Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα που είναι αφιερωμένη στους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή. Συγκεντρώνει τους ορισμούς και τα θεωρήματά της σε μία μόνο αποδεικτική αλυσίδα, η οποία ξεκινά από το θεώρημα του γινομένου σε πολική μορφή και φτάνει, μέσα από τον τύπο του Ντε Μουάβρ, τις ρίζες τάξης nn, τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση και τη γεωμετρία του επιπέδου, στην παραγοντοποίηση των πολυωνύμων και στους τύπους του Καρντάνο και του Φεράρι. Δείχνει τι οφείλει κάθε κρίκος στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I και στις δύο ενότητες αυτού του κύκλου που προηγήθηκαν, και πώς η ενότητα που ακολουθεί, για τους πίνακες και τις αλγεβρικές δομές, ερμηνεύει εκ νέου τα ίδια γεγονότα. Τελειώνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προτεινόμενα προβλήματα της ενότητας, που συνδυάζουν πολλά από τα μαθήματά της.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέσει κανείς την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, από το θεώρημα του γινομένου σε πολική μορφή έως τους τύπους του Καρντάνο και του Φεράρι, δείχνοντας από ποιο αποτέλεσμα εξαρτάται κάθε θεώρημα.
  2. Να συσχετίσει τα αποτελέσματα της ενότητας με εκείνα του πρώτου κύκλου μαθημάτων (επαγωγή, διωνυμικό θεώρημα, μέγιστος κοινός διαιρέτης, πολυώνυμα) και με εκείνα των ενοτήτων που προηγήθηκαν (πολικές συντεταγμένες και τριγωνομετρικοί τύποι) και να προβλέψει την ανάγνωσή τους με πίνακες και δομές στην ενότητα που ακολουθεί.
  3. Να λύνει προβλήματα που απαιτούν να συνδυαστούν η πολική μορφή, οι ρίζες της μονάδας, η μιγαδική εκθετική συνάρτηση, η γεωμετρία με μιγαδικούς και οι τύποι του Βιέτ.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα ξεκίνησε από μια έλλειψη: στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους μιγαδικούς αριθμούς, το γινόμενο δύο μιγαδικών υπολογιζόταν, αλλά δεν γινόταν κατανοητό. Το μάθημα για την πολική μορφή έγραψε κάθε μη μηδενικό μιγαδικό ως r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), απέδειξε ότι αυτή η γραφή είναι μοναδική με απόκλιση πλήρων στροφών και, με τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, απέδειξε το θεώρημα που στηρίζει όλα τα υπόλοιπα: σε ένα γινόμενο, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται. Από αυτό προέκυψε ότι ο πολλαπλασιασμός με έναν μιγαδικό είναι στροφή και ομοιοθεσία, ότι ο συζυγής και ο αντίστροφος έχουν το αντίθετο όρισμα και ότι το πρωτεύον όρισμα ενός γινομένου συμπίπτει με το άθροισμα των πρωτευόντων μόνο με απόκλιση μίας στροφής.

Αν το γινόμενο προσθέτει ορίσματα, η δύναμη τα πολλαπλασιάζει. Το μάθημα για τον τύπο του Ντε Μουάβρ το απέδειξε με επαγωγή για κάθε ακέραιο εκθέτη και, συγκρίνοντας τον τύπο με το διωνυμικό θεώρημα, πήρε τους τύπους των πολλαπλάσιων γωνιών· με το λήμμα zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) γραμμικοποίησε τις δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου, με το γεωμετρικό άθροισμα μιγαδικού λόγου άθροισε ημίτονα και συνημίτονα, και με τη δύναμη (1+i)n(1 + i)^n βρήκε τους διωνυμικούς συντελεστές άρτιου δείκτη και εκείνους περιττού δείκτη με εναλλασσόμενα πρόσημα. Όμως, αν η ύψωση στη δύναμη nn πολλαπλασιάζει τη γωνία επί nn, η εξαγωγή ρίζας τη διαιρεί: το μάθημα για τις ρίζες τάξης nn απέδειξε ότι κάθε μη μηδενικός μιγαδικός έχει ακριβώς nn ρίζες τάξης nn, κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου, ότι οι ρίζες της μονάδας είναι οι δυνάμεις μίας μόνο από αυτές, έχουν άθροισμα μηδέν, παραγοντοποιούν το zn−1z^n - 1 και είναι πρωταρχικές ακριβώς όταν ο δείκτης τους είναι πρώτος προς το nn.

