Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση

Περίληψη

Το μάθημα αυτό παραγωγίζει τις συναρτήσεις που έχουν τη μεταβλητή στον εκθέτη. Όλες ανάγονται στη φυσική εκθετική: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ και $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , ώστε αρκούν η παράγωγος της $e^x$ , η παράγωγος του λογαρίθμου και ο κανόνας της αλυσίδας. Έτσι προκύπτουν οι παράγωγοι της εκθετικής και του λογαρίθμου με οποιαδήποτε βάση, των δυνάμεων με πραγματικό εκθέτη και των δυνάμεων των οποίων η βάση και ο εκθέτης μεταβάλλονται, όπως η $x^x$ ή η $x^{\sin x}$ . Η παράγωγος της $\ln \abs{f(x)}$ , που είναι $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , μετατρέπει τα γινόμενα, τα πηλίκα και τις δυνάμεις σε αθροίσματα: είναι η λογαριθμική παραγώγιση, την οποία το μάθημα αιτιολογεί χωρίς να υποθέτει αυτό που θέλει να αποδείξει. Στο τέλος, η εφαπτομένη του λογαρίθμου που διέρχεται από την αρχή των αξόνων κρίνει ποιος είναι μεγαλύτερος, ο $\pi^e$ ή ο $e^\pi$ , και εξηγεί γιατί το αποτέλεσμα εξαρτάται από τον αριθμό $e$ .

Μαθησιακοί στόχοι

Να παραγωγίζονται η εκθετική και ο λογάριθμος με οποιαδήποτε βάση, και οι συνθέσεις τους, με αφετηρία την ισότητα $a^x = e^{x \ln a}$ .
Να παραγωγίζονται οι δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη και οι δυνάμεις με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη, γραμμένες ως εκθετικές με βάση $e$ , στο πεδίο όπου η βάση είναι θετική.
Να εφαρμόζεται η λογαριθμική παραγώγιση σε γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις, αφού εξακριβωθεί πρώτα ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ότι δεν μηδενίζεται στο σημείο.
Να συγκρίνονται δυνάμεις όπως οι $\pi^e$ και $e^\pi$ με την εφαπτομένη του λογαρίθμου και τη θεμελιώδη ανισότητα της εκθετικής.

Η εκθετική και ο λογάριθμος με οποιαδήποτε βάση

Το μάθημα για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων απέδειξε ότι η $e^x$ είναι η παράγωγος του εαυτού της και ότι η παράγωγος του $\ln x$ είναι $\frac{1}{x}$ , και προανήγγειλε ότι η παράγωγος της $a^x$ είναι $a^x \ln a$ . Δεν χρειάζεται να επαναληφθεί ο υπολογισμός με τον λόγο μεταβολής: κάθε θετική βάση είναι δύναμη του $e$ . Από τον ορισμό του φυσικού λογαρίθμου, από το μάθημα για τη λογαριθμική συνάρτηση, ισχύει $e^{\ln y} = y$ για κάθε $y > 0$ · και από την ιδιότητα του λογαρίθμου δύναμης, από το ίδιο μάθημα, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Με τον κανόνα της αλυσίδας, τα υπόλοιπα είναι άμεσα.

ΘεώρημαΠαράγωγοι της εκθετικής και του λογαρίθμου με βάση a

Έστω $a > 0$ , με $a \neq 1$ . Η εκθετική $a^x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , ο λογάριθμος $\log_a x$ είναι παραγωγίσιμος στο $\ioo{0}{\infty}$ και η συνάρτηση $\log_a \abs{x}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Η εκθετική με βάση $a$ γράφεται με τη φυσική εκθετική και εφαρμόζεται ο κανόνας της αλυσίδας· ο λογάριθμος με βάση $a$ είναι σταθερό πολλαπλάσιο του φυσικού λογαρίθμου. Το σχήμα δείχνει τις $2^x$ , $e^x$ και $4^x$ με τις εφαπτόμενές τους στο σημείο $(0, 1)$ , με κλίσεις $\ln 2$ , $1$ και $\ln 4$ , και στο τέλος την εφαπτομένη της $\log_2 x$ στο $(1, 0)$ , κατοπτρισμό εκείνης της $2^x$ .

Απόδειξη

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Έστω $x$ ένας πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός $a^x$ είναι θετικός· από τον ορισμό του φυσικού λογαρίθμου και την ιδιότητα του λογαρίθμου δύναμης, από το μάθημα για τη λογαριθμική συνάρτηση:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
Η εσωτερική συνάρτηση $x \ln a$ είναι γραμμική, με παράγωγο $\ln a$ , και η εξωτερική $e^t$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $\mathbb{R}$ , από το θεώρημα της παραγώγου της φυσικής εκθετικής. Από τον κανόνα της αλυσίδας, από το μάθημα για τον κανόνα της αλυσίδας:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Από το θεώρημα της αλλαγής βάσης, από το μάθημα για τη λογαριθμική συνάρτηση, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ για κάθε $y > 0$ , με $\ln a \neq 0$ επειδή $a \neq 1$ . Από το θεώρημα της παραγώγου του φυσικού λογαρίθμου, που ισχύει για τον $\ln x$ και για τον $\ln \abs{x}$ , και από εκείνο της παραγώγου γραμμικού συνδυασμού, από το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης:

