Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής

Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις

Το μάθημα για τη μονοτονία μελέτησε αν μια συνάρτηση ανεβαίνει ή κατεβαίνει· αυτό εδώ μελετά πώς το κάνει. Οι συναρτήσεις $x^2$ και $\sqrt{x}$ είναι γνησίως αύξουσες στο $\ico{0}{\infty}$, αλλά η πρώτη καμπυλώνεται προς τα πάνω και η δεύτερη προς τα κάτω: το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της γραφικής παράστασης της $x^2$, η χορδή της, μένει πάνω από το τόξο της γραφικής παράστασης ανάμεσά τους, και εκείνο της $\sqrt{x}$ κάτω από αυτό. Αν το $t$ ανήκει στο $\icc{0}{1}$, το σημείο της χορδής που ενώνει το $(x, f(x))$ με το $(y, f(y))$ και έχει τετμημένη $tx + (1 - t)y$ έχει τεταγμένη $t f(x) + (1 - t) f(y)$: τον ίδιο συνδυασμό των τεταγμένων.

Μια γραμμική συνάρτηση $mx + n$ είναι ταυτόχρονα κυρτή και κοίλη: η γραφική της παράσταση συμπίπτει με τις χορδές της. Η συνάρτηση $x^2$ είναι γνησίως κυρτή στο $\mathbb{R}$, επειδή η διαφορά των δύο μελών της ανισότητας είναι $t(1 - t)(x - y)^2$, θετική αν $x \neq y$ και $0 < t < 1$. Η απόλυτη τιμή είναι κυρτή, λόγω της τριγωνικής ανισότητας, $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$, αν και δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$· δεν είναι γνησίως κυρτή, επειδή στο $\ico{0}{\infty}$ συμπίπτει με τις χορδές της.

Δύο συμβάσεις. Σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων «κυρτή» είναι η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση δεν ανεβαίνει πάνω από τις χορδές της, όπως η $x^2$, και «κοίλη» εκείνη που δεν κατεβαίνει κάτω από αυτές, όπως η $\sqrt{x}$. Είναι η σύμβαση του ελληνικού σχολικού βιβλίου, της πλειονότητας των κειμένων ανάλυσης και βελτιστοποίησης, και του γεγονότος που δεχτήκαμε χωρίς απόδειξη για την κοιλότητα του ημιτόνου, στο μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, της Άλγεβρας και Γεωμετρίας II. Ορισμένα κείμενα, συνήθως μεταφρασμένα από άλλες γλώσσες, χρησιμοποιούν τις λέξεις ανάποδα, και ονομάζουν κοίλη την $x^2$, επειδή κοιτάζουν τη γραφική παράσταση από πάνω· άλλα, όπως και το σχολικό βιβλίο, λένε ότι η κυρτή «στρέφει τα κοίλα προς τα άνω» και η κοίλη «στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω». Μπροστά σε ένα νέο κείμενο, καλό είναι να αναζητούμε τον ορισμό του ή να προσέχουμε πώς ονομάζει την $x^2$: οι ανισότητες δεν αλλάζουν, μόνο τα ονόματα.

Ο ορισμός συγκρίνει ένα σημείο της γραφικής παράστασης με μια χορδή. Αν $x < z < y$, η σύγκριση του $(z, f(z))$ με τη χορδή από το $x$ έως το $y$ ισοδυναμεί με τη σύγκριση των κλίσεων τριών χορδών: όταν διατρέχουμε από αριστερά προς τα δεξιά τη γραφική παράσταση μιας κυρτής συνάρτησης, οι χορδές γίνονται όλο και πιο απότομες. Το σχήμα το δείχνει με την $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6$.