Το μάθημα για τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση παρατήρησε ότι όλοι αυτοί οι κανόνες είναι οι νόμοι των εκθετών και, με τις σειρές της exe^x, του συνημιτόνου και του ημιτόνου, τις οποίες δέχτηκε χωρίς απόδειξη επειδή απαιτούν τον διαφορικό λογισμό, έδειξε ότι το άθροισμα της σειράς της εκθετικής στο iθi\theta είναι cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta. Γι’ αυτό όρισε eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta και ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib}, απέδειξε ότι η εκθετική συνάρτηση μετατρέπει τα αθροίσματα σε γινόμενα και είναι περιοδική με περίοδο 2πi2\pi i, εξέφρασε το συνημίτονο και το ημίτονο με εκθετικές, έκρινε ποιες τριγωνομετρικές ταυτότητες διατηρούνται όταν αυτά επεκτείνονται στους μιγαδικούς, ανακάλυψε μέσα σε αυτά τις υπερβολικές συναρτήσεις και, αντιστρέφοντας την εκθετική, πήρε έναν λογάριθμο με άπειρες τιμές και δυνάμεις με μιγαδικό εκθέτη. Με αυτόν τον συμβολισμό, το μάθημα για τη γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς έγραψε τις στροφές ως c+eiφ(z−c)c + e^{i\varphi}(z - c) και τις ανακλάσεις ως e2iαz‾e^{2i\alpha}\conj{z}, διάβασε τη συνευθειακότητα και την καθετότητα σε ένα πηλίκο, όρισε με το πρόσημο του φανταστικού μέρους αυτού του πηλίκου τον προσανατολισμό ενός τριγώνου και απέδειξε ότι δεν εξαρτάται από την κορυφή από την οποία αρχίζει κανείς, ότι οι παράλληλες μεταφορές και οι στροφές τον διατηρούν και ότι οι ανακλάσεις τον αντιστρέφουν, χαρακτήρισε το ισόπλευρο τρίγωνο με την κυβική ρίζα της μονάδας και απέδειξε το θεώρημα του κύκλου του Απολλωνίου και το θεώρημα του Ναπολέοντα.

Τέλος, το μάθημα για τις πολυωνυμικές εξισώσεις συγκέντρωσε τα πάντα στο έδαφος όπου γεννήθηκαν οι μιγαδικοί. Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη, συνήγαγε ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού nn είναι γινόμενο nn γραμμικών παραγόντων, απέδειξε τους τύπους του Βιέτ και έλυσε τις διώνυμες, τις τριώνυμες και τις αντίστροφες εξισώσεις· ο τύπος του Καρντάνο απαίτησε τις κυβικές ρίζες του μαθήματος για τις ρίζες τάξης nn, η διακρίνουσα ταξινόμησε τις ρίζες της πραγματικής τριτοβάθμιας εξίσωσης, η μη αναγώγιμη περίπτωση λύθηκε με τον τύπο της τριπλάσιας γωνίας, και η μέθοδος του Φεράρι ανήγαγε την τεταρτοβάθμια εξίσωση σε τριτοβάθμια· τα θεωρήματα του Χέλντερ και των Άμπελ-Ρουφίνι, που γίνονται δεκτά, εξήγησαν γιατί η παράκαμψη μέσω των μιγαδικών είναι αναπόφευκτη στη μη αναγώγιμη περίπτωση και γιατί δεν υπάρχουν ανάλογοι τύποι από τον πέμπτο βαθμό και πάνω. Άρα η πλήρης αλυσίδα είναι η εξής: θεώρημα του γινομένου, τύπος του Ντε Μουάβρ, ρίζες τάξης nn, μιγαδική εκθετική συνάρτηση, γεωμετρία του επιπέδου και πολυωνυμικές εξισώσεις, έτσι ώστε κάθε κρίκος να είναι, στην ουσία, μια νέα ανάγνωση του πρώτου.

