Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Εκθετική, λογαριθμική και υπερβολικές: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για την εκθετική, τη λογαριθμική και τις υπερβολικές συναρτήσεις, που είναι η τελευταία του κύκλου μαθημάτων. Συγκεντρώνει τα αποτελέσματά της σε μία μόνο αποδεικτική αλυσίδα, που ξεκινά από την πληρότητα των πραγματικών αριθμών και φτάνει στην παραμετρικοποίηση της υπερβολής· δείχνει πώς η αλυσίδα αυτή στηρίζεται στις προηγούμενες ενότητες του κύκλου, από την επαγωγή και το διωνυμικό θεώρημα ως την εξίσωση της υπερβολής, και πώς προετοιμάζει τον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία II, που αρχίζει με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις πολικές συντεταγμένες. Τελειώνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προτεινόμενα προβλήματα των μαθημάτων, που απαιτούν να συνδυαστούν αρκετά από αυτά και να βρεθεί μια δική σας ιδέα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέσετε την αλυσίδα των ορισμών και των θεωρημάτων της ενότητας, εντοπίζοντας σε κάθε κρίκο το προγενέστερο αποτέλεσμα από το οποίο εξαρτάται.
  2. Να συσχετίσετε τα αποτελέσματα της ενότητας με εκείνα των προηγούμενων ενοτήτων και να προβλέψετε τον ρόλο τους στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία II.
  3. Να λύνετε προβλήματα που συνδυάζουν τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης, τις ιδιότητες των λογαρίθμων, την ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x και τους υπερβολικούς τύπους πρόσθεσης.
  4. Να επιλέγετε μόνοι σας την αντικατάσταση, την ανισότητα ή τη βοηθητική συνάρτηση που ανάγει ένα μη τυποποιημένο πρόβλημα σε ένα γνωστό.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα ξεκίνησε από μια έλλειψη: στο τέλος της ενότητας για τα σύνολα αριθμών, η δύναμη axa^x είχε νόημα για ρητό xx, όχι όμως για x=2x = \sqrt{2}. Το τελικό της αποτέλεσμα είναι μια οικογένεια συναρτήσεων ορισμένων σε όλη την ευθεία, με πλήρεις αλγεβρικές ιδιότητες, ρητές αντίστροφες και γεωμετρική ερμηνεία. Οι κρίκοι της αλυσίδας είναι οι εξής.

Η δύναμη με πραγματικό εκθέτη

Το μάθημα για την εκθετική συνάρτηση και τη δύναμη με πραγματικό εκθέτη όρισε τη δύναμη axa^x, για a>1a > 1, ως το supremum των δυνάμεων ara^r με rr ρητό και r≤xr \leq x. Η πληρότητα εξασφάλισε την ύπαρξη του supremum· η πυκνότητα των ρητών έδωσε τον εγκιβωτισμό ar<ax<asa^r < a^x < a^s για r<x<sr < x < s, και μαζί του τη γνήσια μονοτονία· η ανισότητα του Μπερνούλι φράσσει το μήκος των διαστημάτων εγκιβωτισμού και επέτρεψε να αποδειχθούν, με την αρχιμήδεια ιδιότητα, οι ιδιότητες των εκθετών, η τελευταία από αυτές κατά περίπτωση ανάλογα με τη βάση και το πρόσημο του εκθέτη:

ax+y=axay,(ab)x=axbx,(ax)y=axya^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Με αυτές τις ιδιότητες, η εκθετική συνάρτηση αποδείχθηκε θετική, ένα προς ένα και γνησίως μονότονη· ένα νέο επιχείρημα με suprema, μαζί με την ανισότητα του Μπερνούλι, απέδειξε ότι παίρνει όλες τις θετικές τιμές, ώστε είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το R\mathbb{R} στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}· και αποδείχθηκε ότι τελικά ξεπερνά τα τετράγωνα.

