Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Όρια και συνέχεια: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια. Συγκεντρώνει σε μία ενιαία αποδεικτική αλυσίδα όσα απέδειξαν τα δέκα μαθήματα της ενότητας: τον ορισμό του ορίου με έψιλον και δέλτα και τις τοπικές του ιδιότητες, τους κανόνες της άλγεβρας των ορίων ανηγμένους σε τρία λήμματα, το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια· τα πλευρικά όρια, τα όρια στο άπειρο και τα άπειρα όρια, που κληρονομούν αυτούς τους κανόνες μέσω του περιορισμού, της αντιστροφής και του αντιστρόφου, μαζί με τις ασύμπτωτες· και τη συνέχεια, τη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων, τα αξιοσημείωτα όρια και τη σύγκριση συναρτήσεων μέσω ισοδύναμων απειροστών. Εξηγεί πώς η ενότητα στηρίζεται στην Άλγεβρα και γεωμετρία I και II, των οποίων τα γεγονότα που είχαν γίνει δεκτά για τις ασύμπτωτες και τη συνέχεια μετατρέπει σε θεωρήματα, και πώς προετοιμάζει τη μελέτη των παραγώγων και των εφαρμογών τους. Κλείνει με μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη με την αρχική, και με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, καθεμία από τις οποίες συνδυάζει αποτελέσματα πολλών από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκθέτει με λογική σειρά τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα της ενότητας, δείχνοντας από ποια παλαιότερα αποτελέσματα εξαρτάται καθένα και ποια επιχειρήματα με έψιλον και δέλτα επαναχρησιμοποιούνται.
  2. Να διακρίνει όσα η ενότητα δέχεται από όσα αποδεικνύει, και να αναγνωρίζει τις παραδοχές κάθε αποτελέσματος, όπως εκείνη του ορίου σύνθεσης ή εκείνη της αντικατάστασης ισοδυνάμων.
  3. Να συσχετίζει τα αποτελέσματα της ενότητας με την Άλγεβρα και γεωμετρία I και II και με τη μελέτη των παραγώγων και των εφαρμογών τους.
  4. Να λύνει μη τετριμμένα προβλήματα που συνδυάζουν την άλγεβρα των ορίων, τα πλευρικά όρια, τα όρια στο άπειρο και τα άπειρα όρια, τις ασύμπτωτες, τη συνέχεια, τα αξιοσημείωτα όρια και τις ισοδύναμες απειροστές συναρτήσεις.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα ξεκίνησε από ένα ερώτημα και μια απαίτηση. Το ερώτημα: τι σημαίνει ότι οι τιμές μιας συνάρτησης πλησιάζουν έναν αριθμό όταν η μεταβλητή πλησιάζει ένα σημείο. Η απαίτηση: η λύση να επιτρέπει να αποδεικνύουμε, και όχι μόνο να υπολογίζουμε, και κάθε επιχείρημα με έψιλον και δέλτα να γίνεται μία μόνο φορά και να επαναχρησιμοποιείται. Η λύση ήταν ένας μοναδικός ορισμός, διατυπωμένος στο μάθημα για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής: αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού AA της ff, το ότι το όριο της ff στο aa είναι LL σημαίνει τα εξής.

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Όλα τα υπόλοιπα προέκυψαν από αυτόν, με αναγωγή: οι κανόνες υπολογισμού σε μια ανισότητα· τα πλευρικά όρια σε όρια περιορισμών· τα όρια στο άπειρο σε πλευρικά όρια στο μηδέν· τα άπειρα όρια σε μηδενικά όρια των αντιστρόφων· και η συνέχεια στο όριο που ισούται με την τιμή.

