Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μελετά τις πολυωνυμικές εξισώσεις στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το οποίο δεχόμαστε χωρίς απόδειξη, συνάγει με επαγωγή ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού nn είναι γινόμενο nn γραμμικών παραγόντων και έχει ακριβώς nn ρίζες, μετρημένες με την πολλαπλότητά τους· αποδεικνύει τους τύπους του Βιέτ για οποιονδήποτε βαθμό και τους τύπους για τα αθροίσματα των τετραγώνων και των κύβων των ριζών. Λύνει τις διώνυμες, τις τριώνυμες και τις αντίστροφες εξισώσεις ανάγοντάς τις σε άλλες μικρότερου βαθμού. Έπειτα ανάγει την τριτοβάθμια εξίσωση στην ελλιπή μορφή, συνάγει τον τύπο του Καρντάνο, ταξινομεί τις ρίζες μέσω της διακρίνουσας, δείχνει με την εξίσωση του Μπομπέλι γιατί ο τύπος επέβαλε την αποδοχή των μιγαδικών αριθμών ακόμη και όταν όλες οι ρίζες είναι πραγματικές, και λύνει αυτή την περίπτωση με τον τύπο της τριπλάσιας γωνίας. Τέλος, ανάγει την τεταρτοβάθμια εξίσωση στην ελλιπή μορφή, αποδεικνύει τη μέθοδο του Φεράρι, που την αναλύει σε δύο δευτεροβάθμιες εξισώσεις μέσω μιας ρίζας της κυβικής επιλύουσάς της, και εξηγεί γιατί δεν υπάρχει ανάλογος τύπος από τον πέμπτο βαθμό και πέρα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συναχθεί από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας η παραγοντοποίηση κάθε μιγαδικού πολυωνύμου σε γραμμικούς παράγοντες, και να συνδεθούν οι ρίζες με τους συντελεστές μέσω των τύπων του Βιέτ και των αθροισμάτων δυνάμεων.
  2. Να λύνονται διώνυμες, τριώνυμες και αντίστροφες εξισώσεις με αναγωγή σε εξισώσεις μικρότερου βαθμού.
  3. Να ανάγεται η τριτοβάθμια εξίσωση στην ελλιπή μορφή, να συνάγεται ο τύπος του Καρντάνο και να ταξινομούνται οι ρίζες μιας πραγματικής τριτοβάθμιας εξίσωσης ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσάς της.
  4. Να λύνεται με την τριγωνομετρική μέθοδο μια τριτοβάθμια εξίσωση με τρεις πραγματικές ρίζες, και να εξηγείται με το παράδειγμα του Μπομπέλι ο ιστορικός ρόλος του τύπου του Καρντάνο στην αποδοχή των μιγαδικών αριθμών.
  5. Να λύνονται εξισώσεις τέταρτου βαθμού με τη μέθοδο του Φεράρι, με αναγωγή στην ελλιπή μορφή και παραγοντοποίηση μέσω μιας ρίζας της κυβικής επιλύουσας.

Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας στους μιγαδικούς

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού διατυπώθηκε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, σκιαγραφήθηκε η συνέπειά του ότι κάθε μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού nn είναι γινόμενο nn γραμμικών παραγόντων και συνάχθηκε από αυτό ότι κάθε πραγματικό πολυώνυμο είναι γινόμενο γραμμικών και ανάγωγων τετραγωνικών παραγόντων· εδώ δίνεται η πλήρης απόδειξη, με επαγωγή, εκείνης της παραγοντοποίησης στους μιγαδικούς. Το μάθημα αυτό υιοθετεί τη σκοπιά των μιγαδικών: οι συντελεστές και οι ρίζες μπορούν να είναι μιγαδικοί, και το ερώτημα παύει να είναι αν μια εξίσωση έχει λύση και γίνεται πώς βρίσκουμε όλες τις λύσεις της. Ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές βαθμού nn είναι μια παράσταση P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, με aka_k μιγαδικούς και an≠0a_n \neq 0· ένας μιγαδικός z0z_0 είναι ρίζα του PP όταν P(z0)=0P(z_0) = 0.

Οι αποδείξεις της ταυτότητας της διαίρεσης, του θεωρήματος του υπολοίπου και του θεωρήματος του παράγοντα, που έγιναν στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την άλγεβρα των πολυωνύμων, χρησιμοποιούν μόνο τις ιδιότητες της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των συντελεστών, τις οποίες το C\mathbb{C} έχει κοινές με το R\mathbb{R} σύμφωνα με το μάθημα για τους μιγαδικούς αριθμούς. Συνεπώς ισχύουν χωρίς αλλαγές για πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές, και το ίδιο συμβαίνει με το λήμμα των διαφορετικών ριζών και με την αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων, από το ίδιο εκείνο μάθημα (δύο πολυώνυμα που παίρνουν την ίδια τιμή σε κάθε μιγαδικό έχουν τους ίδιους συντελεστές), καθώς και με τον ορισμό της πολλαπλότητας μιας ρίζας, από το μάθημα για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού. Αυτό που διακρίνει το C\mathbb{C} είναι το ακόλουθο θεώρημα.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας). Κάθε πολυώνυμο βαθμού n≥1n \geq 1 με μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.