Ο αριθμός e

Το μάθημα για τον αριθμό e και τη φυσική εκθετική συνάρτηση επέλεξε μια προνομιακή βάση. Με το διωνυμικό θεώρημα και την ανισότητα του Μπερνούλι απέδειξε ότι η (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n αυξάνει και η (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} φθίνει, και όρισε τον ee ως τον αριθμό που εγκιβωτίζουν οι δύο ακολουθίες· απέδειξε ότι είναι επίσης το supremum των αθροισμάτων των αντιστρόφων των παραγοντικών, με σφάλμα μικρότερο από 1n! n\frac{1}{n! \, n}, και ότι είναι άρρητος, και, με τη θεμελιώδη ανισότητα και τη δύναμη δύναμης, απέδειξε ότι το supremum των κεφαλαίων (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n είναι ere^r, χωρίς να καταφύγει στην έννοια του ορίου. Το πιο γόνιμο αποτέλεσμα του μαθήματος είναι η θεμελιώδης ανισότητα, που ισχύει για κάθε πραγματικό xx, με ισότητα μόνο στο x=0x = 0, και επανέρχεται σχεδόν σε όλες τις μεταγενέστερες αποδείξεις:

ex≥1+xe^x \geq 1 + x

Ο λογάριθμος και οι εξισώσεις

Το μάθημα για τη λογαριθμική συνάρτηση έδωσε τον log⁡a\log_a ως την αντίστροφη της εκθετικής και μετέφρασε κάθε ιδιότητα των εκθετών σε ιδιότητα των λογαρίθμων· η αλλαγή βάσης έδειξε ότι όλοι οι λογάριθμοι είναι πολλαπλάσια ενός μόνο, και το λήμμα του Ευκλείδη απέδειξε ότι ο log⁡23\log_2 3 είναι άρρητος. Το μάθημα για τις εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις μετέτρεψε δύο ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων σε μεθόδους: η ιδιότητα ένα προς ένα επιτρέπει να εξισώνονται εκθέτες και ορίσματα, και η μονοτονία διατηρεί ή αντιστρέφει τις ανισότητες ανάλογα με τη βάση. Οι δυσκολίες που είναι χαρακτηριστικές αυτών των προβλημάτων, το πεδίο ορισμού, οι ξένες λύσεις και οι μη θετικές τιμές της βοηθητικής μεταβλητής, προέρχονται όλες από το ότι η εκθετική συνάρτηση παίρνει μόνο θετικές τιμές. Μόνο ένα αποτέλεσμα εκείνου του μαθήματος στηρίζεται σε κάτι που η ενότητα δεν αποδεικνύει: η ύπαρξη λύσης μιας εξίσωσης χωρίς αλγεβρική μέθοδο, όπως η x+2x=5x + 2^x = 5, στηρίζεται στο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, που έγινε δεκτό στο μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις, και στη συνέχεια της εκθετικής συνάρτησης, που γίνεται δεκτή στο μάθημα για τη δύναμη με πραγματικό εκθέτη· η απόδειξη και των δύο γεγονότων ανήκει στον απειροστικό λογισμό. Η μοναδικότητά της, αντίθετα, και η διχοτόμηση που την εντοπίζει, προκύπτουν από τη διάταξη.

Τα μοντέλα και οι υπερβολικές συναρτήσεις

Το μάθημα για τα μοντέλα αύξησης και απόσβεσης απέδειξε ότι ο νόμος P(t+h)=ekhP(t)P(t + h) = e^{kh} P(t) χαρακτηρίζει το μοντέλο P0ektP_0 e^{kt} και ότι, επομένως, κάθε μονότονο μέγεθος που μεταβάλλεται κατά την ίδια αναλογία σε ίσα διαστήματα είναι εκθετικό· από εκεί προκύπτουν ο χρόνος διπλασιασμού και ο χρόνος ημιζωής, η χρονολόγηση με άνθρακα 14, ο νόμος του Νεύτωνα, η ημιλογαριθμική γραμμικοποίηση και το λογιστικό μοντέλο. Τέλος, το μάθημα για τις υπερβολικές συναρτήσεις συνδύασε τις exe^x και e−xe^{-x} στο υπερβολικό συνημίτονο και στο υπερβολικό ημίτονο, των οποίων η θεμελιώδης ταυτότητα είναι άμεση συνέπεια της ιδιότητας των εκθετών:

cosh⁡2x−sinh⁡2x=(cosh⁡x+sinh⁡x)(cosh⁡x−sinh⁡x)=exe−x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

