النهايات والاتصال: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للنهايات والاتصال. فهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما برهنته دروس الوحدة العشرة: تعريف النهاية بإبسيلون ودلتا وخواصها المحلية، وقواعد جبر النهايات مردودةً إلى ثلاث توطئات، ومبرهنة الحصر والنهايات المثلثية؛ والنهايات من جهة واحدة وعند اللانهاية والنهايات اللانهائية، التي ترث تلك القواعد بالقصر وبالتعاكس وبالمقلوب، ومعها المقاربات؛ والاتصال، واتصال الدوال الأولية، والنهايات الشهيرة، ومقارنة الدوال بواسطة اللامتناهيات في الصغر المتكافئة. ويبيّن كيف تستند الوحدة إلى الجبر والهندسة 1 و2، فتحوّل ما قبلاه دون برهان من حقائق عن المقاربات والاتصال إلى مبرهنات، وكيف تمهّد لدراسة المشتقات وتطبيقاتها. ويُختم بتقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول، وبعشرة تحدّيات أصعب من مسائل الدروس، يجمع كلٌّ منها نتائج عدة دروس منها.

أهداف التعلم

عرض التعريفات والمبرهنات الرئيسية في الوحدة بترتيبها المنطقي، مع بيان النتائج المتقدّمة التي يعتمد عليها كلٌّ منها، والحجج بإبسيلون ودلتا التي يُعاد استعمالها.
التمييز بين ما تقبله الوحدة دون برهان وما تبرهنه، وتعرّف فرضيات كل نتيجة، مثل فرضية نهاية التركيب أو فرضية استبدال المتكافئات.
ربط نتائج الوحدة بالجبر والهندسة 1 و2 وبدراسة المشتقات وتطبيقاتها.
حل مسائل غير مألوفة تجمع بين جبر النهايات، والنهايات من جهة واحدة، والنهايات عند اللانهاية والنهايات اللانهائية، والمقاربات، والاتصال، والنهايات الشهيرة، واللامتناهيات في الصغر المتكافئة.

ما حقّقته الوحدة

انطلقت الوحدة من سؤال ومن مطلب. السؤال: ما معنى أن تقترب قيم دالة من عدد حين يقترب المتغير من نقطة. والمطلب: أن يتيح الجواب البرهان لا الحساب وحده، وأن تُجرى كل حجة بإبسيلون ودلتا مرة واحدة ثم يُعاد استعمالها. وكان الجواب تعريفًا واحدًا، صيغ في الدرس الخاص بـنهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد: إذا كانت $a$ نقطة تراكم للمجال $A$ للدالة $f$ ، فإن القول إن نهاية $f$ عند $a$ هي $L$ يعني ما يلي.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

وكل ما عدا ذلك استُخرج منه بالردّ: قواعد الحساب إلى متباينة، والنهايات من جهة واحدة إلى نهايات المقصورات، والنهايات عند اللانهاية إلى نهايات من جهة واحدة عند الصفر، والنهايات اللانهائية إلى نهايات منعدمة للمقلوبات، والاتصال إلى نهاية تساوي القيمة.

تعريف النهاية وجبرها

قرأ الدرس الأول التعريف لعبةَ تحدٍّ وردّ، وكتبه عبارةً مكمّمة، واستخرج نفيه مكمّمًا بعد مكمّم. وبمطلب أن تكون $a$ نقطة تراكم للمجال برهن وحدانية النهاية؛ وبتحدّيات مختارة سلفًا برهن أن النهاية لا تتوقف إلا على القيم القريبة من النقطة، وأنها تُلزم الدالة بأن تبقى محدودة قربها، وأنها إن لم تكن صفرًا فرضت عليها إشارتها. ورتّب الدرس الخاص بـجبر النهايات البراهين ليُعاد استعمالها: ثلاث توطئات، مبرهنة بإبسيلون ودلتا، تُثبت أن كل دالة $F$ تحقق قرب $a$ حدًّا أعلى من الشكل $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ تؤول إلى $K$ ، ورُدّت كل قاعدة إلى إيجاد ذلك الحد: فقاعدة التركيب الخطي تأتي من المتباينة المثلثية، وقاعدة الجداء من المحدودية المحلية، وقاعدة المقلوب من حفظ الإشارة، مع توطئة تضمن أن قصر المجال لا يُضيع النهاية. ومن ذلك لزم التعويض المباشر في كثيرات الحدود والدوال الكسرية، ونهايات الجذور والقوى ذات الأسس النسبية، ومبرهنة التركيب، التي تسوّغ تغيير المتغير بفرضية يبيّن مثال مضاد أنها لازمة: ألا تأخذ الدالة الداخلية قيمة نهايتها قرب النقطة. وبرهن الدرس الخاص بـمبرهنة الحصر أن النهايات تحفظ المتباينات غير الصارمة، وأن الدالة المحصورة بين دالتين تؤولان إلى العدد نفسه تؤول إليه أيضًا، وأن جداء دالة محدودة في دالة تؤول إلى الصفر يؤول إلى الصفر؛ وبالحد الأعلى $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ وبمتباينة الجيب والقوس والظل حصل على النهاية الأساسية $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ونتائجها.

