انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الهندسة التحليلية في الفضاء: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للهندسة التحليلية في الفضاء، وهي آخر وحدات الدورة. ويجمع في سلسلة استنتاجية ما حقّقته دروس المحتوى الأربعة فيها: البعد بين نقطتين، الذي يُحصل عليه بتطبيق مبرهنة فيثاغورس مرتين؛ والجداء السلمي ومتباينة كوشي-شفارتز والزاوية بين متجهين، التي تطابق زاوية الهندسة الأولية؛ والجداء المتجهي والجداء المختلط، المولودين من المحدد من الرتبة الثالثة، مع قراءتهما مساحةً وحجمًا ومعيارًا لاتحاد المستوى؛ ومعادلات المستقيمات والمستويات وتصنيف أوضاعها النسبية بمبرهنة روشيه-فروبنيوس؛ وأخيرًا الأبعاد والزوايا والإسقاطات وسطح الكرة. ويشرح ما تتلقّاه الوحدة من الوحدات التي سبقتها ومن دورة الجبر والهندسة 1، وما قُبل دون برهان، وإلى أين تقود. ويعيد في تقييم الخروج مهارات تقييم الدخول في المقدمة، ويُختم بعشرة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، يجمع كل منها بين عدة دروس.

أهداف التعلم

  1. إعادة بناء سلسلة التعاريف والمبرهنات في الوحدة، من البعد بين نقطتين إلى العمود المشترك وسطح الكرة، مع الإشارة في كل حلقة إلى النتائج المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها.
  2. التمييز في الوحدة بين ما بُرهن وما قُبل، وربط نتائجها بالمحددات والأنظمة في الوحدة المخصّصة للمصفوفات وبالهندسة التحليلية في المستوى في دورة الجبر والهندسة 1.
  3. حل مسائل تجمع الجداءات السلمي والمتجهي والمختلط مع معادلات المستقيمات والمستويات وسطوح الكرات، باختيار الأداة ونظام المحاور الأنسب في كل حالة.
  4. نمذجة مواقف من علم البلّورات والرسم الهندسي والبصريات والملاحة بهندسة الفضاء، وعرض الحل بصياغته وحسابه والتحقّق من معقوليته.

ما حقّقته الوحدة

الإحداثيات والجداء السلمي

بدأت الوحدة بالتصريح بما لن تبرهنه. فقد جمع الدرس الخاص بـالمتجهات في الفضاء والجداء السلمي في قائمة حقائقَ الهندسة الإقليدية في الفضاء المقبولة، وحصل بمبرهنة فيثاغورس مطبّقةً مرتين على صيغة البعد. وعُرّفت المتجهات بوصفها ثلاثيات، واحتفظ الجداء السلمي بالخصائص التي كانت له في المستوى، مع متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية. غير أنه لا يوجد في الفضاء شكل مستوٍ يحوي كل شيء، فانعكس الترتيب: عُرّفت الزاوية بجيب تمامها، الذي تضعه متباينة كوشي-شفارتز بين −1-1 و11، ثم بُرهن أنها تقيس ما تسمّيه الهندسة الأولية زاوية، لأن الجداء السلمي لا يتعلّق إلا بأطوال أضلاع مثلث. ومن ذلك نتج الإسقاط العمودي وجيوب تمام الاتجاه والمصفوفات التي تحفظ الأطوال والزوايا.

الجداء المتجهي والجداء المختلط

قاد البحث عن متجه عمودي على متجهين معلومين، في الدرس الخاص بـالجداء المتجهي والجداء المختلط، إلى ثلاثة محددات من الرتبة الثانية. وإذا كان الأمر كذلك، أعطت خصائص المحددات على الفور خاصيّة ضد التبديل والخطية الثنائية؛ وأعطت متطابقة لاغرانج النظيم مساحةً لمتوازي الأضلاع؛ وبرهنت صيغة الجداء المتجهي المضاعف، التي تحلّ محلّ التجميع، أن المتجهات العمودية على متجهين غير متوازيين هي مضاعفات جدائهما المتجهي. وتبيّن أن الجداء المختلط محدد من الرتبة الثالثة: ينعدم إذا وفقط إذا كانت المتجهات الثلاثة متحدة المستوى، وقيمته المطلقة حجم متوازي السطوح، ومربعه محدد غرام. وأخيرًا فصل الدرس، في منحى الجداء المتجهي، ما يُبرهن عمّا يُصطلح عليه عند رسم المحاور، أي النظام اليميني، وعمّا يُقبل، أي قاعدة اليد اليمنى.