Ο ορισμός και η άλγεβρα του ορίου

Το πρώτο μάθημα διάβασε τον ορισμό ως παιχνίδι πρόκλησης και απόκρισης, τον έγραψε ως πρόταση με ποσοδείκτες και πήρε την άρνησή του ποσοδείκτη προς ποσοδείκτη. Με την απαίτηση το aa να είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού απέδειξε τη μοναδικότητα του ορίου· και με προκλήσεις επιλεγμένες εκ των προτέρων, ότι το όριο εξαρτάται μόνο από τις τιμές κοντά στο σημείο, ότι αναγκάζει τη συνάρτηση να μένει φραγμένη κοντά σε αυτό και ότι, αν δεν είναι μηδέν, της επιβάλλει το πρόσημό του. Το μάθημα για την άλγεβρα των ορίων οργάνωσε τις αποδείξεις ώστε να επαναχρησιμοποιούνται: τρία λήμματα, αποδεδειγμένα με έψιλον και δέλτα, δείχνουν ότι κάθε συνάρτηση FF που ικανοποιεί κοντά στο aa ένα φράγμα της μορφής ∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right) τείνει στο KK, και κάθε κανόνας ανάχθηκε στην εύρεση ενός τέτοιου φράγματος: ο κανόνας του γραμμικού συνδυασμού προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα, ο κανόνας του γινομένου από την τοπική φραγή και ο κανόνας του αντιστρόφου από τη διατήρηση του προσήμου, με ένα λήμμα που εξασφαλίζει ότι ο περιορισμός του πεδίου ορισμού δεν χάνει το όριο. Από εκεί προέκυψαν η άμεση αντικατάσταση στα πολυώνυμα και στις ρητές συναρτήσεις, τα όρια των ριζών και των δυνάμεων με ρητό εκθέτη, και το θεώρημα της σύνθεσης, που δικαιολογεί την αλλαγή μεταβλητής με μια παραδοχή που ένα αντιπαράδειγμα δείχνει αναγκαία: η εσωτερική συνάρτηση να μην παίρνει την τιμή του ορίου της κοντά στο σημείο. Το μάθημα για το θεώρημα της παρεμβολής απέδειξε ότι τα όρια διατηρούν τις μη αυστηρές ανισότητες, ότι μια συνάρτηση εγκλωβισμένη ανάμεσα σε δύο που τείνουν στον ίδιο αριθμό τείνει κι αυτή σε αυτόν, και ότι το γινόμενο μιας φραγμένης συνάρτησης επί μια άλλη που τείνει στο μηδέν τείνει στο μηδέν· με το φράγμα ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} και την ανισότητα ημιτόνου, τόξου και εφαπτομένης, πήρε το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 και τις συνέπειές του.

Οι πλευρές, το άπειρο και οι ασύμπτωτες

Το μάθημα για τα πλευρικά όρια τα όρισε ως όρια του περιορισμού της συνάρτησης στη μία πλευρά του σημείου. Αυτή η απόφαση γλίτωσε όλη την υπόλοιπη δουλειά: τα θεωρήματα που είχαν ήδη αποδειχθεί ισχύουν γι' αυτά χωρίς νέα απόδειξη, και το όριο υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα δύο πλευρικά και είναι ίσα. Το ίδιο μάθημα απέδειξε, για πρώτη φορά χωρίς να υπολογίσει την τιμή, ότι ένα όριο υπάρχει: μια αύξουσα συνάρτηση, άνω φραγμένη σε ένα διάστημα, τείνει στο δεξί άκρο του στο supremum των τιμών της, και αυτό το εξασφαλίζει η πληρότητα. Το μάθημα για τα όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο ανήγαγε καθένα από αυτά, με το λήμμα της αντιστροφής, σε ένα πλευρικό όριο στο μηδέν, και πήρε έτσι τη συμπεριφορά των ρητών συναρτήσεων μακριά από την αρχή. Το μάθημα για τα άπειρα όρια συμπλήρωσε το πρότυπο με την περίπτωση όπου οι τιμές αυξάνονται απεριόριστα: το λήμμα του αντιστρόφου τα μεταφράζει σε μηδενικά όρια, έτσι ώστε οι κανόνες που συνοψίζονται ως «∞+c=∞\infty + c = \infty» ή «c⋅∞=∞c \cdot \infty = \infty» είναι θεωρήματα με παραδοχές, και οι τέσσερις απροσδιόριστες μορφές είναι προειδοποιήσεις, όχι αποτελέσματα. Τέλος, το μάθημα για τις ασύμπτωτες τις όρισε με όρια, βρήκε την κλίση και την τεταγμένη επί την αρχή μιας μη κατακόρυφης ασύμπτωτης ως δύο όρια, οπότε υπάρχει το πολύ μία σε κάθε άκρο, απέδειξε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των ρητών συναρτήσεων και οργάνωσε το σκαρίφημα μιας γραφικής παράστασης χωρίς παραγώγους· έδειξε επίσης ότι μια καμπύλη μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της.

