النهايات من جهة واحدة

قفزات وأطراف

في الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد بُرهن أن دالة الإشارة، التي تساوي $1$ عند الأعداد الموجبة و$-1$ عند الأعداد السالبة (والقيمة التي تُسند إليها عند $0$ لا تؤثر في النهاية)، ليست لها نهاية عند $0$. ومع ذلك فسلوكها قرب $0$ بسيط جدًا: على يمين $0$ تساوي باستمرار $1$، وعلى اليسار تساوي باستمرار $-1$. وتعريف النهاية لا يميّز بين الجهتين، ولذلك لا يسجّل هذه المعلومة. ويحدث الأمر نفسه مع الجزء الصحيح، الذي يُعرَّف فيما يلي، عند كل عدد صحيح.

في برهان كثافة الأعداد النسبية، في الدرس عن المستقيم الحقيقي، بُرهن أنه من أجل كل عدد حقيقي $t$ يوجد عدد صحيح $m$ يحقق $m - 1 \leq t < m$. وهذا العدد الصحيح وحيد، لأن كل عددين صحيحين مختلفين يبعد أحدهما عن الآخر بمقدار $1$ على الأقل، ولا يتسع لهما معًا فترة طولها $1$ مفتوحة من أحد طرفيها. ويُسمّى العدد الصحيح $m - 1$ الجزء الصحيح لـ $t$ ويُكتب $\lfloor t \rfloor$: إنه العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق الشرط الآتي.

مثلًا، $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ و$\lfloor 3 \rfloor = 3$ و$\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$. وفي الفترة $\ico{n}{n + 1}$، حيث $n$ عدد صحيح، يساوي الجزء الصحيح باستمرار $n$؛ وعند الوصول إلى $n + 1$ يقفز بمقدار واحد. وقرب عدد صحيح $n$، تساوي الدالة $n - 1$ على اليسار و$n$ على اليمين.

في الدرس كله، $f$ دالة حقيقية معرّفة على مجموعة $A$، ويُكتب $A \cap \ioo{a}{\infty}$ لنقاط $A$ الواقعة على يمين $a$ و$A \cap \ioo{-\infty}{a}$ للنقاط الواقعة على يسارها.