Αξίζει να απαριθμήσουμε με ακρίβεια όσα η ενότητα δέχεται χωρίς απόδειξη, επειδή είναι λίγα και εντοπισμένα. Από την ευκλείδεια γεωμετρία, τα γεγονότα που συγκεντρώθηκαν στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας, από τα οποία η ενότητα χρειάζεται μόνο την έννοια της ομοιότητας και το ότι η ισότητα των γωνιών συνεπάγεται την αναλογία των πλευρών, στο θεώρημα των όμοιων τριγώνων του γινομένου. Από τον διαφορικό λογισμό, τις σειρές της exe^x, του συνημιτόνου και του ημιτόνου, που το μάθημα για τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιεί για να παρακινήσει τον τύπο του Όιλερ και που αποδεικνύονται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I. Από την άλγεβρα, τρία αποτελέσματα που δηλώνονται στο μάθημα για τις πολυωνυμικές εξισώσεις: το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, από το οποίο εξαρτάται η πλήρης παραγοντοποίηση, και τα θεωρήματα του Χέλντερ και των Άμπελ-Ρουφίνι, που δεν στηρίζουν κανέναν κρίκο και εξηγούν μόνο γιατί η μη αναγώγιμη περίπτωση απαιτεί την παράκαμψη μέσω των μιγαδικών και γιατί δεν υπάρχουν τύποι με ριζικά από τον πέμπτο βαθμό και πάνω. Τέλος, το παράδειγμα της σπείρας των δυνάμεων, στο μάθημα για τον τύπο του Ντε Μουάβρ, αναφέρει χωρίς να τη χρησιμοποιεί την ιδιότητα της λογαριθμικής σπείρας να τέμνει υπό την ίδια γωνία κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή, η οποία αποδεικνύεται επίσης με τον διαφορικό λογισμό. Όλα τα άλλα αποδεικνύονται στην ενότητα, στις δύο που προηγήθηκαν ή στον πρώτο κύκλο μαθημάτων· στην αλυσίδα, τα ευκλείδεια γεγονότα και το θεμελιώδες θεώρημα εμφανίζονται ως στηρίγματα που γίνονται δεκτά, ενώ οι σειρές, που δεν στηρίζουν κανέναν κρίκο επειδή η φανταστική εκθετική υιοθετείται ως ορισμός, όχι.

Το σχήμα που ακολουθεί συγκεντρώνει τα τέσσερα τμήματα της ενότητας σε μία μόνο αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά: το θεώρημα της ισότητας σε πολική μορφή, που θεμελιώνεται στον πρώτο κρίκο, και τα αποτελέσματα ενοτήτων που προηγήθηκαν ή του πρώτου κύκλου μαθημάτων, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΙσότητα σε πολική μορφή. Δύο μιγαδικοί r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) και r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right), με r1r_1 και r2r_2 θετικούς, είναι ίσοι αν και μόνο αν r1=r2r_1 = r_2 και η διαφορά θ1−θ2\theta_1 - \theta_2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 1. Ισότητα σε πολική μορφή.
  • BΤριγωνομετρικοί τύποι. Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, το συνημίτονο και το ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς, η διπλάσια, η μισή και η τριπλάσια γωνία, η αρτιότητα και η περιοδικότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου, οι ρίζες τους, ο χαρακτηρισμός των γωνιών με κοινή τελική πλευρά, η μονοτονία του συνημιτόνου στο [0,π]\icc{0}{\pi} και ο νόμος των συνημιτόνων, που αποδείχθηκαν στις ενότητες 1 και 2, για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και για την αναλυτική τριγωνομετρία. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΕυκλείδεια γεωμετρία. Γίνονται δεκτά, στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου, τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας: το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του, οι παράλληλες, το θεώρημα του Θαλή και η ομοιότητα τριγώνων, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου και το ισοσκελές τρίγωνο. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΑρχή της επαγωγής. Αν μια ιδιότητα ισχύει για τον πρώτο φυσικό και μεταβιβάζεται από κάθε φυσικό στον αμέσως μεγαλύτερο, ισχύει για όλους· αποδείχθηκε στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΔιωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα. Για κάθε φυσικό nn ισχύει (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k, και αν q≠1q \neq 1, τότε 1+q+⋯+qn−1=qn−1q−11 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}· αποδείχθηκαν στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους φυσικούς αριθμούς, και οι δύο υπολογισμοί χρησιμοποιούν μόνο τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και ισχύουν και με μιγαδικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΕυκλείδεια διαίρεση και Μπεζού. Κάθε ακέραιος γράφεται ως qn+rqn + r με 0≤r≤n−10 \leq r \leq n - 1, και αν ΜΚΔ⁡(k,n)=1\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(k, n) = 1, υπάρχουν ακέραιοι xx και yy τέτοιοι ώστε kx+ny=1kx + ny = 1· αποδείχθηκαν στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • GΠραγματική εκθετική συνάρτηση. Η πραγματική εκθετική συνάρτηση είναι θετική, ένα προς ένα και αμφιμονοσήμαντη επί των θετικών πραγματικών, ικανοποιεί την eaec=ea+ce^a e^c = e^{a + c} και ορίζει το υπερβολικό συνημίτονο και το υπερβολικό ημίτονο· αποδείχθηκε στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • HΘεώρημα του παράγοντα και θεμελιώδες θεώρημα. Αν το z0z_0 είναι ρίζα του πολυωνύμου PP, τότε το z−z0z - z_0 διαιρεί το PP, πράγμα που αποδείχθηκε στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις αλγεβρικές συναρτήσεις και ισχύει στους μιγαδικούς· και κάθε μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n≥1n \geq 1 έχει κάποια μιγαδική ρίζα, πράγμα που γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