Η συνέχεια και η σύγκριση συναρτήσεων

Το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια όρισε τη συνέχεια σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού, απέδειξε ότι σε σημείο συσσώρευσης ισοδυναμεί με το να είναι το όριο ίσο με την τιμή, και ταξινόμησε τις ασυνέχειες σε αιρόμενες, άλματος και ουσιώδεις. Οι κανόνες της άλγεβρας των ορίων έδωσαν τη συνέχεια των πράξεων, και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων αποδείχθηκε συνεχής χωρίς την παραδοχή που απαιτούσε το θεώρημα της σύνθεσης ορίων· από αυτό έπεται ότι το όριο περνά μέσα σε συνεχή συνάρτηση. Το μάθημα για τη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων απέδειξε με ένα μόνο επιχείρημα, εκείνο των μονότονων συναρτήσεων των οποίων η εικόνα είναι διάστημα, τη συνέχεια της εκθετικής, του λογαρίθμου, των δυνάμεων με πραγματικό εκθέτη και των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων· με αυτήν και την ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x πήρε τα αξιοσημείωτα όρια, τον αριθμό ee ως όριο και τη μορφή 1∞1^\infty, και σύγκρινε την εκθετική, τις δυνάμεις και τον λογάριθμο στο άπειρο. Το μάθημα για τις ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις διάβασε όλα αυτά τα όρια ως συγκρίσεις μεταξύ συναρτήσεων: όρισε το μικρό o⁡\operatorname{o}, το μεγάλο O⁡\operatorname{O} και την ισοδυναμία, απέδειξε ότι σε ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο κάθε παράγοντας μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο, και συγκέντρωσε τα παραπάνω όρια σε έναν πίνακα ισοδυνάμων στο μηδέν.

Όσα δεχόμαστε, όσα αποδεικνύουμε και όσα μένουν

Ο απολογισμός της ενότητας μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

  • Γίνεται δεκτό ένα μόνο αξίωμα: το αξίωμα πληρότητας, μαζί με τα αξιώματα σώματος και διάταξης, σύμφωνα με το οποίο κάθε μη κενό άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών έχει supremum. Χρησιμοποιούνται επιπλέον αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί στην Άλγεβρα και γεωμετρία: η ανισότητα ημιτόνου, τόξου και εφαπτομένης, οι τύποι μετατροπής αθροίσματος σε γινόμενο, η ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x, η μονοτονία της εκθετικής και το θεώρημα του παράγοντα.
  • Αποδεικνύονται γεγονότα που η Άλγεβρα και γεωμετρία είχε δεχτεί: οι κατακόρυφες ασύμπτωτες και οι ασύμπτωτες στο άπειρο των ρητών συναρτήσεων, και η συνέχεια των ρητών, των τριγωνομετρικών και των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
  • Επαναχρησιμοποιούνται πέντε εργαλεία αντί να επαναλαμβάνονται επιχειρήματα: τα τρία λήμματα του φράγματος, η διατήρηση του προσήμου, ο περιορισμός του πεδίου ορισμού (ειδικότερα, στη μία πλευρά του σημείου), η αντιστροφή και το αντίστροφο.
  • Μένει για αργότερα ό,τι απαιτεί περισσότερα από όρια: το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και οι παράγωγοι, στην ενότητα που ακολουθεί· το θεώρημα του Βάιερστρας και ο κανόνας του Λοπιτάλ, στην τρίτη· και το πολυώνυμο του Τέιλορ, στον Λογισμό II.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα προέρχονται από την Άλγεβρα και γεωμετρία, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΑξιώματα των πραγματικών. Γίνεται δεκτό, από την Άλγεβρα και γεωμετρία I, ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν πλήρες διατεταγμένο σώμα: η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιούν τα αξιώματα σώματος, η διάταξη ικανοποιεί την τριχοτομία και είναι συμβατή με τις πράξεις, και κάθε μη κενό άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών έχει supremum. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΚληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας. Αποτελέσματα αποδεδειγμένα στην Άλγεβρα και γεωμετρία I και II: η παραγοντοποίηση του un−vnu^n - v^n και η δύναμη με ρητό εκθέτη, οι ανισότητες ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} και sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x αν 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, οι τύποι μετατροπής αθροίσματος σε γινόμενο και υποβιβασμού δυνάμεων, η ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x, η μονοτονία και το σύνολο τιμών της εκθετικής, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, το θεώρημα του παράγοντα και οι πίνακες προσήμων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΚριτήριο του φράγματος. Αν κοντά στο aa ισχύει ∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right), με C>0C > 0, f→Lf \to L και g→Mg \to M, τότε F→KF \to K· κάθε κανόνας ανάγεται στην εύρεση ενός τέτοιου φράγματος. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 4. Τρία λήμματα.
  • DΤοπική φραγή και πρόσημο. Αν η ff τείνει στο LL στο aa, κοντά στο aa ισχύει ∣f(x)∣<∣L∣+1\abs{f(x)} < \abs{L} + 1· και αν L≠0L \neq 0, κοντά στο aa η συνάρτηση έχει το πρόσημο του LL και ∣f(x)∣>∣L∣2\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 3. Τοπικές ιδιότητες.
  • EΑλλαγή μεταβλητής. Αν g(x)→bg(x) \to b, f(t)→Lf(t) \to L όταν t→bt \to b, και g(x)≠bg(x) \neq b κοντά στο aa, τότε f(g(x))→Lf(g(x)) \to L. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 8. Όριο σύνθεσης.
  • FΠεριορισμός. Αν η ff τείνει στο LL στο aa και το aa είναι σημείο συσσώρευσης ενός υποσυνόλου BB του πεδίου ορισμού, ο περιορισμός της ff στο BB τείνει επίσης στο LL· ένα πλευρικό όριο είναι το όριο ενός περιορισμού, και γι' αυτό όλα τα θεωρήματα για τα όρια ισχύουν για τα πλευρικά όρια. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 5. Όριο περιορισμού.
  • GΑντιστροφή. Το όριο της ff στο ∞\infty είναι το όριο της f(1t)f\left(\frac{1}{t}\right) όταν το tt τείνει στο 00 από δεξιά, και το όριο στο −∞-\infty είναι το όριο από αριστερά· γι' αυτό όλα τα θεωρήματα για τα όρια ισχύουν στο άπειρο. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 15. Λήμμα της αντιστροφής.
  • HΑντίστροφο. Μια συνάρτηση τείνει στο ∞\infty αν και μόνο αν είναι θετική κοντά στον προορισμό και το αντίστροφό της τείνει στο 00· γι' αυτό οι κανόνες των πεπερασμένων ορίων κρίνουν τα άπειρα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 17. Λήμμα του αντιστρόφου.