المستقيمات والمستويات

ردّ الدرس الخاص بـالمستقيمات والمستويات في الفضاء انتماءَ نقطة إلى مستوى إلى شرط واحد، n⃗⋅AP⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0، حيث n⃗\vec{n} الجداء المتجهي لمتجهَي التوجيه، واستخرج منه المعادلة الديكارتية، الوحيدة باستثناء عامل. وبذلك تكون النقاط المشتركة بين عدة مستويات حلولَ نظام خطي، ونالت مبرهنة روشيه-فروبنيوس قراءتها الهندسية: حلول نظام متسق بثلاثة مجاهيل تشكّل نقطة أو مستقيمًا أو مستويًا بحسب الرتبة. ومنها استُنتجت الأوضاع النسبية للمستويات والمستقيمات، مع الجداء المختلط AB⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) معيارًا للتمييز بين المستقيمات المتقاطعة والمستقيمات المتخالفة، وحزمة المستويات.

القياسات

جمع الدرس الخاص بـالمسافات والزوايا والحجوم في الفضاء الجداءات الثلاثة مع المعادلات. فبالإسقاط على الناظم أو على المستقيم برهن صيغتي بعد نقطة عن مستوى وعن مستقيم، مع موقع العمود بوصفه النقطة الأقرب الوحيدة، والمبرهنة المركزية في الوحدة: لكل مستقيمين متخالفين عمود مشترك وحيد، طوله جداء مختلط مقسوم على نظيم. وهذا هو الجواب عن مسألة نفقَي المترو التي طرحتها المقدمة. ثم برهن أن الزوايا بين المستقيمات والمستويات المعرّفة بالجداءات السلمية تطابق زوايا الهندسة الأولية، وأن مساحة مسقط مضلع مستوٍ تساوي مساحته مضروبة في جيب تمام الزاوية الزوجية، ودرس سطح الكرة والمستوى المماس له.

ومن ثمّ تشكّل الوحدة سلسلة: الحقائق المقبولة تعطي البعد؛ والبعد وخصائص الجداء السلمي تعطي الزاوية؛ والمحددات تعطي الجداء المتجهي والجداء المختلط؛ وهذان يحوّلان انتماء نقطة إلى مستوى إلى معادلة خطية؛ والأنظمة الخطية تصنّف الأوضاع؛ والإسقاط العمودي، مطبّقًا على تلك المعادلات، يقيس. ويجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكل منها موصولة بخط متصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط متقطع بالحلقة التي تثبت فيها، ما عدا التي تُقبل دون برهان أو تأتي من الوحدات التي سبقت أو من دورة الجبر والهندسة 1، فهذه تُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