الجهتان واللانهاية والمقاربات

عرّف الدرس الخاص بـالنهايات من جهة واحدة هذه النهايات بأنها نهايات مقصور الدالة على جهة من النقطة. وقد وفّر هذا القرار كل العمل الباقي: فالمبرهنات التي سبقت تصحّ لها دون برهان جديد، والنهاية موجودة إذا وفقط إذا وُجدت النهايتان من جهة واحدة وتساوتا. وبرهن الدرس نفسه، لأول مرة دون حساب القيمة، أن نهايةً ما موجودة: فالدالة المتزايدة والمحدودة من الأعلى على فترة تؤول، عند طرفها الأيمن، إلى الحد الأعلى الأصغر لقيمها، ويضمن ذلك التمام. وردّ الدرس الخاص بـالنهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية كلًّا منها، بتوطئة التعاكس، إلى نهاية من جهة واحدة عند الصفر، وحصل بذلك على سلوك الدوال الكسرية بعيدًا عن الأصل. وأتمّ الدرس الخاص بـالنهايات اللانهائية هذا البناء بالحالة التي تتزايد فيها القيم بلا حد: فتوطئة المقلوب تترجمها إلى نهايات منعدمة، بحيث إن القواعد التي تُلخَّص في « $\infty + c = \infty$ » أو « $c \cdot \infty = \infty$ » مبرهناتٌ ذات فرضيات، وحالات عدم التعيين الأربع تنبيهات لا نتائج. وأخيرًا عرّف الدرس الخاص بـالخطوط المقاربة المقاربات بالنهايات، ووجد ميل المقارب غير العمودي وترتيبته عند الأصل نهايتين، ومن ثم لا يوجد عند كل طرف إلا مقارب واحد على الأكثر، وبرهن المقاربات العمودية للدوال الكسرية، ونظّم الرسم التقريبي للتمثيل البياني دون مشتقات؛ وبيّن أيضًا أن المنحنى قد يقطع مقاربه.

الاتصال ومقارنة الدوال

عرّف الدرس الخاص بـالنهاية والاتصال الاتصال عند نقطة من المجال، وبرهن أنه عند نقطة تراكم يكافئ أن تكون النهاية هي القيمة، وصنّف حالات عدم الاتصال إلى قابلة للإزالة وقفزية وأساسية. وأعطت قواعد جبر النهايات اتصال العمليات، وتبيّن أن تركيب الدوال المتصلة متصل دون الفرضية التي كانت تشترطها مبرهنة نهاية التركيب؛ ومن ذلك يلزم أن النهاية تدخل في الدالة المتصلة. وبرهن الدرس الخاص بـاتصال الدوال الأولية بحجة واحدة، هي حجة الدوال الرتيبة التي صورتها فترة، اتصالَ الدالة الأسية واللوغاريتم والقوى ذات الأسس الحقيقية والدوال المثلثية العكسية؛ وبه وبالمتباينة $e^x \geq 1 + x$ حصل على النهايات الشهيرة، والعدد $e$ كنهاية، والحالة $1^\infty$ ، وقارن الدالة الأسية والقوى واللوغاريتم عند اللانهاية. وقرأ الدرس الخاص بـالدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر كل تلك النهايات مقارناتٍ بين الدوال: فعرّف $\operatorname{o}$ الصغيرة و $\operatorname{O}$ الكبيرة والتكافؤ، وبرهن أن كل عامل في جداء أو خارج قسمة يمكن استبداله بعامل يكافئه، وجمع النهايات التي سبقت في جدول للمتكافئات عند الصفر.

ما يُقبل وما يُبرهن وما يبقى

يمكن تلخيص حصيلة الوحدة على النحو الآتي:

تُقبل مسلّمة واحدة: مسلّمة التمام، مع مسلّمات الحقل والترتيب، ومفادها أن كل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى لها حد أعلى أصغر. وتُستعمل فضلًا عن ذلك نتائج مبرهنة في الجبر والهندسة: متباينة الجيب والقوس والظل، وصيغ تحويل المجموع إلى جداء، والمتباينة $e^x \geq 1 + x$ ، ورتابة الدالة الأسية، ومبرهنة العامل.
تُبرهن حقائق كان الجبر والهندسة قد قبلها دون برهان: المقاربات العمودية والمقاربات عند اللانهاية للدوال الكسرية، واتصال الدوال الكسرية والمثلثية والمثلثية العكسية.
يُعاد استعمال خمس أدوات بدلًا من تكرار الحجج: توطئات الحد الأعلى الثلاث، وحفظ الإشارة، وقصر المجال (ولا سيما على جهة من النقطة)، والتعاكس، والمقلوب.
يُرجأ ما يتطلب أكثر من النهايات: مبرهنة القيم الوسطى والمشتقات، في الوحدة اللاحقة؛ ومبرهنة فايرشتراس وقاعدة لوبيتال، في الوحدة الثالثة؛ وكثيرة حدود تايلور، في التفاضل والتكامل 2.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يأتي من الجبر والهندسة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aمسلّمات الأعداد الحقيقية. يُقبل، منذ الجبر والهندسة 1، أن الأعداد الحقيقية تكوّن حقلًا مرتبًا تامًّا: فالجمع والضرب يحققان مسلّمات الحقل، والترتيب يحقق التثليث ويتوافق مع العمليات، وكل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى لها حد أعلى أصغر. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bإرث الجبر والهندسة. نتائج مبرهنة في الجبر والهندسة 1 و2: تحليل $u^n - v^n$ والقوة ذات الأس النسبي، و $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ و $\sin x < x < \tan x$ إذا كان $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ، وصيغ تحويل المجموع إلى جداء وخفض القوى، والمتباينة $e^x \geq 1 + x$ ، ورتابة الدالة الأسية ومداها، والدوال المثلثية العكسية، ومبرهنة العامل وجداول الإشارات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cمعيار الحد الأعلى. إذا تحقق قرب $a$ أن $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ ، مع $C > 0$ و $f \to L$ و $g \to M$ ، فإن $F \to K$ ؛ وتُردّ كل قاعدة إلى إيجاد حد أعلى كهذا. تثبت في: 4. ثلاث توطئات.
Dالمحدودية المحلية والإشارة. إذا آلت $f$ إلى $L$ عند $a$ ، فإنه يتحقق قرب $a$ أن $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ؛ وإذا كان $L \neq 0$ ، فإن للدالة قرب $a$ إشارة $L$ و $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . تثبت في: 3. الخواص المحلية.
Eتغيير المتغير. إذا كان $g(x) \to b$ ، و $f(t) \to L$ حين $t \to b$ ، و $g(x) \neq b$ قرب $a$ ، فإن $f(g(x)) \to L$ . تثبت في: 8. نهاية التركيب.
Fالقصر. إذا آلت $f$ إلى $L$ عند $a$ وكانت $a$ نقطة تراكم لمجموعة جزئية $B$ من المجال، فإن مقصور $f$ على $B$ يؤول أيضًا إلى $L$ ؛ والنهاية من جهة واحدة هي نهاية مقصور، ولذلك تصح كل المبرهنات المتعلقة بالنهايات للنهايات من جهة واحدة. تثبت في: 5. نهاية المقصور.
Gالتعاكس. نهاية $f$ عند $\infty$ هي نهاية $f\left(\frac{1}{t}\right)$ حين يؤول $t$ إلى $0$ من اليمين، ونهايتها عند $-\infty$ هي النهاية من اليسار؛ ولذلك تصح كل المبرهنات المتعلقة بالنهايات عند اللانهاية. تثبت في: 15. توطئة التعاكس.
Hالمقلوب. تؤول الدالة إلى $\infty$ إذا وفقط إذا كانت موجبة قرب المآل وآل مقلوبها إلى $0$ ؛ ولذلك تحسم قواعد النهايات المنتهية النهاياتِ اللانهائية. تثبت في: 17. توطئة المقلوب.