  1. Τμήμα 1 Ο ορισμός και η άλγεβρα του ορίου

    • Να ορίζει το όριο σε σημείο συσσώρευσης με έψιλον και δέλτα, να το γράφει και να το αρνείται ως πρόταση με ποσοδείκτες, και να αποδεικνύει τη μοναδικότητά του και τις τοπικές του ιδιότητες.
    • Να ανάγει κάθε κανόνα της άλγεβρας των ορίων σε ένα φράγμα μέσω τριών λημμάτων, και να βρίσκει τα όρια των ρητών συναρτήσεων, των ριζών και των δυνάμεων.
    • Να αλλάζει μεταβλητή με το θεώρημα της σύνθεσης, αναγνωρίζοντας την παραδοχή του.
    • Να αποδεικνύει το θεώρημα της παρεμβολής και, με αυτό, το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο και τις συνέπειές του.

    1. Ορισμός του ορίου. Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού AA της ff, το όριο της ff στο aa είναι LL όταν (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)· και δεν είναι όταν (∃ε>0)(∀δ>0)(∃x∈A)(0<∣x−a∣<δ∧∣f(x)−L∣≥ε)(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right).

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.

    2. Μοναδικότητα του ορίου. Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της ff, lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L και lim⁡x→af(x)=L′\lim_{x \to a} f(x) = L', τότε L=L′L = L'.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Στηρίζεται σε: A (Αξιώματα των πραγματικών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.

    3. Τοπικές ιδιότητες. Το όριο στο aa εξαρτάται μόνο από τις τιμές της συνάρτησης σε μια τρυπημένη περιοχή του aa· αν lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, κοντά στο aa ισχύει ∣f(x)∣<∣L∣+1\abs{f(x)} < \abs{L} + 1, και αν επιπλέον L≠0L \neq 0, το f(x)f(x) έχει το πρόσημο του LL και ∣f(x)∣>∣L∣2\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Στηρίζεται σε: A (Αξιώματα των πραγματικών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.

    4. Τρία λήμματα. Το όριο της ff στο aa είναι LL αν και μόνο αν το όριο της ∣f(x)−L∣\abs{f(x) - L} είναι 00· αν ∣f(x)−L∣≤C∣h(x)∣\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)} κοντά στο aa, με C>0C > 0 και lim⁡x→ah(x)=0\lim_{x \to a} h(x) = 0, τότε lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L· και το άθροισμα δύο αποστάσεων που τείνουν στο μηδέν τείνει στο μηδέν.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα των ορίων.

    5. Όριο περιορισμού. Αν το BB είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού AA της ff, το aa είναι σημείο συσσώρευσης του BB και lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, τότε ο περιορισμός της ff στο BB τείνει επίσης στο LL στο aa: η απόκριση που χρησιμεύει στο AA χρησιμεύει και στο BB.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα των ορίων.

    6. Άλγεβρα των ορίων. Αν lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L και lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, τότε η αf+βg\alpha f + \beta g τείνει στο αL+βM\alpha L + \beta M και η fgfg στο LMLM· και αν M≠0M \neq 0, η 1g\frac{1}{g} τείνει στο 1M\frac{1}{M} και η fg\frac{f}{g} στο LM\frac{L}{M}.