  1. Τμήμα 1 Η πολική μορφή και το γινόμενο

    • Να γράφει κανείς κάθε μη μηδενικό μιγαδικό σε πολική μορφή και να αποδεικνύει ότι αυτή η γραφή είναι μοναδική με απόκλιση πλήρων στροφών.
    • Να αποδεικνύει με τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς ότι, σε ένα γινόμενο, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται.
    • Να συνάγει από αυτό τον συζυγή και τον αντίστροφο σε πολική μορφή, καθώς και τη συμπεριφορά του πρωτεύοντος ορίσματος ενός γινομένου.
    • Να ερμηνεύει τον πολλαπλασιασμό με έναν μιγαδικό ως σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας.

    1. Ισότητα σε πολική μορφή. Όρισμα του z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0 είναι κάθε πραγματικός θ\theta με a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta και b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta· ο μιγαδικός r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), με r>0r > 0, έχει μέτρο rr και όρισμα θ\theta, και δύο τέτοιες εκφράσεις είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν το ίδιο μέτρο και τα ορίσματά τους διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

      Στηρίζεται σε: B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.

    2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή. Αν ο zz έχει μέτρο rr και όρισμα θ\theta, και ο ww έχει μέτρο ss και όρισμα φ\varphi, το γινόμενο zwzw έχει μέτρο rsrs και όρισμα θ+φ\theta + \varphi, και το πηλίκο zw\frac{z}{w} έχει μέτρο rs\frac{r}{s} και όρισμα θ−φ\theta - \varphi.

      Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.

    3. Συζυγής και αντίστροφος. Αν z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), με r>0r > 0, ο συζυγής του zz έχει μέτρο rr και όρισμα −θ-\theta, και ο αντίστροφος 1z\frac{1}{z} έχει μέτρο 1r\frac{1}{r} και όρισμα −θ-\theta.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.

    4. Πρωτεύον όρισμα γινομένου. Το πρωτεύον όρισμα του zwzw είναι Arg⁡z+Arg⁡w+2kπ\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi, με το kk ίσο με −1-1, με 00 ή με 11, και k=0k = 0 ακριβώς όταν αυτό το άθροισμα βρίσκεται στο (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.

    5. Όμοια τρίγωνα του γινομένου. Αν z≠0z \neq 0 και ο ww δεν είναι πραγματικός, το τρίγωνο με κορυφές 00, zz και zwzw είναι όμοιο με εκείνο με κορυφές 00, 11 και ww, με λόγο ∣z∣\abs{z}: ο πολλαπλασιασμός με zz είναι στροφή και ομοιοθεσία.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή. Στηρίζεται σε: C (Ευκλείδεια γεωμετρία), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.

  2. Τμήμα 2 Δυνάμεις και ρίζες

    • Να αποδεικνύει με επαγωγή τον τύπο του Ντε Μουάβρ για κάθε ακέραιο εκθέτη.
    • Να παίρνει από αυτόν και από το διωνυμικό θεώρημα τους τύπους των πολλαπλάσιων γωνιών, να γραμμικοποιεί τις δυνάμεις του συνημιτόνου και να αθροίζει ημίτονα και συνημίτονα με ένα γεωμετρικό άθροισμα.
    • Να αποδεικνύει ότι κάθε μη μηδενικός μιγαδικός έχει ακριβώς nn ρίζες τάξης nn, κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.
    • Να μελετά τις ρίζες της μονάδας: τις δυνάμεις τους, το άθροισμά τους, την παραγοντοποίηση του zn−1z^n - 1 και τις πρωταρχικές ρίζες.