Από αυτήν προέκυψαν η παραμετρικοποίηση του δεξιού κλάδου της υπερβολής x2−y2=1x^2 - y^2 = 1, της οποίας η παράμετρος ανακτάται με έναν λογάριθμο, οι τύποι πρόσθεσης και οι αντίστροφες συναρτήσεις, που εκφράζονται με λογαρίθμους όταν λύνονται δευτεροβάθμιες εξισώσεις ως προς eye^y. Η αλυσίδα κλείνει έτσι πάνω στον εαυτό της: η εκθετική συνάρτηση παράγει τις υπερβολικές συναρτήσεις, και ο λογάριθμος τις αντιστρέφει.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τέσσερα τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη ή προέρχονται από προηγούμενες ενότητες, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΠληρότητα. Κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών που είναι άνω φραγμένο έχει supremum· διατυπώθηκε στην ενότητα για τα σύνολα αριθμών. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΠυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα. Ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς υπάρχει πάντοτε ένας ρητός, και κάθε πραγματικός ξεπερνιέται από κάποιον φυσικό· αποδείχθηκαν στην ενότητα για τα σύνολα αριθμών. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΑνισότητα του Μπερνούλι. Αν x≥−1x \geq -1 και ο nn είναι φυσικός, τότε (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx· αποδείχθηκε με επαγωγή στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΔιωνυμικό θεώρημα. Για κάθε φυσικό nn ισχύει (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k· αποδείχθηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΛήμμα του Ευκλείδη. Αν ένας πρώτος διαιρεί ένα γινόμενο φυσικών, διαιρεί κάποιον από τους παράγοντες· αποδείχθηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΙδιότητες των εκθετών. Για a>0a > 0, b>0b > 0 και πραγματικούς xx, yy ισχύουν ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x και (ax)y=axy\left( a^x \right)^y = a^{xy}. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 3. Ιδιότητες των πραγματικών εκθετών.
  • GΜονοτονία της εκθετικής. Αν a>1a > 1, για πραγματικούς uu και vv ισχύει u<vu < v αν και μόνο αν au<ava^u < a^v· με βάση ανάμεσα στο 00 και στο 11, η ανισότητα αντιστρέφεται. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Εγκιβωτισμός και μονοτονία.
  • HΟ λογάριθμος ως αντίστροφη. Για x>0x > 0, ισχύει log⁡ax=y\log_a x = y αν και μόνο αν ay=xa^y = x· επομένως alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x και log⁡a(ay)=y\log_a \left( a^y \right) = y. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 15. Λογάριθμος.

  1. Τμήμα 1 Η δύναμη με πραγματικό εκθέτη

    • Ορισμός της axa^x για κάθε πραγματικό εκθέτη ως supremum ρητών δυνάμεων και αιτιολόγηση ότι επεκτείνει τον προγενέστερο ορισμό.
    • Εγκιβωτισμός της axa^x ανάμεσα σε ρητές δυνάμεις και συναγωγή από αυτόν της γνήσιας μονοτονίας.
    • Απόδειξη των ιδιοτήτων των πραγματικών εκθετών, μαζί με τη δύναμη δύναμης, με εγκιβωτισμούς των οποίων το μήκος φράσσει η ανισότητα του Μπερνούλι.
    • Περιγραφή της εκθετικής συνάρτησης: πεδίο ορισμού, πρόσημο, ιδιότητα ένα προς ένα, απεριόριστη αύξηση και οριζόντια ασύμπτωτη.
    • Απόδειξη, με την πληρότητα και την ανισότητα του Μπερνούλι, ότι η εκθετική συνάρτηση παίρνει όλες τις θετικές τιμές.

    1. Δύναμη με πραγματικό εκθέτη. Αν a>1a > 1, η δύναμη axa^x είναι το supremum των δυνάμεων ara^r με rr ρητό και r≤xr \leq x· το supremum υπάρχει και, αν ο xx είναι ρητός, συμπίπτει με τη δύναμη που ήδη γνωρίζαμε.

      Στηρίζεται σε: A (Πληρότητα), B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.

    2. Εγκιβωτισμός και μονοτονία. Αν a>1a > 1 και οι rr, ss είναι ρητοί με r<x<sr < x < s, τότε ar<ax<asa^r < a^x < a^s. Κατά συνέπεια, αν x<yx < y, τότε ax<aya^x < a^y όταν a>1a > 1 και ax>aya^x > a^y όταν 0<a<10 < a < 1· επιπλέον, ax>0a^x > 0 για κάθε θετική βάση.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύναμη με πραγματικό εκθέτη. Στηρίζεται σε: B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.

    3. Ιδιότητες των πραγματικών εκθετών. Για a>0a > 0, b>0b > 0 και πραγματικούς xx, yy ισχύουν ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y και (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x· με την πρώτη, τη μοναδικότητα της κύριας ρίζας και έναν νέο εγκιβωτισμό, ισχύει και η (ax)y=axy\left( a^x \right)^y = a^{xy}, σε όλες τις περιπτώσεις προσήμου.

      Χρησιμοποιεί: 2. Εγκιβωτισμός και μονοτονία. Στηρίζεται σε: B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα), C (Ανισότητα του Μπερνούλι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.

    4. Εκθετική συνάρτηση. Αν a>0a > 0 και a≠1a \neq 1, η συνάρτηση axa^x ορίζεται στο R\mathbb{R}, είναι θετική και ένα προς ένα· αν a>1a > 1, αυξάνει, ξεπερνά κάθε φράγμα και πλησιάζει το 00 προς τα αριστερά, και η γραφική παράσταση της (1a)x\left( \frac{1}{a} \right)^x είναι το συμμετρικό της ως προς τον άξονα yy.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύναμη με πραγματικό εκθέτη. Στηρίζεται σε: C (Ανισότητα του Μπερνούλι), G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.

    5. Σύνολο τιμών της εκθετικής. Αν a>0a > 0 και a≠1a \neq 1, για κάθε y>0y > 0 υπάρχει μοναδικός πραγματικός xx με ax=ya^x = y: αν a>1a > 1, είναι το supremum των ρητών rr με ar<ya^r < y. Η εκθετική συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το R\mathbb{R} στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

      Χρησιμοποιεί: 4. Εκθετική συνάρτηση. Στηρίζεται σε: A (Πληρότητα), B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα), C (Ανισότητα του Μπερνούλι), F (Ιδιότητες των εκθετών), G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η εκθετική συνάρτηση και η δύναμη με πραγματικό εκθέτη.

  2. Τμήμα 2 Ο αριθμός e

    • Απόδειξη, με το διωνυμικό θεώρημα και την ανισότητα του Μπερνούλι, ότι η (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n αυξάνει και η (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} φθίνει, και φράξιμό της με την ανισότητα k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}, που αποδεικνύεται με επαγωγή.
    • Ορισμός του ee ως του αριθμού που εγκιβωτίζουν οι δύο ακολουθίες.
    • Απόδειξη ότι ο ee είναι το supremum των αθροισμάτων των αντιστρόφων των παραγοντικών, φράξιμο του σφάλματος και συναγωγή ότι ο ee είναι άρρητος.
    • Απόδειξη της θεμελιώδους ανισότητας ex≥1+xe^x \geq 1 + x και, με αυτήν, ότι το supremum των κεφαλαίων (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n είναι ere^r.

    1. Αύξηση της ακολουθίας. Η ακολουθία an=(1+1n)na_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n είναι γνησίως αύξουσα.

      Στηρίζεται σε: D (Διωνυμικό θεώρημα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    2. Παραγοντικά και δυνάμεις του δύο. Για κάθε φυσικό kk ισχύει k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}, με ισότητα μόνο αν k=1k = 1 ή k=2k = 2· αποδεικνύεται με επαγωγή.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    3. Φράγμα της ακολουθίας. Για κάθε φυσικό nn ισχύει an≤sn<3a_n \leq s_n < 3, όπου sn=∑k=0n1k!s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}: κάθε όρος του sns_n φράσσεται από έναν όρο γεωμετρικής προόδου με λόγο 12\frac{1}{2}.

      Χρησιμοποιεί: 7. Παραγοντικά και δυνάμεις του δύο. Στηρίζεται σε: D (Διωνυμικό θεώρημα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    4. Συνοδευτική ακολουθία. Η ακολουθία bn=(1+1n)n+1b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} είναι γνησίως φθίνουσα.

      Στηρίζεται σε: C (Ανισότητα του Μπερνούλι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    5. Ο αριθμός e. Ο αριθμός ee, supremum των όρων ana_n, ικανοποιεί την an<e<bna_n < e < b_n για κάθε φυσικό nn.

      Χρησιμοποιεί: 6. Αύξηση της ακολουθίας, 8. Φράγμα της ακολουθίας, 9. Συνοδευτική ακολουθία. Στηρίζεται σε: A (Πληρότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    6. Η σειρά του αριθμού e και το σφάλμα της. Το supremum των αθροισμάτων sns_n είναι ο ee, και για κάθε φυσικό nn ισχύει 0<e−sn<1n! n0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}.

      Χρησιμοποιεί: 8. Φράγμα της ακολουθίας, 10. Ο αριθμός e. Στηρίζεται σε: A (Πληρότητα), B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα), C (Ανισότητα του Μπερνούλι). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    7. Αρρητότητα του e. Ο αριθμός ee είναι άρρητος.

      Χρησιμοποιεί: 11. Η σειρά του αριθμού e και το σφάλμα της. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    8. Θεμελιώδης ανισότητα. Για κάθε πραγματικό xx ισχύει ex≥1+xe^x \geq 1 + x, και η ισότητα ισχύει μόνο στο x=0x = 0.

      Χρησιμοποιεί: 10. Ο αριθμός e. Στηρίζεται σε: B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα), C (Ανισότητα του Μπερνούλι), F (Ιδιότητες των εκθετών), G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

    9. Συνεχής ανατοκισμός. Αν r>0r > 0, τα κεφάλαια (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n αυξάνουν με το nn, κανένα δεν φτάνει το ere^r και το supremum τους είναι ere^r· για t>0t > 0, το supremum των αριθμών (1+rn)nt\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt} είναι erte^{rt}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Δύναμη με πραγματικό εκθέτη, 6. Αύξηση της ακολουθίας, 10. Ο αριθμός e, 13. Θεμελιώδης ανισότητα. Στηρίζεται σε: D (Διωνυμικό θεώρημα), F (Ιδιότητες των εκθετών), G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αριθμός e και η φυσική εκθετική συνάρτηση.

  3. Τμήμα 3 Ο λογάριθμος και οι εξισώσεις

    • Ο log⁡a\log_a ως αντίστροφη της εκθετικής και μετάφραση κάθε ιδιότητας των εκθετών σε ιδιότητα των λογαρίθμων.
    • Αναγωγή όλων των λογαρίθμων σε έναν μόνο μέσω της αλλαγής βάσης, και μελέτη της μονοτονίας και του προσήμου τους.
    • Απόδειξη, με το λήμμα του Ευκλείδη, ότι ο log⁡23\log_2 3 είναι άρρητος.
    • Μετατροπή της ιδιότητας ένα προς ένα και της μονοτονίας σε μεθόδους επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων.

    1. Λογάριθμος. Επειδή η εκθετική συνάρτηση με βάση aa είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το R\mathbb{R} στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}, για κάθε x>0x > 0 ο αριθμός log⁡ax\log_a x είναι ο μοναδικός πραγματικός yy τέτοιος ώστε ay=xa^y = x, και η συνάρτηση log⁡a\log_a είναι η αντίστροφή της.

      Χρησιμοποιεί: 5. Σύνολο τιμών της εκθετικής. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

    2. Ιδιότητες των λογαρίθμων. Για θετικούς xx, yy και πραγματικό rr ισχύουν log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y και log⁡a(xr)=rlog⁡ax\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x.

      Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

    3. Αλλαγή βάσης. Ισχύει log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}· κάθε λογάριθμος είναι ο φυσικός διαιρεμένος με μια σταθερά, και log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1.

      Χρησιμοποιεί: 16. Ιδιότητες των λογαρίθμων. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

    4. Μονοτονία και πρόσημο του λογαρίθμου. Η συνάρτηση log⁡a\log_a είναι γνησίως αύξουσα αν a>1a > 1 και γνησίως φθίνουσα αν 0<a<10 < a < 1, και log⁡ax>0\log_a x > 0 αν και μόνο αν (a−1)(x−1)>0(a - 1)(x - 1) > 0.

      Στηρίζεται σε: G (Μονοτονία της εκθετικής), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

    5. Άρρητοι λογάριθμοι. Αν οι aa και bb είναι φυσικοί πρώτοι μεταξύ τους μεγαλύτεροι από 11, ο αριθμός log⁡ab\log_a b είναι άρρητος· ειδικότερα, άρρητος είναι ο log⁡23\log_2 3.

      Χρησιμοποιεί: 18. Μονοτονία και πρόσημο του λογαρίθμου. Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη), E (Λήμμα του Ευκλείδη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.

    6. Ιδιότητα ένα προς ένα και εξισώσεις. Ισχύει au=ava^u = a^v αν και μόνο αν u=vu = v, και log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v αν και μόνο αν u=vu = v· η εξίσωση ax=ca^x = c έχει τη μοναδική λύση log⁡ac\log_a c αν c>0c > 0, και καμία αν c≤0c \leq 0.

      Χρησιμοποιεί: 4. Εκθετική συνάρτηση. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

    7. Μονοτονία και ανισώσεις. Αν a>1a > 1, ισχύει au<ava^u < a^v αν και μόνο αν u<vu < v, και log⁡au<log⁡av\log_a u < \log_a v αν και μόνο αν u<vu < v· αν 0<a<10 < a < 1, οι ισοδυναμίες ισχύουν με αντίστροφη φορά.

      Χρησιμοποιεί: 18. Μονοτονία και πρόσημο του λογαρίθμου. Στηρίζεται σε: G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

  4. Τμήμα 4 Τα μοντέλα και οι υπερβολικές συναρτήσεις

    • Χαρακτηρισμός του μοντέλου P0ektP_0 e^{kt} από τον σταθερό λόγο του σε ίσα διαστήματα, και εύρεση του χρόνου διπλασιασμού και του χρόνου ημιζωής.
    • Γραμμικοποίηση των εκθετικών δεδομένων στο ημιλογαριθμικό επίπεδο και μελέτη του λογιστικού μοντέλου.
    • Ορισμός του υπερβολικού συνημιτόνου και του υπερβολικού ημιτόνου από τις exe^x και e−xe^{-x}, και μελέτη της μονοτονίας τους.
    • Απόδειξη της θεμελιώδους ταυτότητας, παραμετρικοποίηση του δεξιού κλάδου της υπερβολής, και εύρεση των τύπων πρόσθεσης και των αντίστροφων συναρτήσεων.

    1. Σταθερός λόγος. Αν P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt} με P0>0P_0 > 0, τότε P(t+h)=ekhP(t)P(t + h) = e^{kh} P(t) για όλους τους πραγματικούς tt και hh· στους ακέραιους χρόνους είναι το διακριτό μοντέλο με k=ln⁡(1+r)k = \ln(1 + r), και η συνάρτηση αυξάνει αν k>0k > 0 και φθίνει αν k<0k < 0.

      Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών), G (Μονοτονία της εκθετικής), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.

    2. Αντίστροφο του σταθερού λόγου. Αν η PP είναι θετική και μονότονη και το πηλίκο P(t+h)P(t)\frac{P(t + h)}{P(t)} εξαρτάται μόνο από το hh, τότε P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt} για κάποιον πραγματικό kk: η εξίσωση f(t+h)=f(t)f(h)f(t + h) = f(t) f(h) και η μονοτονία καθορίζουν την εκθετική συνάρτηση.

      Χρησιμοποιεί: 2. Εγκιβωτισμός και μονοτονία. Στηρίζεται σε: B (Πυκνότητα και αρχιμήδεια ιδιότητα), F (Ιδιότητες των εκθετών), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.

    3. Διπλασιασμός και χρόνος ημιζωής. Αν k>0k > 0, το μοντέλο P0ektP_0 e^{kt} διπλασιάζεται σε κάθε διάστημα διάρκειας T=ln⁡2kT = \frac{\ln 2}{k}, και μόνο σε αυτά· αν k=−λ<0k = -\lambda < 0, υποδιπλασιάζεται σε κάθε διάστημα διάρκειας ln⁡2λ\frac{\ln 2}{\lambda}.

      Χρησιμοποιεί: 22. Σταθερός λόγος, 20. Ιδιότητα ένα προς ένα και εξισώσεις. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.