      Χρησιμοποιεί: 3. Τοπικές ιδιότητες, 4. Τρία λήμματα. Στηρίζεται σε: C (Κριτήριο του φράγματος), D (Τοπική φραγή και πρόσημο), F (Περιορισμός). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα των ορίων.

    7. Πολυώνυμα, ρίζες και δυνάμεις. Ένα πολυώνυμο, και μια ρητή συνάρτηση της οποίας ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται στο aa, έχουν ως όριο στο aa την τιμή τους· η f(x)n\sqrt[n]{f(x)} τείνει στη Ln\sqrt[n]{L}, με f≥0f \geq 0 αν ο nn είναι άρτιος· και αν L>0L > 0, η (f(x))pq\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}} τείνει στο LpqL^{\frac{p}{q}}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου, 6. Άλγεβρα των ορίων. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), C (Κριτήριο του φράγματος), D (Τοπική φραγή και πρόσημο). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα των ορίων.

    8. Όριο σύνθεσης. Αν lim⁡x→ag(x)=b\lim_{x \to a} g(x) = b, lim⁡t→bf(t)=L\lim_{t \to b} f(t) = L και g(x)≠bg(x) \neq b κοντά στο aa, τότε lim⁡x→af(g(x))=L\lim_{x \to a} f(g(x)) = L· χωρίς την παραδοχή g(x)≠bg(x) \neq b, το συμπέρασμα μπορεί να μην ισχύει.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα των ορίων.

    9. Διατήρηση των ανισοτήτων. Αν f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x) κοντά στο aa, lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L και lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, τότε L≤ML \leq M· η αυστηρή ανισότητα δεν διατηρείται.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων. Στηρίζεται σε: D (Τοπική φραγή και πρόσημο). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια.

    10. Θεώρημα της παρεμβολής. Αν h(x)≤f(x)≤g(x)h(x) \leq f(x) \leq g(x) κοντά στο aa και οι hh και gg τείνουν στο LL, τότε και η ff τείνει στο LL· και το γινόμενο μιας συνάρτησης φραγμένης κοντά στο aa επί μια άλλη που τείνει στο 00 τείνει στο 00.

      Χρησιμοποιεί: 4. Τρία λήμματα. Στηρίζεται σε: C (Κριτήριο του φράγματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια.

    11. Ημίτονο και συνημίτονο. Για όλους τους πραγματικούς xx και aa, ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} και ∣cos⁡x−cos⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}· επομένως, lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a\lim_{x \to a} \sin x = \sin a και lim⁡x→acos⁡x=cos⁡a\lim_{x \to a} \cos x = \cos a.

      Χρησιμοποιεί: 4. Τρία λήμματα. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), C (Κριτήριο του φράγματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια.

    12. Θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο. lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1· και όταν το xx τείνει στο 00, το tan⁡xx\frac{\tan x}{x} τείνει στο 11, το sin⁡kxx\frac{\sin kx}{x} στο kk και το 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} στο 12\frac{1}{2}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 10. Θεώρημα της παρεμβολής, 11. Ημίτονο και συνημίτονο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), E (Αλλαγή μεταβλητής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια.

  2. Τμήμα 2 Οι πλευρές, το άπειρο και οι ασύμπτωτες

    • Να ορίζει τα πλευρικά όρια ως όρια περιορισμών, έτσι ώστε να κληρονομούν όλα τα θεωρήματα, και να χαρακτηρίζει το όριο μέσω των δύο πλευρών του.
    • Να συνάγει από την πληρότητα το όριο μιας μονότονης και φραγμένης συνάρτησης ως supremum.
    • Να ανάγει τα όρια στο άπειρο σε πλευρικά όρια στο μηδέν, και τα άπειρα όρια σε μηδενικά όρια, με τους κανόνες τους και τις απροσδιόριστες μορφές τους.
    • Να υπολογίζει τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης με δύο όρια, να αποδεικνύει τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των ρητών συναρτήσεων και να σχεδιάζει σκαριφήματα γραφικών παραστάσεων χωρίς παραγώγους.

    1. Πλευρικά όρια. Το όριο από δεξιά της ff στο aa είναι το όριο στο aa του περιορισμού της στα σημεία του πεδίου ορισμού που είναι μεγαλύτερα από το aa, και το όριο από αριστερά, στα μικρότερα· αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης και από τις δύο πλευρές, η ff έχει όριο LL στο aa αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και ισούνται με LL.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου, 5. Όριο περιορισμού, 2. Μοναδικότητα του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πλευρικά όρια.