المقطع 1 تعريف النهاية وجبرها
- تعريف النهاية عند نقطة تراكم بإبسيلون ودلتا، وكتابتها ونفيها عبارةً مكمّمة، وبرهان وحدانيتها وخواصها المحلية.
- ردّ كل قاعدة من قواعد جبر النهايات إلى حد أعلى بواسطة ثلاث توطئات، والحصول على نهايات الدوال الكسرية والجذور والقوى.
- تغيير المتغير بمبرهنة التركيب، مع تعرّف فرضيتها.
- برهان مبرهنة الحصر، والحصول بها على النهاية الأساسية في حساب المثلثات ونتائجها.
1. تعريف النهاية. إذا كانت $a$ نقطة تراكم للمجال $A$ للدالة $f$ ، فإن نهاية $f$ عند $a$ هي $L$ حين يكون $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ؛ وليست كذلك حين يكون $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  يُبرهن في: نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد.
2. وحدانية النهاية. إذا كانت $a$ نقطة تراكم لمجال $f$ ، وكان $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ ، فإن $L = L'$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. تستند إلى: A (مسلّمات الأعداد الحقيقية). يُبرهن في: نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد.
3. الخواص المحلية. النهاية عند $a$ لا تتوقف إلا على قيم الدالة في جوار مثقوب مركزه $a$ ؛ وإذا كان $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ، تحقق قرب $a$ أن $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ، وإذا كان فضلًا عن ذلك $L \neq 0$ ، فإن لـ $f(x)$ إشارة $L$ و $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. تستند إلى: A (مسلّمات الأعداد الحقيقية). يُبرهن في: نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد.
4. ثلاث توطئات. نهاية $f$ عند $a$ هي $L$ إذا وفقط إذا كانت نهاية $\abs{f(x) - L}$ هي $0$ ؛ وإذا كان $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ قرب $a$ ، مع $C > 0$ و $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ ، فإن $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ؛ ومجموع مسافتين تؤولان إلى الصفر يؤول إلى الصفر.
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. يُبرهن في: جبر النهايات.
5. نهاية المقصور. إذا كانت $B$ مجموعة جزئية من المجال $A$ للدالة $f$ ، وكانت $a$ نقطة تراكم لـ $B$ ، وكان $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ، فإن مقصور $f$ على $B$ يؤول أيضًا إلى $L$ عند $a$ : فالرد الذي يصلح في $A$ يصلح في $B$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. يُبرهن في: جبر النهايات.
6. جبر النهايات. إذا كان $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ، فإن $\alpha f + \beta g$ تؤول إلى $\alpha L + \beta M$ و $fg$ إلى $LM$ ؛ وإذا كان $M \neq 0$ ، فإن $\frac{1}{g}$ تؤول إلى $\frac{1}{M}$ و $\frac{f}{g}$ إلى $\frac{L}{M}$ .
  تستعمل: 3. الخواص المحلية, 4. ثلاث توطئات. تستند إلى: C (معيار الحد الأعلى), D (المحدودية المحلية والإشارة), F (القصر). يُبرهن في: جبر النهايات.
7. كثيرات الحدود والجذور والقوى. نهاية كثيرة الحدود، والدالة الكسرية التي لا ينعدم مقامها عند $a$ ، عند $a$ هي قيمتها؛ و $\sqrt[n]{f(x)}$ تؤول إلى $\sqrt[n]{L}$ ، مع $f \geq 0$ إذا كان $n$ زوجيًا؛ وإذا كان $L > 0$ ، فإن $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ تؤول إلى $L^{\frac{p}{q}}$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية, 6. جبر النهايات. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), C (معيار الحد الأعلى), D (المحدودية المحلية والإشارة). يُبرهن في: جبر النهايات.