    1. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Για κάθε πραγματικό θ\theta και κάθε ακέραιο nn ισχύει (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)· άρα, αν z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), η δύναμη znz^n έχει μέτρο rnr^n και όρισμα nθn\theta.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 3. Συζυγής και αντίστροφος. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), D (Αρχή της επαγωγής), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών.

    2. Πολλαπλάσιες γωνίες. Το συνημίτονο του nθn\theta είναι το εναλλασσόμενο άθροισμα των όρων (nk)cos⁡n−kθsin⁡kθ\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta με άρτιο δείκτη kk, και το ημίτονο του nθn\theta είναι το αντίστοιχο άθροισμα των όρων με περιττό δείκτη.

      Χρησιμοποιεί: 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Στηρίζεται σε: E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών.

    3. Γραμμικοποίηση. Αν z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, ισχύουν zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta) και zn−z−n=2isin⁡(nθ)z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)· από αυτές προκύπτουν, για παράδειγμα, cos⁡3θ=cos⁡3θ+3cos⁡θ4\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4} και cos⁡4θ=cos⁡4θ+4cos⁡2θ+38\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Στηρίζεται σε: E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών.

    4. Αθροίσματα ημιτόνων και συνημιτόνων. Αν το θ\theta δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi, το άθροισμα των μιγαδικών cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)\cos(k\theta) + i \sin(k\theta), για kk από 00 έως n−1n - 1, είναι ο πραγματικός sin⁡nθ2sin⁡θ2\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} επί τον μιγαδικό με μέτρο 11 και όρισμα (n−1)θ2\frac{(n - 1)\theta}{2}, πράγμα που δίνει τα αθροίσματα των συνημιτόνων και των ημιτόνων.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών.

    5. Νιοστές ρίζες. Αν w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)≠0w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0, η εξίσωση zn=wz^n = w έχει ακριβώς nn λύσεις, με μέτρο Rn\sqrt[n]{R} και ορίσματα φ+2kπn\frac{\varphi + 2k\pi}{n} με 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1, οι οποίες για n≥3n \geq 3 είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο ακτίνας Rn\sqrt[n]{R}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), F (Ευκλείδεια διαίρεση και Μπεζού), B (Τριγωνομετρικοί τύποι), D (Αρχή της επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

    6. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις. Οι ρίζες τάξης nn της μονάδας είναι οι δυνάμεις ωk=ωk\omega_k = \omega^k του ω=cos⁡2πn+isin⁡2πn\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}· πολλαπλασιάζονται προσθέτοντας τους δείκτες modulo nn, ο αντίστροφος καθεμιάς είναι ο συζυγής της, και ο πολλαπλασιασμός με μία από αυτές τις μεταθέτει.

      Χρησιμοποιεί: 3. Συζυγής και αντίστροφος, 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ, 10. Νιοστές ρίζες. Στηρίζεται σε: F (Ευκλείδεια διαίρεση και Μπεζού). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

    7. Άθροισμα των δυνάμεων των ριζών. Αν n≥2n \geq 2, το άθροισμα των δυνάμεων τάξης mm των nn ριζών τάξης nn της μονάδας ισούται με nn αν το nn διαιρεί το mm, και με 00 σε αντίθετη περίπτωση· ειδικότερα, οι ρίζες έχουν άθροισμα μηδέν.

      Χρησιμοποιεί: 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

    8. Παραγοντοποίηση του z στη n μείον 1. Για κάθε φυσικό nn, το πολυώνυμο zn−1z^n - 1 είναι το γινόμενο των nn παραγόντων z−ωkz - \omega_k, με 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1.

      Χρησιμοποιεί: 10. Νιοστές ρίζες. Στηρίζεται σε: H (Θεώρημα του παράγοντα και θεμελιώδες θεώρημα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

    9. Πρωταρχικές ρίζες. Η ρίζα ωk\omega_k, με 1≤k≤n1 \leq k \leq n, είναι πρωταρχική, δηλαδή οι δυνάμεις της δίνουν όλες τις ρίζες τάξης nn της μονάδας, αν και μόνο αν ΜΚΔ⁡(k,n)=1\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(k, n) = 1.