    2. Μονότονες συναρτήσεις. Αν η ff είναι αύξουσα και άνω φραγμένη στο (c,b)\ioo{c}{b}, τότε lim⁡x→b−f(x)=sup⁡{f(x):c<x<b}\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}· και αν είναι αύξουσα και κάτω φραγμένη, το όριό της από δεξιά στο cc είναι το infimum των τιμών της.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 13. Πλευρικά όρια. Στηρίζεται σε: A (Αξιώματα των πραγματικών), E (Αλλαγή μεταβλητής), F (Περιορισμός). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πλευρικά όρια.

    3. Λήμμα της αντιστροφής. Το όριο της ff στο ∞\infty είναι LL αν για κάθε ε>0\varepsilon > 0 υπάρχει MM τέτοιο ώστε ∣f(x)−L∣<ε\abs{f(x) - L} < \varepsilon όταν x>Mx > M· και ισχύει lim⁡x→∞f(x)=L⇔lim⁡t→0+f(1t)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L, και με τον ίδιο τρόπο στο −∞-\infty με το όριο από αριστερά.

      Χρησιμοποιεί: 13. Πλευρικά όρια. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο.

    4. Ρητές συναρτήσεις στο άπειρο. Για κάθε ρητό r>0r > 0, η 1xr\frac{1}{x^r} τείνει στο 00 στο ∞\infty· και το πηλίκο δύο πολυωνύμων βαθμών nn και mm τείνει, στο ±∞\pm\infty, στο 00 αν n<mn < m, στο πηλίκο των μεγιστοβάθμιων συντελεστών αν n=mn = m, και δεν έχει πεπερασμένο όριο αν n>mn > m.

      Χρησιμοποιεί: 2. Μοναδικότητα του ορίου, 6. Άλγεβρα των ορίων, 7. Πολυώνυμα, ρίζες και δυνάμεις. Στηρίζεται σε: D (Τοπική φραγή και πρόσημο), F (Περιορισμός), G (Αντιστροφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο.

    5. Λήμμα του αντιστρόφου. Η ff τείνει στο ∞\infty σε έναν προορισμό PP, που είναι ένα σημείο, μια πλευρά ενός σημείου ή το ±∞\pm\infty, αν για κάθε πραγματικό NN ισχύει f(x)>Nf(x) > N κοντά στο PP· αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν η ff είναι θετική κοντά στο PP και η 1f\frac{1}{f} τείνει στο 00· και η ff τείνει στο −∞-\infty αν και μόνο αν η −f-f τείνει στο ∞\infty.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άπειρα όρια.

    6. Κανόνες με άπειρα όρια. Αν f≤gf \leq g κοντά στο PP και η ff τείνει στο ∞\infty, τότε και η gg· αν η ff τείνει στο ∞\infty, τότε και η f+gf + g αν η gg είναι κάτω φραγμένη, και η fgfg αν η gg τείνει σε θετικό αριθμό ή στο ∞\infty· και ένα πηλίκο του οποίου ο αριθμητής τείνει σε θετικό αριθμό και ο παρονομαστής τείνει στο 00 με θετικές τιμές τείνει στο ∞\infty.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων. Στηρίζεται σε: D (Τοπική φραγή και πρόσημο), F (Περιορισμός), G (Αντιστροφή), H (Αντίστροφο). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άπειρα όρια.

    7. Μη φραγμένες μονότονες. Αν η ff είναι αύξουσα στο (c,b)\ioo{c}{b}, με bb πραγματικό ή b=∞b = \infty, και δεν είναι άνω φραγμένη, τότε η ff τείνει στο ∞\infty από αριστερά στο bb, ή στο ∞\infty αν b=∞b = \infty.

      Χρησιμοποιεί: 17. Λήμμα του αντιστρόφου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άπειρα όρια.

    8. Σύνθεση με άπειρο όριο. Αν η gg τείνει στο ∞\infty στο PP και η f(u)f(u) τείνει στο LL όταν το uu τείνει στο ∞\infty, τότε η f(g(x))f(g(x)) τείνει στο LL στο PP, χωρίς καμία παραδοχή για τις τιμές της gg· και το ίδιο αν η f(u)f(u) τείνει στο ∞\infty ή στο −∞-\infty.

      Χρησιμοποιεί: 15. Λήμμα της αντιστροφής, 17. Λήμμα του αντιστρόφου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άπειρα όρια.

    9. Υπολογισμός της ασύμπτωτης. Η ευθεία y=mx+by = mx + b είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ff στο ∞\infty, δηλαδή η f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) τείνει στο 00, αν και μόνο αν m=lim⁡x→∞f(x)xm = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} και b=lim⁡x→∞(f(x)−mx)b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)· επομένως, σε κάθε άκρο υπάρχει το πολύ μία μη κατακόρυφη ασύμπτωτη.