8. نهاية التركيب. إذا كان $\lim_{x \to a} g(x) = b$ و $\lim_{t \to b} f(t) = L$ ، و $g(x) \neq b$ قرب $a$ ، فإن $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ؛ ودون الفرضية $g(x) \neq b$ قد لا تصح النتيجة.
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. يُبرهن في: جبر النهايات.
9. حفظ المتباينات. إذا كان $f(x) \leq g(x)$ قرب $a$ ، و $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ، فإن $L \leq M$ ؛ أما المتباينة الصارمة فلا تُحفظ.
  تستعمل: 6. جبر النهايات. تستند إلى: D (المحدودية المحلية والإشارة). يُبرهن في: مبرهنة الحصر والنهايات المثلثية.
10. مبرهنة الحصر. إذا كان $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ قرب $a$ وآلت $h$ و $g$ إلى $L$ ، فإن $f$ تؤول أيضًا إلى $L$ ؛ وجداء دالة محدودة قرب $a$ في دالة تؤول إلى $0$ يؤول إلى $0$ .
  تستعمل: 4. ثلاث توطئات. تستند إلى: C (معيار الحد الأعلى). يُبرهن في: مبرهنة الحصر والنهايات المثلثية.
11. الجيب وجيب التمام. لكل عددين حقيقيين $x$ و $a$ ، يكون $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ و $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ؛ ومن ثم $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ و $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  تستعمل: 4. ثلاث توطئات. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), C (معيار الحد الأعلى). يُبرهن في: مبرهنة الحصر والنهايات المثلثية.
12. النهاية الأساسية. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ؛ وحين يؤول $x$ إلى $0$ ، تؤول $\frac{\tan x}{x}$ إلى $1$ ، و $\frac{\sin kx}{x}$ إلى $k$ ، و $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ إلى $\frac{1}{2}$ .
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 10. مبرهنة الحصر, 11. الجيب وجيب التمام. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), E (تغيير المتغير). يُبرهن في: مبرهنة الحصر والنهايات المثلثية.
المقطع 2 الجهتان واللانهاية والمقاربات
- تعريف النهايات من جهة واحدة بأنها نهايات مقصورات، بحيث ترث كل المبرهنات، وتمييز النهاية بجهتيها.
- الحصول من التمام على نهاية الدالة الرتيبة المحدودة حدًّا أعلى أصغر.
- ردّ النهايات عند اللانهاية إلى نهايات من جهة واحدة عند الصفر، والنهايات اللانهائية إلى نهايات منعدمة، مع قواعدها وحالات عدم التعيين.
- حساب مقاربات دالة بنهايتين، وبرهان المقاربات العمودية للدوال الكسرية، ورسم التمثيلات البيانية رسمًا تقريبيًا دون مشتقات.
1. النهايتان من جهة واحدة. النهاية من اليمين لـ $f$ عند $a$ هي النهاية عند $a$ لمقصورها على نقاط المجال الأكبر من $a$ ، والنهاية من اليسار على الأصغر منها؛ وإذا كانت $a$ نقطة تراكم من الجهتين، فإن لـ $f$ النهاية $L$ عند $a$ إذا وفقط إذا وُجدت النهايتان من جهة واحدة وساوت كلٌّ منهما $L$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية, 5. نهاية المقصور, 2. وحدانية النهاية. يُبرهن في: النهايات من جهة واحدة.
2. الدوال الرتيبة. إذا كانت $f$ متزايدة ومحدودة من الأعلى على $\ioo{c}{b}$ ، فإن $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ؛ وإذا كانت متزايدة ومحدودة من الأدنى، فإن نهايتها من اليمين عند $c$ هي الحد الأدنى الأعظم لقيمها.
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 13. النهايتان من جهة واحدة. تستند إلى: A (مسلّمات الأعداد الحقيقية), E (تغيير المتغير), F (القصر). يُبرهن في: النهايات من جهة واحدة.
