπει να γράφεται ως κλάσμα 1A\frac{1}{A}, ούτε το γινόμενο BA−1BA^{-1} ως πηλίκο BA\frac{B}{A}: επειδή οι BA−1BA^{-1} και A−1BA^{-1}B είναι, εν γένει, διαφορετικοί, αυτή η γραφή δεν θα έδειχνε από ποια πλευρά γίνεται ο πολλαπλασιασμός. Ο Άρθουρ Κέιλι, που το 1858 θεμελίωσε τον λογισμό με πίνακες, όρισε ήδη τον αντίστροφο μέσω του προσαρτημένου πίνακα της παραγράφου «Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα».