Español
English
Português
中文 (中国)
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
Latineملخص
تفتتح هذه المقدمة الوحدة الخامسة والأخيرة من الدورة، المخصصة للهندسة التحليلية في الفضاء. ويعرض دروسها الأربعة والخيط الذي يربط بينها: متجهات المستوى، التي دُرست في دورة الجبر والهندسة 1، تصير ثلاثيات من الأعداد مزوّدة بجداء سلمي يقيس الأطوال والزوايا؛ والمحدد من الرتبة الثالثة في الوحدة 4 يعطي جداءً جديدًا، هو الجداء المتجهي، ومعه الجداء المختلط، الذي يقيس المساحات والحجوم؛ والمستقيمات والمستويات توصف بمعادلات خطية، وتُحسم أوضاعها النسبية بالرتبة وبمبرهنة روشيه-فروبنيوس؛ ثم يجتمع ذلك كله لقياس المسافات والزوايا بين النقاط والمستقيمات والمستويات. ويستعرض الخلفية التاريخية لهذه الأفكار، من إحداثيات ديكارت وفيرما، التي بالكاد خرجت من المستوى في القرن السابع عشر، إلى الحساب المتجهي عند غيبس وهيفيسايد وإلى علم البلّورات؛ ويصوغ بدقة، من خلال نفقين في شبكة مترو، المسألة التي نشأت منها، وهي أن يُحسم هل يتقاطع مستقيمان في الفضاء وأن يُقاس مقدار تباعدهما حين لا يتقاطعان؛ ويبيّن أين تُستعمل من جديد في هذه الدورة وفي دورات أخرى على الموقع وفي العلم والتقنية.
أهداف التعلم
- وصف ترتيب دروس الوحدة وشرح الأداة التي يقدمها كل درس منها والأدوات التي يأخذها من الوحدة المخصصة للمصفوفات ومن هندسة المستوى في دورة الجبر والهندسة 1.
- وضع إحداثيات الفضاء والجداء السلمي والجداء المتجهي والحساب المتجهي في سياقها التاريخي، مع تسمية المسألة التي جاءت كل فكرة لحلها.
- صياغة السؤال عمّا إذا كان مستقيمان في الفضاء يتقاطعان على هيئة نظام خطي، وحسمه برتبة المصفوفة الموسعة، وحساب أقصر مسافة بين مستقيمين متخالفين.
- التعرف على استعمالات الهندسة التحليلية في الفضاء في الفيزياء والرسوميات الحاسوبية والروبوتات والجيوديسيا وتحديد المواقع بالأقمار الصناعية والكيمياء.
تقييم الدخول
قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. فالأسئلة الثمانية الأولى تتناول، كل اثنين منها، دروس الوحدة الأربعة، والسؤال التاسع مسألة نمذجة تطلب صياغة وضعية في سياق ببعد نقطة عن مستقيم؛ وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة. أما الأسئلة الثلاثة الأخيرة فتتحقق مما تعدّه الوحدة معلومًا من الوحدة المخصصة للمصفوفات ومن دورة الجبر والهندسة 1. وهذا الاختبار الذاتي لا يمنح درجات: وإنما يفيد في معرفة ما يُتقَن ومواضع التوقف.
قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.
السؤال 1احسب المسافة بين النقطتين و.
الإجابة الصحيحة:
فروق الإحداثيات هي و و، والمسافة هي . ومن يحصل على فقد جمع الفروق دون أن يربّعها ودون أن يستخرج الجذر.السؤال 2ما الزاوية التي يصنعها المتجهان و؟
ينتج من قسمة الجداء السلمي على نظيم واحد فقط، مما يعطي . وجيب تمام الزاوية هو الجداء السلمي مقسومًا على جداء النظيمين.هي الزاوية التي جيبها يساوي . وخارج قسمة الجداء السلمي على جداء النظيمين هو جيب تمام الزاوية، لا جيبها.الجداء السلمي هو ونظيم كل متجه هو ؛ وجيب تمام الزاوية هو ، وهو يوافق .السؤال 3احسب .
تنقص إشارة الناقص في الحد الثاني من نشر المحدد الشكلي وفق السطر الأول: المركبة الثانية هي . والمتجه ليس عموديًا على .هو الجداء بالترتيب المعاكس، . والجداء المتجهي ضد تبديلي: عند تغيير ترتيب العاملين تتغير الإشارة.هو الجداء مركبةً بمركبة، وهو ليس عموديًا على العاملين وليس له معنى هندسي. وكل مركبة من مركبات الجداء المتجهي محدد من الرتبة الثانية.المركبات هي و و؛ والنتيجة عمودية على العاملين، كما يُتأكد بالجداء السلمي.السؤال 4احسب حجم رباعي الأوجه الذي رؤوسه و و و.
الإجابة الصحيحة:
الجداء المختلط للمتجهات و و هو المحدد الذي أسطره و و، وقيمته ؛ وهو حجم متوازي السطوح، وحجم رباعي الأوجه سدسه، . ومن يحصل على فقد حسب متوازي السطوح، ومن يحصل على فقد أخذ النصف، كما في مساحة المثلث.السؤال 5ما معادلة المستوى الذي يمر بـ و و؟
أُخذت نقاط التقاطع مع المحاور معاملاتٍ. ومعادلة مستوى يقطع المحاور عند و و هي ؛ وهنا ، وهي تكافئ . والنقطة لا تحقق .المتجه الناظمي صحيح، لكن الحد الثابت لم يُحسب: هذه المعادلة تصف المستوى الموازي المارّ بالأصل، ولا تحققها أي نقطة من النقاط الثلاث.هو المستقيم المارّ بـ و. والمستوى يحتاج إلى متجهي توجيه غير متوازيين، أو إلى متجه ناظمي.متجه ناظمي هو ، وهو متناسب مع ؛ والحد الثابت ينتج من تعويض : . والنقاط الثلاث تحقق المعادلة.السؤال 6ما الوضع النسبي للمستقيمين و؟
هذا ما يحدث في المستوى لمستقيمين غير متوازيين. أما في الفضاء فتساوي النقاط يعطي ثلاث معادلات بمجهولين، والثالثة، ، مستحيلة.في المستوى، المستقيمان اللذان لا نقاط مشتركة بينهما متوازيان؛ أما في الفضاء فلا، لأنهما قد يكونان متخالفين. ومتجها التوجيه و غير متناسبين.متجها توجيههما غير متوازيين، والنظام ، ، ليس له حل؛ والمستقيمان غير المتوازيين اللذان لا نقاط مشتركة بينهما متخالفان. والجداء المختلط للمتجهات و و يساوي ، وهو غير منعدم، مما يؤكد أنهما لا يقعان في مستوى واحد.السؤال 7احسب بعد النقطة عن المستوى .
الإجابة الصحيحة:
بحسب صيغة بعد نقطة عن مستوى، . ومن يحصل على فقد نسي القسمة على نظيم المتجه الناظمي، ومن يحصل على فقد أضاف الحد الثابت بدلًا من طرحه.السؤال 8ما الزاوية التي يصنعها المستقيم ذو متجه التوجيه مع المستوى ؟
هي زاوية المستقيم مع المتجه الناظمي، لا مع المستوى. والزاوية مع المستوى هي التي يصنعها المستقيم مع مسقطه عليه، وهي متممة الزاوية الأولى.ينتج من قسمة الجداء السلمي على نظيم واحد فقط، مما يعطي جيب تمام قدره . ويجب القسمة على جداء النظيمين.يكون المستقيم موازيًا للمستوى لو كان متجه توجيهه عموديًا على المتجه الناظمي؛ لكن الجداء السلمي لـ و يساوي ، لا .متجه التوجيه والمتجه الناظمي يصنعان زاوية جيب تمامها ، أي زاوية قياسها ؛ وزاوية المستقيم مع المستوى هي متممتها، .السؤال 9تقلع طائرة مسيّرة من النقطة في حديقة عامة وترتفع في خط مستقيم في اتجاه المتجه ، والمسافات بالأمتار. وعند النقطة من الأرض يجلس شخص. ما أقل مسافة تمرّ عندها الطائرة المسيّرة من هذا الشخص، بالأمتار؟
الإجابة الصحيحة:
المسار هو المستقيم ، حيث نظيمه ، وأقل مسافة هي بعد عن هذا المستقيم: . وتتحقق عند موقع العمود، أي النقطة ، لأن عمودي على . ومن يحصل على فقد حسب المسقط ، الذي يقيس كم تتقدم الطائرة المسيّرة حتى ذلك الموقع، لا المسافة؛ ومن يحصل على فقد قاس المسافة إلى نقطة الإقلاع.السؤال 10من وحدات سابقةاحسب محدد المصفوفة التي أسطرها و و.
الإجابة الصحيحة:
بالنشر وفق السطر الأول، . ومن يحصل على فقد نسي الإشارة المتناوبة للحد الثاني من النشر.السؤال 11من وحدات سابقةلنظام من ثلاث معادلات خطية بمجهولين مصفوفة معاملات رتبتها ومصفوفة موسعة رتبتها . كم حلًا له؟
تساوي رتبة مصفوفة المعاملات وعدد المجاهيل يضمن الوحدانية فقط إذا كان النظام متسقًا، والاتساق يقتضي أن تكون للمصفوفة الموسعة الرتبة نفسها.تكون الحلول لانهائية حين يكون النظام متسقًا وتكون الرتبة المشتركة أصغر من عدد المجاهيل. وهنا النظام غير متسق، لأن الرتبتين مختلفتان.بحسب مبرهنة روشيه-فروبنيوس، يكون للنظام حل إذا وفقط إذا كانت للمصفوفتين الرتبة نفسها؛ وهنا الرتبتان مختلفتان، فالنظام غير متسق.السؤال 12من وحدات سابقةما قيمة التي يكون عندها المتجهان و في المستوى متعامدين؟
الإجابة الصحيحة:
يكون متجهان غير منعدمين متعامدين إذا وفقط إذا انعدم جداؤهما السلمي: ، ومنه . ومن يحصل على فقد غيّر إشارة؛ ومن يساوي بين الميلين يبحث عن متجهين متوازيين، لا متعامدين.
جارٍ تحميل المحتوى…