3. توطئة التعاكس. نهاية $f$ عند $\infty$ هي $L$ إذا كان لكل $\varepsilon > 0$ يوجد $M$ بحيث $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ حين $x > M$ ؛ ويتحقق $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ ، وكذلك عند $-\infty$ مع النهاية من اليسار.
  تستعمل: 13. النهايتان من جهة واحدة. يُبرهن في: النهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية.
4. الدوال الكسرية عند اللانهاية. لكل عدد نسبي $r > 0$ ، تؤول $\frac{1}{x^r}$ إلى $0$ عند $\infty$ ؛ وخارج قسمة كثيرتي حدود درجتاهما $n$ و $m$ يؤول، عند $\pm\infty$ ، إلى $0$ إذا كان $n < m$ ، وإلى خارج قسمة المعاملين الرئيسيين إذا كان $n = m$ ، وليست له نهاية منتهية إذا كان $n > m$ .
  تستعمل: 2. وحدانية النهاية, 6. جبر النهايات, 7. كثيرات الحدود والجذور والقوى. تستند إلى: D (المحدودية المحلية والإشارة), F (القصر), G (التعاكس). يُبرهن في: النهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية.
5. توطئة المقلوب. تؤول $f$ إلى $\infty$ عند مآل $P$ ، هو نقطة أو جهة من نقطة أو $\pm\infty$ ، إذا تحقق لكل عدد حقيقي $N$ أن $f(x) > N$ قرب $P$ ؛ ويحدث هذا إذا وفقط إذا كانت $f$ موجبة قرب $P$ وآلت $\frac{1}{f}$ إلى $0$ ؛ وتؤول $f$ إلى $-\infty$ إذا وفقط إذا آلت $-f$ إلى $\infty$ .
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. يُبرهن في: النهايات اللانهائية.
6. قواعد النهايات اللانهائية. إذا كان $f \leq g$ قرب $P$ وآلت $f$ إلى $\infty$ ، فكذلك $g$ ؛ وإذا آلت $f$ إلى $\infty$ ، فكذلك $f + g$ إذا كانت $g$ محدودة من الأدنى، و $fg$ إذا آلت $g$ إلى عدد موجب أو إلى $\infty$ ؛ وخارج القسمة الذي يؤول بسطه إلى عدد موجب ومقامه إلى $0$ بقيم موجبة يؤول إلى $\infty$ .
  تستعمل: 6. جبر النهايات. تستند إلى: D (المحدودية المحلية والإشارة), F (القصر), G (التعاكس), H (المقلوب). يُبرهن في: النهايات اللانهائية.
7. الدوال الرتيبة غير المحدودة. إذا كانت $f$ متزايدة على $\ioo{c}{b}$ ، حيث $b$ عدد حقيقي أو $b = \infty$ ، وغير محدودة من الأعلى، فإن $f$ تؤول إلى $\infty$ من اليسار عند $b$ ، أو عند $\infty$ إذا كان $b = \infty$ .
  تستعمل: 17. توطئة المقلوب. يُبرهن في: النهايات اللانهائية.
8. التركيب مع نهاية لانهائية. إذا آلت $g$ إلى $\infty$ عند $P$ وآلت $f(u)$ إلى $L$ حين يؤول $u$ إلى $\infty$ ، فإن $f(g(x))$ تؤول إلى $L$ عند $P$ ، دون أي فرضية على قيم $g$ ؛ والأمر نفسه إذا آلت $f(u)$ إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$ .
  تستعمل: 15. توطئة التعاكس, 17. توطئة المقلوب. يُبرهن في: النهايات اللانهائية.
9. حساب المقارب. المستقيم $y = mx + b$ مقارب للتمثيل البياني لـ $f$ عند $\infty$ ، أي أن $f(x) - (mx + b)$ تؤول إلى $0$ ، إذا وفقط إذا كان $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ و $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ؛ ومن ثم لا يوجد عند كل طرف إلا مقارب غير عمودي واحد على الأكثر.
  تستعمل: 2. وحدانية النهاية, 6. جبر النهايات, 16. الدوال الكسرية عند اللانهاية. تستند إلى: G (التعاكس). يُبرهن في: الخطوط المقاربة وتقنيات التمثيل البياني.
10. المقاربات العمودية. إذا كان $r$ جذرًا لكثيرة الحدود $B$ وكان $A(r) \neq 0$ ، فإن المستقيم $x = r$ مقارب عمودي للتمثيل البياني لـ $\frac{A}{B}$ ، وفي كل جهة من $r$ تؤول الدالة إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$ بحسب الإشارة التي يعيّنها جدول الإشارات في الفترة المجاورة.