  • Aحقائق إقليدية في الفضاء. يُقبل وجود المستوى المار بثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة ووحدانيته، ووجود المستوى المار بنقطة عموديًا على مستقيم ووحدانيته، وحرية اختيار المحاور، والتناظر بين النقاط والثلاثيات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Bالمساحات والحجوم الأولية. تُقبل القاعدة في الارتفاع لمتوازي الأضلاع ولمتوازي السطوح، ونصف تلك المساحة للمثلث، وثلث القاعدة في الارتفاع للهرم، وجمعية المساحة؛ وأساسها حساب التكامل. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Cهندسة المستوى. البعد، وخصائص الجداء السلمي، والزاوية بين متجهين، وتوطئة المتجهات المتساوية ومتوازيات الأضلاع، وإكمال المربع، وإشارة كثير الحدود التربيعي بحسب مميّزه، وقد بُرهنت في دورة الجبر والهندسة 1. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Dحساب المثلثات. قوس جيب التمام بوصفه تقابلًا من [−1,1]\icc{-1}{1} إلى [0,π]\icc{0}{\pi}، والمتطابقة cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1، وقانون جيب التمام، وقد بُرهنت في الوحدتين 1 و2. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Eالمصفوفات والمحددات. منقول الجداء، والمعكوس من جهة واحدة، وخصائص المحدد، وقاعدة كرامر، والتكافؤ بين det⁡A≠0\det A \neq 0 والرتبة العظمى، وقد بُرهنت في الوحدة 4. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Fروشيه-فروبنيوس. يكون النظام AX=BAX = B متسقًا إذا وفقط إذا rank⁡(A)=rank⁡(M)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)، وعندئذ يكون له من درجات الحرية بقدر عدد المجاهيل ناقصًا الرتبة؛ وقد بُرهن في الوحدة 4. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Gالإسقاط العمودي. إذا لم يكن v⃗\vec{v} منعدمًا، كُتب كل متجه بطريقة وحيدة مضاعفًا لـv⃗\vec{v} زائد متجه عمودي على v⃗\vec{v}، ومربع نظيمه يساوي مجموع مربعي نظيمي المركبتين. تثبت في: 6. الإسقاط العمودي.
  • Hالعمودية على متجهين. إذا لم يكن u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} منعدمين ولا متوازيين، فالمتجهات العمودية عليهما معًا هي بالضبط مضاعفات u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}. تثبت في: 14. العمودية على متجهين.

  1. المقطع 1 الإحداثيات والجداء السلمي

    • تعيين نقاط في الفضاء وحساب الأبعاد، مع تعليل الصيغة بمبرهنة فيثاغورس.
    • إجراء العمليات على متجهات الفضاء والبرهنة بها على خصائص متوازيات الأضلاع ومتوازيات السطوح.
    • البرهنة على متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية، وتعريف الزاوية بين متجهين بهما.
    • حساب الإسقاطات العمودية وجيوب تمام الاتجاه، والتعرّف على المصفوفات التي تحفظ الأطوال والزوايا.

    1. البعد بين نقطتين. البعد بين (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) و(x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) هو (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}، بمبرهنة فيثاغورس مطبّقةً في مستوٍ أفقي ثم في مستوٍ رأسي.

      تستند إلى: A (حقائق إقليدية في الفضاء), C (هندسة المستوى). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    2. المتجهات والأساس القانوني. تشكّل الثلاثيات فضاءً متجهيًا، وكل متجه هو بطريقة وحيدة تركيب من i⃗\vec{i} وj⃗\vec{j} وk⃗\vec{k}، وإذا كان PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} ولم تكن النقاط الأربع على استقامة واحدة، فإنها تقع في مستوٍ واحد وPQSRPQSR متوازي أضلاع، والعكس صحيح.

      تستعمل: 1. البعد بين نقطتين. تستند إلى: A (حقائق إقليدية في الفضاء), C (هندسة المستوى). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    3. خواص الجداء السلمي. الجداء السلمي تبديلي وتوزيعي، ويسمح بإخراج الأعداد، ويحقّق u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2؛ ونتيجةً لذلك ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2{\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2.

      تستعمل: 2. المتجهات والأساس القانوني. تستند إلى: C (هندسة المستوى). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    4. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية. تتحقّق ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} و∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}، وتتحقّق المساواة في الأولى إذا وفقط إذا كان أحد المتجهين مضاعفًا للآخر.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي. تستند إلى: C (هندسة المستوى). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    5. الزاوية هي الزاوية الهندسية. العدد θ\theta من [0,π]\icc{0}{\pi} الذي يحقق cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}} هو قياس الزاوية التي يصنعها سهما u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} المرسومان من مبدأ واحد؛ وبخاصة يكون متجهان غير منعدمين متعامدين إذا وفقط إذا انعدم جداؤهما السلمي.

      تستعمل: 1. البعد بين نقطتين, 3. خواص الجداء السلمي, 4. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية. تستند إلى: A (حقائق إقليدية في الفضاء), C (هندسة المستوى), D (حساب المثلثات). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    6. الإسقاط العمودي. إذا كان v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}، فكل u⃗\vec{u} هو بطريقة وحيدة p⃗+w⃗\vec{p} + \vec{w}، حيث p⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v} وw⃗\vec{w} عمودي على v⃗\vec{v}، و∥u⃗∥2=∥p⃗∥2+∥w⃗∥2{\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي, 5. الزاوية هي الزاوية الهندسية. يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

    7. المصفوفات المتعامدة. يتحقّق (Au⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(ATv⃗)\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)؛ وإذا كانت أعمدة AA أحادية ومتعامدة، فإن ATA=IA^{\mathsf{T}} A = I، وAA تحفظ النظيمات والأبعاد والزوايا.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي. تستند إلى: E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.