      Χρησιμοποιεί: 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις, 12. Άθροισμα των δυνάμεων των ριζών. Στηρίζεται σε: F (Ευκλείδεια διαίρεση και Μπεζού). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

    10. Πραγματική παραγοντοποίηση του x στη n μείον 1. Κάθε ζεύγος συζυγών μη πραγματικών ριζών ωk\omega_k και ωn−k\omega_{n - k} δίνει τον ανάγωγο παράγοντα x2−2xcos⁡2kπn+1x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1, έτσι ώστε το xn−1x^n - 1 να είναι το γινόμενο του x−1x - 1, του x+1x + 1 αν ο nn είναι άρτιος, και αυτών των τετραγωνικών παραγόντων.

      Χρησιμοποιεί: 3. Συζυγής και αντίστροφος, 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις, 13. Παραγοντοποίηση του z στη n μείον 1. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.

  3. Τμήμα 3 Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και η γεωμετρία

    • Να ορίζει κανείς το eiθe^{i\theta} με τον τύπο του Όιλερ και το ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib}, και να αναγνωρίζει στους κανόνες που προηγήθηκαν τους νόμους των εκθετών.
    • Να αποδεικνύει ότι η εκθετική συνάρτηση μετατρέπει τα αθροίσματα σε γινόμενα και είναι περιοδική με περίοδο 2πi2\pi i.
    • Να εκφράζει το συνημίτονο και το ημίτονο με εκθετικές, να τα συνδέει με τις υπερβολικές συναρτήσεις και να βρίσκει τους λογαρίθμους ενός μιγαδικού.
    • Να γράφει τις στροφές και τις ανακλάσεις του επιπέδου με μιγαδικούς, να διαβάζει τη συνευθειακότητα και την καθετότητα σε ένα πηλίκο, να ορίζει τον προσανατολισμό ενός τριγώνου και να αποδεικνύει το αναλλοίωτό του, και να χαρακτηρίζει το ισόπλευρο τρίγωνο.

    1. Φανταστική εκθετική συνάρτηση. Ο μιγαδικός eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta έχει μέτρο 11, και ισχύουν eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} και (eiθ)−1=e−iθ\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}, που είναι ο συζυγής του· επιπλέον, eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} αν και μόνο αν η διαφορά α−β\alpha - \beta είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 3. Συζυγής και αντίστροφος, 6. Τύπος του Ντε Μουάβρ. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.

    2. Εκθετική συνάρτηση αθροίσματος. Αν z=a+biz = a + bi και ez=eaeibe^z = e^a e^{ib}, το μέτρο του eze^z είναι eae^a, ο bb είναι ένα από τα ορίσματά του και ο eze^z δεν μηδενίζεται ποτέ· και για όλους τους μιγαδικούς zz και ww ισχύει ez+w=ezewe^{z + w} = e^z e^w.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), G (Πραγματική εκθετική συνάρτηση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.

    3. Περιοδικότητα της εκθετικής συνάρτησης. Ισχύει ez=1e^z = 1 αν και μόνο αν z=2kπiz = 2k\pi i για κάποιον ακέραιο kk· άρα, ez=ewe^z = e^w αν και μόνο αν η διαφορά z−wz - w είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2πi2\pi i.

      Χρησιμοποιεί: 17. Εκθετική συνάρτηση αθροίσματος. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), G (Πραγματική εκθετική συνάρτηση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.

    4. Τύποι του Όιλερ. Ισχύουν cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} και sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}· με αυτούς ορίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο ενός μιγαδικού, που διατηρούν τους τύπους πρόσθεσης, της διπλάσιας γωνίας και του αποτετραγωνισμού, αλλά όχι εκείνους της μισής γωνίας με διπλό πρόσημο, και προκύπτουν cos⁡(ix)=cosh⁡x\cos(ix) = \cosh x και sin⁡(ix)=isinh⁡x\sin(ix) = i \sinh x.

      Χρησιμοποιεί: 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση, 17. Εκθετική συνάρτηση αθροίσματος. Στηρίζεται σε: B (Τριγωνομετρικοί τύποι), G (Πραγματική εκθετική συνάρτηση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.