  تستعمل: 7. كثيرات الحدود والجذور والقوى, 18. قواعد النهايات اللانهائية. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), D (المحدودية المحلية والإشارة), F (القصر). يُبرهن في: الخطوط المقاربة وتقنيات التمثيل البياني.
المقطع 3 الاتصال ومقارنة الدوال
- تعريف الاتصال، وربطه بالنهاية، وتصنيف حالات عدم الاتصال إلى قابلة للإزالة وقفزية وأساسية.
- برهان أن العمليات والتركيب تحفظ الاتصال، وأن النهاية تدخل في الدالة المتصلة.
- برهان اتصال الدوال الأولية بحجة الدوال الرتيبة، والحصول به على النهايات الشهيرة والحالة $1^\infty$ .
- مقارنة الدوال بـ $\operatorname{o}$ الصغيرة وبالتكافؤ، واستبدال المتكافئات في الجداءات وخوارج القسمة، لا في المجاميع.
1. الاتصال والنهاية. تكون $f$ متصلة عند نقطة $a$ من مجالها $A$ إذا كان $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ؛ وإذا كانت $a$ نقطة تراكم لـ $A$ ، كافأ ذلك $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ، وإذا كانت نقطة معزولة، تحقق دائمًا.
  تستعمل: 1. تعريف النهاية. يُبرهن في: النهاية والاتصال.
2. العمليات على الدوال المتصلة. التركيبات الخطية والجداءات وخوارج القسمة ذات المقام غير المنعدم والجذور لدوال متصلة عند $a$ متصلة عند $a$ ؛ ومن ثم فكثيرات الحدود والدوال الكسرية والجذور والقيمة المطلقة والجيب وجيب التمام والظل متصلة على مجالها.
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 7. كثيرات الحدود والجذور والقوى, 11. الجيب وجيب التمام, 23. الاتصال والنهاية. تستند إلى: C (معيار الحد الأعلى). يُبرهن في: النهاية والاتصال.
3. تركيب الدوال المتصلة. إذا كانت $g$ متصلة عند $a$ وكانت $f$ متصلة عند $g(a)$ ، فإن $f \circ g$ متصلة عند $a$ ؛ وإذا آلت $g(x)$ إلى $b$ وكانت $f$ متصلة عند $b$ ، فإن $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ ، وكذلك من جهة واحدة أو عند $\pm\infty$ .
  تستعمل: 3. الخواص المحلية, 23. الاتصال والنهاية. تستند إلى: F (القصر), G (التعاكس). يُبرهن في: النهاية والاتصال.
4. الدوال الأولية المتصلة. الدالة المعرّفة على فترة، الرتيبة عليها، والتي صورتها فترة، متصلة، وكذلك الدالة العكسية لدالة رتيبة تمامًا لها هذه الخواص؛ ولذلك فالدالة الأسية واللوغاريتم والقوى ذات الأسس الحقيقية والدوال المثلثية العكسية والزائدية متصلة على مجالها.
  تستعمل: 13. النهايتان من جهة واحدة, 14. الدوال الرتيبة, 23. الاتصال والنهاية, 24. العمليات على الدوال المتصلة, 25. تركيب الدوال المتصلة. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة). يُبرهن في: اتصال الدوال الأولية والنهايات الشهيرة.
5. النهايات الشهيرة. حين يؤول $x$ إلى $0$ ، تؤول $\frac{e^x - 1}{x}$ و $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ إلى $1$ ، و $\frac{a^x - 1}{x}$ إلى $\ln a$ ، و $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ إلى $r$ ؛ وفضلًا عن ذلك تؤول $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ إلى $e$ عند $0$ ، و $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ عند $\pm\infty$ .
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 10. مبرهنة الحصر, 13. النهايتان من جهة واحدة, 26. الدوال الأولية المتصلة, 25. تركيب الدوال المتصلة. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), E (تغيير المتغير), G (التعاكس). يُبرهن في: اتصال الدوال الأولية والنهايات الشهيرة.