  2. المقطع 2 الجداء المتجهي والجداء المختلط

    • تعريف الجداء المتجهي بمحدد شكلي، والبرهنة بالمحددات على أنه ضد تبديلي وثنائي الخطية، لكنه غير تجميعي.
    • البرهنة على العمودية ومتطابقة لاغرانج ومعيار التوازي وصيغة الجداء المتجهي المضاعف.
    • مطابقة الجداء المختلط بمحدد من الرتبة الثالثة، وقراءته حجمًا ومعيارًا لاتحاد المستوى.
    • الفصل، في منحى الجداء المتجهي، بين ما يُبرهن واصطلاح النظام اليميني وقاعدة اليد اليمنى، التي تُقبل.

    1. الخصائص الجبرية. الجداء المتجهي، الذي مركّباته ثلاثة محددات من الرتبة الثانية، ضد تبديلي وثنائي الخطية، ويحقّق u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}، وليس تجميعيًا.

      تستند إلى: E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    2. العمودية. تتحقّق u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 وv⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0: الجداء المتجهي عمودي على عامليه.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي, 8. الخصائص الجبرية. يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    3. متطابقة لاغرانج. لجميع المتجهات تتحقّق ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي, 8. الخصائص الجبرية. يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    4. مساحة متوازي الأضلاع. النظيم ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta هو مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، والمثلث ABCABC مساحته 12∥AB⃗×AC⃗∥\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}.

      تستعمل: 5. الزاوية هي الزاوية الهندسية, 10. متطابقة لاغرانج. تستند إلى: B (المساحات والحجوم الأولية), D (حساب المثلثات), G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    5. انعدام الجداء والتوازي. يتحقّق u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} إذا وفقط إذا كان أحد المتجهين مضاعفًا للآخر.

      تستعمل: 8. الخصائص الجبرية. يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    6. الجداء المتجهي المضاعف. تتحقّق u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w} ومتطابقة ياكوبي.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي, 8. الخصائص الجبرية. يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    7. العمودية على متجهين. إذا لم يكن u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} منعدمين ولا متوازيين، كان متجه عموديًا عليهما معًا إذا وفقط إذا كان مضاعفًا لـn⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}، وعندئذ يكون x⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}.

      تستعمل: 9. العمودية, 12. انعدام الجداء والتوازي, 13. الجداء المتجهي المضاعف. يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    8. الجداء المختلط محدد. الجداء المختلط u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) هو محدد المصفوفة التي صفوفها u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} وw⃗\vec{w}؛ لا يتغيّر بالتبديل الدائري للعوامل، وتتغيّر إشارته بتبديل عاملين، ويمكن تبديل النقطة بالصليب.

      تستعمل: 3. خواص الجداء السلمي, 8. الخصائص الجبرية. تستند إلى: E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    9. معيار اتحاد المستوى. تكون ثلاثة متجهات متحدة المستوى، أي تقبل تركيبًا منعدمًا بمعامل غير منعدم واحد على الأقل، إذا وفقط إذا انعدم جداؤها المختلط.

      تستعمل: 15. الجداء المختلط محدد. تستند إلى: E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    10. الحجم ومصفوفة غرام. متوازي السطوح الذي أحرفه u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} وw⃗\vec{w} حجمه ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}، ورباعي الأوجه سدس ذلك، ومربع الجداء المختلط هو محدد غرام.