Η παράγωγος της $a^x$ είναι ανάλογη της συνάρτησης, με σταθερά $\ln a$ , που είναι θετική αν $a > 1$ και αρνητική αν $0 < a < 1$ · λόγω της ιδιότητας ένα προς ένα του λογαρίθμου, ισούται με $1$ μόνο αν $a = e$ . Για $a = 1$ , η συνάρτηση $1^x$ είναι σταθερή και ο τύπος εξακολουθεί να ισχύει, επειδή $\ln 1 = 0$ . Στο $x = 0$ , ο ορισμός της παραγώγου δίνει το όριο $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , που είναι το πόρισμα των αξιοσημείωτων ορίων του λογαρίθμου και των δυνάμεων, από το μάθημα για τη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων: η παράγωγος της $a^x$ στο $0$ ήταν ήδη γνωστή, και η ιδιότητα $a^{x + h} = a^x a^h$ τη μεταφέρει σε όλα τα σημεία.

ΠόρισμαΣυνθέσεις με την εκθετική και τον λογάριθμο

Έστω $u$ μια συνάρτηση ορισμένη στο $A$ , παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $a$ του $A$ που είναι σημείο συσσώρευσης του $A$ , και έστω $b > 0$ , με $b \neq 1$ . Τότε οι $e^{u(x)}$ και $b^{u(x)}$ είναι παραγωγίσιμες στο $a$ . Αν $u(a) \neq 0$ , οι συναρτήσεις $\ln \abs{u(x)}$ και $\log_b \abs{u(x)}$ είναι παραγωγίσιμες στο $a$ , στο πεδίο ορισμού τους· και αν $u(a) > 0$ , παραγωγίσιμη είναι και η $\ln u(x)$ , με την ίδια παράγωγο με την $\ln \abs{u(x)}$ . Οι παράγωγοι στο $x = a$ είναι:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Οι δύο πρώτες είναι ο κανόνας της αλυσίδας· οι δύο τελευταίες, η μορφή του στο πεδίο ορισμού της σύνθεσης, επειδή ο λογάριθμος δεν ορίζεται στο $0$ .

Απόδειξη

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Οι εξωτερικές συναρτήσεις $e^t$ και $b^t$ είναι παραγωγίσιμες σε όλο το $\mathbb{R}$ , που περιέχει τις τιμές της $u$ · ο κανόνας της αλυσίδας δίνει τις δύο πρώτες παραγώγους, στο $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
Η συνάρτηση $\ln \abs{t}$ ορίζεται στο $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , που περιέχει το διάστημα με κέντρο $u(a)$ και ακτίνα $r = \abs{u(a)}$ , και είναι παραγωγίσιμη στο $u(a)$ , με παράγωγο $\frac{1}{u(a)}$ . Από το πόρισμα του κανόνα της αλυσίδας στο πεδίο ορισμού της σύνθεσης, το $a$ είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της $\ln \abs{u(x)}$ , και η παράγωγος στο $x = a$ είναι:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Αν $u(a) > 0$ , το ίδιο πόρισμα, με $B = \ioo{0}{\infty}$ και $r = u(a)$ , δίνει την παράγωγο της $\ln u(x)$ , που είναι η ίδια. Για τη βάση $b$ , διαιρούμε με τη σταθερά $\ln b$ , λόγω της αλλαγής βάσης.

Έτσι, η παράγωγος της $2^{\sin x}$ είναι $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , και εκείνη της $\ln\left(x^2 + 1\right)$ είναι $\frac{2x}{x^2 + 1}$ σε όλο το $\mathbb{R}$ . Το μάθημα για τον κανόνα της αλυσίδας παραγώγισε την $\ln(\cos x)$ στο πεδίο ορισμού της, όπου $\cos x > 0$ , και βρήκε $-\tan x$ · η απόλυτη τιμή επεκτείνει το αποτέλεσμα: η $\ln \abs{\cos x}$ ορίζεται όπου $\cos x \neq 0$ , και η παράγωγός της είναι $-\tan x$ σε όλο αυτό το σύνολο, που είναι το πεδίο ορισμού της εφαπτομένης.

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη
Δυνάμεις με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη
Η λογαριθμική παραγώγιση
Ποιο είναι μεγαλύτερο, το π εις την e ή το e εις την π;
Λυμένα προβλήματα
Η παράγωγος του x εις την x
Λογαριθμική παραγώγιση όπου η συνάρτηση είναι αρνητική
Μια θετική παράγωγος κοντά στον αριθμό e
Οι δύο ελλιπείς κανόνες
Η εκθετική που εφάπτεται της ευθείας y ίσον x
Προτεινόμενα προβλήματα
Ο λογάριθμος με βάση x
Δύο πύργοι εκθετών
Ένα γινόμενο σε μία από τις ρίζες του
Ρητές δυνάμεις αρνητικών βάσεων
Σύγκριση του a εις την b με το b εις την a

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Αποκτήστε πρόσβαση στο πλήρες μάθημα

Το υπόλοιπο αυτής της διάλεξης περιλαμβάνεται στη συνδρομή. Με τη συνδρομή αποκτάτε πρόσβαση σε όλες τις διαλέξεις κάθε μαθήματος, με τα προβλήματα και τις αποδείξεις τους.