    4. Ημιλογαριθμική γραμμικοποίηση. Ένα σημείο (t,y)(t, y) με y>0y > 0 βρίσκεται στη γραφική παράσταση της y=Cekty = C e^{kt} αν και μόνο αν το (t,ln⁡y)(t, \ln y) βρίσκεται στην ευθεία Y=ln⁡C+ktY = \ln C + kt· από δύο σημεία με διαφορετικές τετμημένες διέρχεται μία μόνο γραφική παράσταση αυτής της μορφής.

      Χρησιμοποιεί: 16. Ιδιότητες των λογαρίθμων. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.

    5. Λογιστικό μοντέλο. Η συνάρτηση P(t)=K1+Ae−rtP(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}, με θετικά KK, AA και rr, αυξάνει γνησίως ανάμεσα στο 00 και στο KK, φτάνει την τιμή K2\frac{K}{2} στο t0=ln⁡Art_0 = \frac{\ln A}{r} και η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς εκείνο το σημείο.

      Χρησιμοποιεί: 4. Εκθετική συνάρτηση. Στηρίζεται σε: G (Μονοτονία της εκθετικής), H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης.

    6. Υπερβολικές συναρτήσεις. Με cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} και sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, το υπερβολικό συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, το ημίτονο περιττή, και ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x, e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

      Χρησιμοποιεί: 4. Εκθετική συνάρτηση. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

    7. Μονοτονία των υπερβολικών συναρτήσεων. Το υπερβολικό ημίτονο και η υπερβολική εφαπτομένη είναι γνησίως αύξουσες, με −1<tanh⁡x<1-1 < \tanh x < 1· το υπερβολικό συνημίτονο φθίνει για x≤0x \leq 0, αυξάνει για x≥0x \geq 0 και το ελάχιστό του είναι cosh⁡0=1\cosh 0 = 1.

      Χρησιμοποιεί: 27. Υπερβολικές συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών), G (Μονοτονία της εκθετικής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

    8. Θεμελιώδης ταυτότητα. Για κάθε πραγματικό xx ισχύει cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.

      Χρησιμοποιεί: 27. Υπερβολικές συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

    9. Παραμετρικοποίηση της υπερβολής. Η συνάρτηση t↦(cosh⁡t,sinh⁡t)t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right) είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το R\mathbb{R} στον δεξιό κλάδο της x2−y2=1x^2 - y^2 = 1, και η αντίστροφή της αντιστοιχίζει στο σημείο (x,y)(x, y) τον αριθμό ln⁡(x+y)\ln(x + y).

      Χρησιμοποιεί: 20. Ιδιότητα ένα προς ένα και εξισώσεις, 27. Υπερβολικές συναρτήσεις, 28. Μονοτονία των υπερβολικών συναρτήσεων, 29. Θεμελιώδης ταυτότητα. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

    10. Τύποι πρόσθεσης. Ισχύουν cosh⁡(a+b)=cosh⁡acosh⁡b+sinh⁡asinh⁡b\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b και sinh⁡(a+b)=sinh⁡acosh⁡b+cosh⁡asinh⁡b\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b.

      Χρησιμοποιεί: 27. Υπερβολικές συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: F (Ιδιότητες των εκθετών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

    11. Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις. Ισχύουν arcsinh⁡x=ln⁡(x+x2+1)\operatorname{arcsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right), arccosh⁡x=ln⁡(x+x2−1)\operatorname{arccosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) για x≥1x \geq 1, και arctanh⁡x=12ln⁡1+x1−x\operatorname{arctanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} για −1<x<1-1 < x < 1.

      Χρησιμοποιεί: 28. Μονοτονία των υπερβολικών συναρτήσεων. Στηρίζεται σε: H (Ο λογάριθμος ως αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι υπερβολικές συναρτήσεις.

Προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η αλυσίδα κλείνει πάνω στον εαυτό της: η εκθετική συνάρτηση παράγει τις υπερβολικές συναρτήσεις, και ο λογάριθμος τις αντιστρέφει. Ο κύκλος μαθημάτων που ακολουθεί θα κάνει με τον κύκλο x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 ό,τι έκανε αυτή η ενότητα με την υπερβολή x2−y2=1x^2 - y^2 = 1.