      تستعمل: 11. مساحة متوازي الأضلاع, 12. انعدام الجداء والتوازي, 15. الجداء المختلط محدد, 16. معيار اتحاد المستوى. تستند إلى: B (المساحات والحجوم الأولية), G (الإسقاط العمودي), E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

    11. التوصيف والتوجيه. إذا لم يكن u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} منعدمين ولا متوازيين، فإن u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} هو المتجه الوحيد العمودي عليهما معًا، الذي نظيمه المساحة وجداؤه المختلط موجب؛ أما أنه يتّجه حيث يشير إبهام اليد اليمنى فيُقبل، بعد الاصطلاح على رسم المحاور.

      تستعمل: 11. مساحة متوازي الأضلاع, 15. الجداء المختلط محدد. تستند إلى: H (العمودية على متجهين). يُبرهن في: الجداء المتجهي والجداء المختلط.

  3. المقطع 3 المستقيمات والمستويات

    • كتابة المستقيمات بالشكل المتجهي والوسيطي والمتناظر، والمستويات بالشكل الوسيطي والديكارتي، والانتقال من شكل إلى آخر بالجداء المتجهي.
    • البرهنة على أن لكل مستوى معادلة ديكارتية وحيدة باستثناء عامل، وأن كل معادلة من الدرجة الأولى تصف مستويًا.
    • الحكم على الأوضاع النسبية للمستويات والمستقيمات برتب نظام خطي وبالجداء المختلط.
    • إنشاء المستويات التي تحوي مستقيمًا وتحقّق شرطًا آخر بحزمة المستويات.

    1. المستقيم المار بنقطتين. يمر بنقطتين مختلفتين AA وBB مستقيم وحيد، هو A+tAB⃗A + t \vec{AB}.

      تستعمل: 2. المتجهات والأساس القانوني. يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

    2. تراكيب متجهين. إذا لم يكن u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} منعدمين ولا متوازيين، كان w⃗\vec{w} تركيبًا منهما إذا وفقط إذا (u⃗×v⃗)⋅w⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0، وعندئذ تكون المعاملات وحيدة.

      تستعمل: 9. العمودية, 15. الجداء المختلط محدد. تستند إلى: F (روشيه-فروبنيوس), E (المصفوفات والمحددات). يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

    3. المعادلة الديكارتية للمستوى. تقع نقطة في المستوى A+λu⃗+μv⃗A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} إذا وفقط إذا (u⃗×v⃗)⋅AP⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0؛ ولكل مستوى معادلة ax+by+cz=dax + by + cz = d وحيدة باستثناء عامل، وكل معادلة كهذه تصف مستويًا.

      تستعمل: 12. انعدام الجداء والتوازي, 20. تراكيب متجهين. تستند إلى: H (العمودية على متجهين). يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

    4. أوضاع المستويات. حلول نظام متسق بالمجاهيل xx وyy وzz تشكّل نقطة أو مستقيمًا أو مستويًا بحسب كون الرتبة 33 أو 22 أو 11 على الترتيب؛ ومن ذلك تنتج أوضاع مستويين وثلاثة مستويات وأوضاع مستقيم ومستوى.

      تستعمل: 19. المستقيم المار بنقطتين, 20. تراكيب متجهين, 21. المعادلة الديكارتية للمستوى, 15. الجداء المختلط محدد. تستند إلى: F (روشيه-فروبنيوس), E (المصفوفات والمحددات), H (العمودية على متجهين). يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

    5. أوضاع مستقيمين. المستقيمان غير المتوازيين A+tu⃗A + t \vec{u} وB+λv⃗B + \lambda \vec{v} يتقاطعان إذا كان AB⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0، ويتخالفان إن لم يكن؛ وينعدم هذا الجداء المختلط إذا وفقط إذا وقعا في مستوٍ واحد.

      تستعمل: 19. المستقيم المار بنقطتين, 15. الجداء المختلط محدد, 21. المعادلة الديكارتية للمستوى. تستند إلى: F (روشيه-فروبنيوس), E (المصفوفات والمحددات), H (العمودية على متجهين). يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

    6. حزمة من المستويات. المستويات التي تحوي المستقيم المشترك بين مستويين متقاطعين هي تراكيب معادلتيهما بمعاملين غير منعدمين معًا.

      تستعمل: 20. تراكيب متجهين, 22. أوضاع المستويات. يُبرهن في: المستقيمات والمستويات في الفضاء.