    5. Λογάριθμοι ενός μιγαδικού. Αν z≠0z \neq 0, οι λύσεις της ew=ze^w = z είναι w=ln⁡∣z∣+i(Arg⁡z+2kπ)w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right), με kk ακέραιο· και οι τιμές της z1nz^{\frac{1}{n}} που ορίζονται με αυτούς είναι ακριβώς οι nn ρίζες τάξης nn του zz.

      Χρησιμοποιεί: 10. Νιοστές ρίζες, 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις, 17. Εκθετική συνάρτηση αθροίσματος, 18. Περιοδικότητα της εκθετικής συνάρτησης. Στηρίζεται σε: A (Ισότητα σε πολική μορφή), G (Πραγματική εκθετική συνάρτηση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.

    6. Στροφή γύρω από σημείο. Ο μετασχηματισμός R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) αφήνει σταθερό το cc, διατηρεί τις αποστάσεις και στρέφει κατά γωνία φ\varphi το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει κάθε σημείο με το cc: είναι η στροφή με κέντρο cc και γωνία φ\varphi.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς.

    7. Ανακλάσεις και η σύνθεσή τους. Η ανάκλαση στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή με γωνία α\alpha είναι η ισομετρία S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}, και η σύνθεση των ανακλάσεων με γωνίες α\alpha και β\beta είναι η στροφή με κέντρο την αρχή και γωνία 2(β−α)2(\beta - \alpha).

      Χρησιμοποιεί: 3. Συζυγής και αντίστροφος, 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση, 21. Στροφή γύρω από σημείο. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς.

    8. Συνευθειακότητα και προσανατολισμός. Αν q=z3−z1z2−z1q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}, η προσανατολισμένη γωνία από το ευθύγραμμο τμήμα από z1z_1 έως z2z_2 προς εκείνο από z1z_1 έως z3z_3 είναι ένα όρισμα του qq· τα σημεία είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ο qq είναι πραγματικός, και τα ευθύγραμμα τμήματα είναι κάθετα αν και μόνο αν ο qq είναι φανταστικός. Αν δεν είναι συνευθειακά, το τρίγωνο z1z2z3z_1 z_2 z_3 είναι θετικά προσανατολισμένο όταν Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0· ο προσανατολισμός δεν εξαρτάται από την αρχική κορυφή, αντιστρέφεται όταν εναλλάσσονται δύο κορυφές και όταν εφαρμόζεται μια ανάκλαση, και διατηρείται από τις στροφές.

      Χρησιμοποιεί: 2. Γινόμενο και πηλίκο σε πολική μορφή, 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση, 21. Στροφή γύρω από σημείο, 22. Ανακλάσεις και η σύνθεσή τους. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς.

    9. Ισόπλευρο τρίγωνο. Αν z1≠z2z_1 \neq z_2, τα σημεία z1z_1, z2z_2 και z3z_3 είναι, με αυτή τη σειρά, οι κορυφές ενός θετικά προσανατολισμένου ισόπλευρου τριγώνου αν και μόνο αν z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, με ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}· η απόδειξη ανάγει τη συνθήκη στην ∣q∣=∣q−1∣=1\abs{q} = \abs{q - 1} = 1 με Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0, δηλαδή στην q=eiπ3q = e^{\frac{i\pi}{3}}.

      Χρησιμοποιεί: 16. Φανταστική εκθετική συνάρτηση, 12. Άθροισμα των δυνάμεων των ριζών, 23. Συνευθειακότητα και προσανατολισμός. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς.

  4. Τμήμα 4 Οι πολυωνυμικές εξισώσεις

    • Να συνάγει κανείς από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ότι κάθε μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού nn είναι γινόμενο nn γραμμικών παραγόντων.
    • Να αποδεικνύει τους τύπους του Βιέτ ανάμεσα στις ρίζες και τους συντελεστές.
    • Να λύνει την τριτοβάθμια εξίσωση με τον τύπο του Καρντάνο, να ταξινομεί τις πραγματικές ρίζες της με τη διακρίνουσα και να λύνει τη μη αναγώγιμη περίπτωση με την τριπλάσια γωνία.
    • Να ανάγει την τεταρτοβάθμια εξίσωση σε τριτοβάθμια με τη μέθοδο του Φεράρι.