      Χρησιμοποιεί: 2. Μοναδικότητα του ορίου, 6. Άλγεβρα των ορίων, 16. Ρητές συναρτήσεις στο άπειρο. Στηρίζεται σε: G (Αντιστροφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ασύμπτωτες και τεχνικές γραφικής παράστασης.

    10. Κατακόρυφες ασύμπτωτες. Αν το rr είναι ρίζα του πολυωνύμου BB και A(r)≠0A(r) \neq 0, η ευθεία x=rx = r είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της AB\frac{A}{B}, και σε κάθε πλευρά του rr η συνάρτηση τείνει στο ∞\infty ή στο −∞-\infty ανάλογα με το πρόσημο που της αποδίδει ο πίνακας προσήμων στο γειτονικό διάστημα.

      Χρησιμοποιεί: 7. Πολυώνυμα, ρίζες και δυνάμεις, 18. Κανόνες με άπειρα όρια. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), D (Τοπική φραγή και πρόσημο), F (Περιορισμός). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ασύμπτωτες και τεχνικές γραφικής παράστασης.

  3. Τμήμα 3 Η συνέχεια και η σύγκριση συναρτήσεων

    • Να ορίζει τη συνέχεια, να τη συσχετίζει με το όριο και να ταξινομεί τις ασυνέχειες σε αιρόμενες, άλματος και ουσιώδεις.
    • Να αποδεικνύει ότι οι πράξεις και η σύνθεση διατηρούν τη συνέχεια, και ότι το όριο περνά μέσα σε συνεχή συνάρτηση.
    • Να αποδεικνύει τη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων με το επιχείρημα των μονότονων συναρτήσεων και, με αυτήν, τα αξιοσημείωτα όρια και τη μορφή 1∞1^\infty.
    • Να συγκρίνει συναρτήσεις με το μικρό o⁡\operatorname{o} και την ισοδυναμία, και να αντικαθιστά ισοδύναμες σε γινόμενα και πηλίκα, αλλά όχι σε αθροίσματα.

    1. Συνέχεια και όριο. Η ff είναι συνεχής σε ένα σημείο aa του πεδίου ορισμού της AA αν (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)· αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του AA, αυτό ισοδυναμεί με lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), και αν είναι μεμονωμένο σημείο, ισχύει πάντοτε.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός του ορίου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο και συνέχεια.

    2. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις. Οι γραμμικοί συνδυασμοί, τα γινόμενα, τα πηλίκα με μη μηδενικό παρονομαστή και οι ρίζες συναρτήσεων συνεχών στο aa είναι συνεχείς στο aa· επομένως, τα πολυώνυμα, οι ρητές συναρτήσεις, οι ρίζες, η απόλυτη τιμή, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη είναι συνεχείς συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 7. Πολυώνυμα, ρίζες και δυνάμεις, 11. Ημίτονο και συνημίτονο, 23. Συνέχεια και όριο. Στηρίζεται σε: C (Κριτήριο του φράγματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο και συνέχεια.

    3. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Αν η gg είναι συνεχής στο aa και η ff είναι συνεχής στο g(a)g(a), τότε η f∘gf \circ g είναι συνεχής στο aa· και αν η g(x)g(x) τείνει στο bb και η ff είναι συνεχής στο bb, τότε lim⁡x→af(g(x))=f(b)\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b), και από μία πλευρά ή στο ±∞\pm\infty.

      Χρησιμοποιεί: 3. Τοπικές ιδιότητες, 23. Συνέχεια και όριο. Στηρίζεται σε: F (Περιορισμός), G (Αντιστροφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Όριο και συνέχεια.

    4. Συνεχείς στοιχειώδεις συναρτήσεις. Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα, μονότονη σε αυτό και της οποίας η εικόνα είναι διάστημα είναι συνεχής, όπως και η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης με αυτές τις ιδιότητες· γι' αυτό είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους η εκθετική, ο λογάριθμος, οι δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές και οι υπερβολικές συναρτήσεις.

      Χρησιμοποιεί: 13. Πλευρικά όρια, 14. Μονότονες συναρτήσεις, 23. Συνέχεια και όριο, 24. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις, 25. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια.