6. الحالة واحد أس اللانهاية. إذا كان $f > 0$ قرب $P$ ، وآلت $f(x)$ إلى $1$ وآلت $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ إلى عدد حقيقي $\lambda$ ، فإن $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ تؤول إلى $e^{\lambda}$ .
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 26. الدوال الأولية المتصلة, 25. تركيب الدوال المتصلة, 27. النهايات الشهيرة. يُبرهن في: اتصال الدوال الأولية والنهايات الشهيرة.
7. الدوال الأسية والقوى واللوغاريتمات. إذا كان $r > 0$ و $a > 1$ ، فإن $\frac{x^r}{a^x}$ و $\frac{\ln x}{x^r}$ تؤولان إلى $0$ عند $\infty$ ، و $x^r \ln x$ تؤول إلى $0$ حين يؤول $x$ إلى $0$ من اليمين.
  تستعمل: 10. مبرهنة الحصر, 16. الدوال الكسرية عند اللانهاية, 19. الدوال الرتيبة غير المحدودة, 20. التركيب مع نهاية لانهائية. تستند إلى: B (إرث الجبر والهندسة), G (التعاكس). يُبرهن في: اتصال الدوال الأولية والنهايات الشهيرة.
8. مقارنة الدوال. يكون $f = \operatorname{o}(g)$ عند $P$ إذا آلت $\frac{f}{g}$ إلى $0$ ، و $f \sim g$ إذا آلت إلى $1$ ؛ والتكافؤ انعكاسي وتناظري ومتعدٍّ، و $f \sim g$ إذا وفقط إذا $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  تستعمل: 6. جبر النهايات. يُبرهن في: الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر.
9. استبدال المتكافئات. إذا كان $f \sim f_1$ و $g \sim g_1$ عند $P$ ، فإن لـ $\frac{f h}{g}$ نهاية، منتهية أو لانهائية، إذا وفقط إذا كانت لـ $\frac{f_1 h}{g_1}$ نهاية، وتتطابق النهايتان؛ والمبرهنة تصح للعوامل لا لحدود المجموع.
  تستعمل: 6. جبر النهايات, 18. قواعد النهايات اللانهائية, 30. مقارنة الدوال. يُبرهن في: الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر.
10. مجموع متكافئات من الإشارة نفسها. إذا كان $f_1 \sim g_1$ و $f_2 \sim g_2$ عند $P$ ، وكانت $g_1$ و $g_2$ موجبتين معًا أو سالبتين معًا قرب $P$ ، فإن $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  تستعمل: 4. ثلاث توطئات, 10. مبرهنة الحصر, 30. مقارنة الدوال. تستند إلى: C (معيار الحد الأعلى). يُبرهن في: الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر.
11. جدول المتكافئات. عند $0$ ، تكافئ $\sin x$ و $\tan x$ و $\arctan x$ و $e^x - 1$ و $\ln(1 + x)$ الدالة $x$ ، و $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ ، و $a^x - 1 \sim x \ln a$ ، و $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ ، وكل كثيرة حدود تكافئ حدّها ذا الدرجة الصغرى؛ وتصح هذه التكافؤات مع أي دالة تؤول إلى $0$ دون أن تنعدم توضع مكان $x$ .
  تستعمل: 7. كثيرات الحدود والجذور والقوى, 12. النهاية الأساسية, 27. النهايات الشهيرة. تستند إلى: E (تغيير المتغير). يُبرهن في: الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر.

نحو المشتقة. تتوقف السلسلة حيث تكفّ النهاية عن أن تكون موضوع الدراسة وتصير أداة: فالوحدة اللاحقة تعرّف المشتقة بأنها نهاية نسبة التزايد، وتستخرج قواعدها من جبر النهايات ومن التركيب، ومشتقات الدوال الأولية من النهايات الشهيرة، ومبرهنة القيم الوسطى من حفظ الإشارة والتمام.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
الجزء الصحيح بلا قفزات
جذران يكادان يتلاشيان
المسافة بين جسم وخياله
قوة للجيب وجيب التمام
لوغاريتمات دوال أسية
مقارب مائل مع دالة أسية
دالة تتقدّم واحدًا واحدًا
تكافؤات لا تنتقل إلى الدالة الأسية
دالة لا تتغير عند مضاعفة المتغير
دالة النهايات