Όπως στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις ρίζες πολυωνύμων, το θεώρημα αυτό γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη: όλες οι γνωστές αποδείξεις του χρησιμοποιούν εργαλεία που υπερβαίνουν αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, όπως η συνέχεια των συναρτήσεων δύο πραγματικών μεταβλητών ή η μελέτη των συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους έδωσε το 1799 την πρώτη σχεδόν πλήρη απόδειξη, μετά τις απόπειρες του Ντ' Αλαμπέρ και του Όιλερ. Η κύρια συνέπειά του είναι ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις δεν επιβάλλουν επέκταση του C\mathbb{C}, όπως η x2=2x^2 = 2 επέβαλε την επέκταση του Q\mathbb{Q} και η x2=−1x^2 = -1 την επέκταση του R\mathbb{R}: κάθε μιγαδικό πολυώνυμο αναλύεται πλήρως στο C\mathbb{C}.

ΘεώρημαΠαραγοντοποίηση στους μιγαδικούς

Κάθε πολυώνυμο PP βαθμού n≥1n \geq 1 με μιγαδικούς συντελεστές και μεγιστοβάθμιο συντελεστή ana_n είναι το γινόμενο του ana_n με nn γραμμικούς παράγοντες, όπως στον παρακάτω τύπο, με z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n μιγαδικούς όχι αναγκαστικά διαφορετικούς. Οι ρίζες του PP είναι ακριβώς οι αριθμοί zkz_k, και καθεμία εμφανίζεται στη λίστα τόσες φορές όσες δείχνει η πολλαπλότητά της· άρα το PP έχει ακριβώς nn μιγαδικές ρίζες, μετρημένες με την πολλαπλότητά τους.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

Η απόδειξη προχωρεί με επαγωγή ως προς τον βαθμό, όπως στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα αθροίσματα, τις προόδους και την επαγωγή. Το σχήμα την παρακολουθεί στο μιγαδικό επίπεδο με το πολυώνυμο P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, του οποίου οι ρίζες είναι το 11, που είναι διπλή, το −2-2, το −1+2i-1 + 2i και το −1−2i-1 - 2i.

Απόδειξη

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    Αρχική περίπτωση: ένα πολυώνυμο βαθμού 11 είναι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του επί έναν μοναδικό γραμμικό παράγοντα, του οποίου η ρίζα είναι −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Υποθέτουμε ότι το θεώρημα ισχύει για τα πολυώνυμα βαθμού nn, και έστω PP βαθμού n+1n + 1. Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το PP έχει μια ρίζα z1z_1· από το θεώρημα του παράγοντα, το PP είναι το γινόμενο του z−z1z - z_1 με ένα πηλίκο CC βαθμού nn, του οποίου ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι εκείνος του PP, όπως φαίνεται αν συγκρίνουμε τους όρους μέγιστου βαθμού. Στο παράδειγμα, z1=1z_1 = 1, και η συνθετική διαίρεση δίνει το πηλίκο του τύπου.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    Από την επαγωγική υπόθεση, το CC είναι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του an+1a_{n + 1} επί nn γραμμικούς παράγοντες· με αντικατάσταση, το PP γράφεται όπως θέλαμε. Από την αρχή της επαγωγής, η παραγοντοποίηση υπάρχει για κάθε βαθμό n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Ένα γινόμενο μιγαδικών είναι μηδέν μόνο αν κάποιος από τους παράγοντές του είναι μηδέν, και an≠0a_n \neq 0: ένας αριθμός ww είναι ρίζα του PP αν και μόνο αν συμπίπτει με κάποιον από τους zkz_k. Δεν υπάρχουν άλλες ρίζες πέρα από εκείνες της λίστας.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Ομαδοποιούμε τους ίσους παράγοντες: αν r1,…,rsr_1, \ldots, r_s είναι οι διαφορετικές ρίζες και η rjr_j εμφανίζεται kjk_j φορές, το πηλίκο του PP διά (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} δεν μηδενίζεται στο r1r_1, επειδή είναι γινόμενο μη μηδενικών παραγόντων· άρα το k1k_1 είναι η πολλαπλότητα της r1r_1, και το ίδιο συμβαίνει με τις υπόλοιπες. Οι πολλαπλότητες έχουν άθροισμα nn· στο παράδειγμα, 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Επειδή η πολλαπλότητα κάθε ρίζας είναι καλά ορισμένη, σύμφωνα με το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις ρίζες πολυωνύμων, η λίστα z1,…,znz_1, \ldots, z_n καθορίζεται από το PP, με την εξαίρεση της σειράς: η παραγοντοποίηση είναι μοναδική. Στο εξής, οι ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού nn σημαίνουν αυτή τη λίστα των nn αριθμών, με τις επαναλήψεις που δείχνει η πολλαπλότητα. Αν οι συντελεστές είναι πραγματικοί, οι μη πραγματικές ρίζες εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη, από το θεώρημα των συζυγών ριζών του μαθήματος για τους μιγαδικούς αριθμούς· πολλαπλασιάζοντας τους δύο παράγοντες κάθε ζεύγους προκύπτει ένας πραγματικός τετραγωνικός παράγοντας, και έτσι ανακτάται η παραγοντοποίηση στους πραγματικούς του μαθήματος για τις ρίζες πολυωνύμων.