  4. المقطع 4 القياسات

    • البرهنة على صيغتي بعد نقطة عن مستوى وعن مستقيم، مع موقع العمود بوصفه النقطة الأقرب الوحيدة.
    • إيجاد العمود المشترك لمستقيمين متخالفين، والبرهنة على وحدانيته، وحساب طوله بجداء مختلط.
    • تعريف الزوايا بين المستقيمات والمستويات، والبرهنة على أنها تطابق الزوايا الهندسية، وربط مساحة شكل مستوٍ بمساحة مسقطه.
    • دراسة سطح الكرة وتقاطعه مع مستوٍ والمستوى المماس له، وتطبيق ذلك كله على علم البلّورات وعلى تحديد المواقع بالأقمار الصناعية.

    1. البعد عن مستوى. بعد (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) عن المستوى ax+by+cz=dax + by + cz = d هو ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}، ولا يُبلغ إلا في موقع العمود؛ ومنه يخرج نصفا الفضاء ونظيرة النقطة.

      تستعمل: 21. المعادلة الديكارتية للمستوى. تستند إلى: G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

    2. البعد عن مستقيم. بعد PP عن المستقيم A+tu⃗A + t \vec{u} هو ∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}، ولا يُبلغ إلا في موقع العمود.

      تستعمل: 10. متطابقة لاغرانج, 19. المستقيم المار بنقطتين. تستند إلى: G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

    3. العمود المشترك. لمستقيمين متخالفين، A+tu⃗A + t \vec{u} وB+sv⃗B + s \vec{v}، عمود مشترك وحيد، والبعد بينهما هو ∣AB⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∥u⃗×v⃗∥\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}، ولا يُبلغ إلا بين موقعيه.

      تستعمل: 10. متطابقة لاغرانج, 15. الجداء المختلط محدد, 23. أوضاع مستقيمين. تستند إلى: E (المصفوفات والمحددات), H (العمودية على متجهين), G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

    4. الزوايا مع المستويات والزوايا الزوجية. زاوية مستقيم مع مستوٍ، التي جيبها ∣u⃗⋅n⃗∣∥u⃗∥∥n⃗∥\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}، هي الزاوية التي يصنعها مع مسقطه، والزاوية بين ناظمَي مستويين هي الزاوية الزوجية أو مكمّلتها إلى زاوية مستقيمة.

      تستعمل: 4. كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية, 11. مساحة متوازي الأضلاع, 13. الجداء المتجهي المضاعف, 15. الجداء المختلط محدد, 25. البعد عن مستوى. تستند إلى: D (حساب المثلثات), H (العمودية على متجهين), G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

    5. مساحة المسقط. إذا وقع مضلع مساحته SS في مستوٍ يصنع الزاوية الزوجية α\alpha مع المستوى π\pi، مع α=0\alpha = 0 إذا كانا متوازيين، فإن مسقطه العمودي على π\pi مساحته Scos⁡αS \cos \alpha.

      تستعمل: 11. مساحة متوازي الأضلاع, 15. الجداء المختلط محدد, 25. البعد عن مستوى, 28. الزوايا مع المستويات والزوايا الزوجية. تستند إلى: B (المساحات والحجوم الأولية), H (العمودية على متجهين). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

    6. سطح الكرة والمستوى المماس له. المستوى الذي يبعد δ\delta عن مركز سطح كرة نصف قطره RR يقطعه في دائرة نصف قطرها R2−δ2\sqrt{R^2 - \delta^2} إذا كان δ<R\delta < R، ولا يمسّه إلا في موقع العمود إذا كان δ=R\delta = R؛ والمستوى المماس عند TT ناظمه CT⃗\vec{CT}.

      تستعمل: 1. البعد بين نقطتين, 25. البعد عن مستوى. تستند إلى: C (هندسة المستوى), G (الإسقاط العمودي). يُبرهن في: المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.

نحو التفاضل والتكامل. تنتهي السلسلة حيث تنتهي الأدوات الأولية. وتضعها الحصيلة النهائية للدورة بين الأهداف العامة السبعة؛ وفي دورة التفاضل والتكامل 3 ستوضع مكان المستويات مستوياتٌ مماسة لسطوح منحنية، ومكان المحدد معاملُ الحجم لتحويل.