    1. Παραγοντοποίηση στους μιγαδικούς. Κάθε μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n≥1n \geq 1 και μεγιστοβάθμιου συντελεστή ana_n είναι ίσο με an(z−z1)⋯(z−zn)a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n) και έχει ακριβώς nn ρίζες μετρημένες με την πολλαπλότητά τους.

      Στηρίζεται σε: D (Αρχή της επαγωγής), H (Θεώρημα του παράγοντα και θεμελιώδες θεώρημα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

    2. Τύποι του Βιέτ. Τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των ριζών ικανοποιούν τη σχέση σk=(−1)kan−kan\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}· ειδικότερα, το άθροισμα των ριζών είναι −an−1an-\frac{a_{n - 1}}{a_n} και το γινόμενό τους είναι (−1)na0an(-1)^n \frac{a_0}{a_n}.

      Χρησιμοποιεί: 25. Παραγοντοποίηση στους μιγαδικούς. Στηρίζεται σε: D (Αρχή της επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

    3. Τύπος του Καρντάνο. Η αλλαγή x=t−b3ax = t - \frac{b}{3a} ανάγει την τριτοβάθμια εξίσωση στην t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0· αν ο uu είναι μια κυβική ρίζα μιας ρίζας UU της επιλύουσας s2+qs−p327=0s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0 και v=−p3uv = -\frac{p}{3u}, οι ρίζες της είναι u+vu + v, ωu+ω2v\omega u + \omega^2 v και ω2u+ωv\omega^2 u + \omega v.

      Χρησιμοποιεί: 10. Νιοστές ρίζες, 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις, 12. Άθροισμα των δυνάμεων των ριζών, 26. Τύποι του Βιέτ. Στηρίζεται σε: E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

    4. Διακρίνουσα της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Αν οι pp και qq είναι πραγματικοί και Δ=−(4p3+27q2)\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right), η τριτοβάθμια εξίσωση t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0 έχει μία πραγματική ρίζα και δύο συζυγείς μη πραγματικές αν Δ<0\Delta < 0, πραγματικές ρίζες με κάποια πολλαπλή αν Δ=0\Delta = 0, και τρεις διακεκριμένες πραγματικές ρίζες αν Δ>0\Delta > 0.

      Χρησιμοποιεί: 3. Συζυγής και αντίστροφος, 11. Οι ρίζες της μονάδας ως δυνάμεις, 27. Τύπος του Καρντάνο. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

    5. Τριγωνομετρική λύση. Αν Δ>0\Delta > 0, με m=2−p3m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} και c=3qpmc = \frac{3q}{pm} στο (−1,1)\ioo{-1}{1}, οι τρεις πραγματικές ρίζες είναι οι mcos⁡arccos⁡c+2kπ3m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}, για k=0,1,2k = 0, 1, 2.

      Χρησιμοποιεί: 25. Παραγοντοποίηση στους μιγαδικούς, 28. Διακρίνουσα της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Στηρίζεται σε: B (Τριγωνομετρικοί τύποι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

    6. Μέθοδος του Φεράρι. Η αλλαγή x=y−b4ax = y - \frac{b}{4a} ανάγει την τεταρτοβάθμια εξίσωση στην y4+py2+qy+r=0y^4 + py^2 + qy + r = 0· αν q≠0q \neq 0 και ο mm είναι ρίζα της κυβικής επιλύουσάς της, με s2=2ms^2 = 2m, η τεταρτοβάθμια είναι το γινόμενο δύο παραγόντων δεύτερου βαθμού των οποίων οι ρίζες είναι οι δικές της.

      Χρησιμοποιεί: 10. Νιοστές ρίζες, 25. Παραγοντοποίηση στους μιγαδικούς, 27. Τύπος του Καρντάνο. Στηρίζεται σε: E (Διωνυμικό θεώρημα και γεωμετρικό άθροισμα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.

Προς τους πίνακες και τις αλγεβρικές δομές. Η αλυσίδα τελειώνει εκεί όπου οι μιγαδικοί γίνονται δομή: ο πολλαπλασιασμός με eiφe^{i\varphi} θα γίνει πίνακας στροφής, το τετράγωνο του μέτρου ορίζουσα, και οι ρίζες της μονάδας, που πολλαπλασιάζονται όπως προστίθενται τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το nn, το πρώτο παράδειγμα κυκλικής ομάδας.