    5. Αξιοσημείωτα όρια. Όταν το xx τείνει στο 00, οι ex−1x\frac{e^x - 1}{x} και ln⁡(1+x)x\frac{\ln(1 + x)}{x} τείνουν στο 11, η ax−1x\frac{a^x - 1}{x} στο ln⁡a\ln a και η (1+x)r−1x\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x} στο rr· επιπλέον, η (1+x)1x\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} τείνει στο ee στο 00, και η (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x στο ±∞\pm\infty.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 10. Θεώρημα της παρεμβολής, 13. Πλευρικά όρια, 26. Συνεχείς στοιχειώδεις συναρτήσεις, 25. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), E (Αλλαγή μεταβλητής), G (Αντιστροφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια.

    6. Η μορφή ένα εις την άπειρο. Αν f>0f > 0 κοντά στο PP, η f(x)f(x) τείνει στο 11 και η g(x)(f(x)−1)g(x)\left(f(x) - 1\right) τείνει σε έναν πραγματικό λ\lambda, τότε η (f(x))g(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} τείνει στο eλe^{\lambda}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 26. Συνεχείς στοιχειώδεις συναρτήσεις, 25. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, 27. Αξιοσημείωτα όρια. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια.

    7. Εκθετικές, δυνάμεις και λογάριθμοι. Αν r>0r > 0 και a>1a > 1, οι xrax\frac{x^r}{a^x} και ln⁡xxr\frac{\ln x}{x^r} τείνουν στο 00 στο ∞\infty, και η xrln⁡xx^r \ln x τείνει στο 00 όταν το xx τείνει στο 00 από δεξιά.

      Χρησιμοποιεί: 10. Θεώρημα της παρεμβολής, 16. Ρητές συναρτήσεις στο άπειρο, 19. Μη φραγμένες μονότονες, 20. Σύνθεση με άπειρο όριο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), G (Αντιστροφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια.

    8. Σύγκριση συναρτήσεων. f=o⁡(g)f = \operatorname{o}(g) στο PP αν η fg\frac{f}{g} τείνει στο 00, και f∼gf \sim g αν τείνει στο 11· η ισοδυναμία είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, και f∼gf \sim g αν και μόνο αν f−g=o⁡(g)f - g = \operatorname{o}(g).

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις.

    9. Αντικατάσταση ισοδυνάμων. Αν f∼f1f \sim f_1 και g∼g1g \sim g_1 στο PP, τότε η fhg\frac{f h}{g} έχει όριο, πεπερασμένο ή άπειρο, αν και μόνο αν έχει η f1hg1\frac{f_1 h}{g_1}, και τα δύο όρια συμπίπτουν· το θεώρημα ισχύει για παράγοντες, όχι για προσθετέους.

      Χρησιμοποιεί: 6. Άλγεβρα των ορίων, 18. Κανόνες με άπειρα όρια, 30. Σύγκριση συναρτήσεων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις.

    10. Άθροισμα ισοδυνάμων του ίδιου προσήμου. Αν f1∼g1f_1 \sim g_1 και f2∼g2f_2 \sim g_2 στο PP, και οι g1g_1 και g2g_2 είναι αμφότερες θετικές, ή αμφότερες αρνητικές, κοντά στο PP, τότε f1+f2∼g1+g2f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2.

      Χρησιμοποιεί: 4. Τρία λήμματα, 10. Θεώρημα της παρεμβολής, 30. Σύγκριση συναρτήσεων. Στηρίζεται σε: C (Κριτήριο του φράγματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις.

    11. Πίνακας ισοδυνάμων. Στο 00, οι sin⁡x\sin x, tan⁡x\tan x, arctan⁡x\arctan x, ex−1e^x - 1 και ln⁡(1+x)\ln(1 + x) είναι ισοδύναμες με το xx, 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, ax−1∼xln⁡aa^x - 1 \sim x \ln a, (1+x)r−1∼rx\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x, και κάθε πολυώνυμο είναι ισοδύναμο με τον όρο του μικρότερου βαθμού· οι ισοδυναμίες ισχύουν με οποιαδήποτε συνάρτηση που τείνει στο 00 χωρίς να μηδενίζεται στη θέση του xx.

      Χρησιμοποιεί: 7. Πολυώνυμα, ρίζες και δυνάμεις, 12. Θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο, 27. Αξιοσημείωτα όρια. Στηρίζεται σε: E (Αλλαγή μεταβλητής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις.

Προς την παράγωγο. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου το όριο παύει να είναι το αντικείμενο της μελέτης και γίνεται εργαλείο: η ενότητα που ακολουθεί ορίζει την παράγωγο ως το όριο του λόγου μεταβολής, συνάγει τους κανόνες της από την άλγεβρα των ορίων και από τη σύνθεση, τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων από τα αξιοσημείωτα όρια, και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών από τη διατήρηση του προσήμου και την πληρότητα.