مبرهنة الحصر والنهايات المثلثية

نهايات لا تبلغها القواعد

في الدرس عن جبر النهايات، حُلّت كل صيغة $\frac{0}{0}$ بتحويل العبارة إلى أن يُختزل عامل مشترك. أما خارج القسمة $\frac{\sin x}{x}$، حين يؤول $x$ إلى $0$، فلا يقبل هذه المعالجة: فالجيب ليس كثير حدود، ولا يُظهر أي تحليل إلى عوامل العامل $x$ في البسط. ولا تحسم قاعدة الجداء كذلك نهاية $x \sin \frac{1}{x}$ عند $0$، لأن العامل $\sin \frac{1}{x}$ ليس له نهاية، كما طُلب إثباته في المسألة المقترحة 3 من الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد.

غير أن الدالة في الحالتين محصورة بين دالتين أخريين أبسط منها: فالقيمة المطلقة لـ $x \sin \frac{1}{x}$ لا تتجاوز $\abs{x}$، وخارج القسمة $\frac{\sin x}{x}$ يقع، كما سنرى، بين $\cos x$ و$1$. وإذا كان الأمر كذلك، فمن المفيد أن يُبرهن مرة واحدة أن دالة محصورة بين دالتين تؤولان إلى العدد نفسه تؤول هي أيضًا إليه. وتتبع براهين هذا الدرس خطة الدرس الماضي: تُردّ كل نتيجة إلى متباينة، ويتكفّل معيار الحد الأعلى، أو الأداة المستنتجة منه، بالباقي.

تبقى اصطلاحات الدرس الماضي قائمة: $f$ و$g$ و$h$ دوال حقيقية معرّفة على مجموعة واحدة $A$، والنقطة $a$ نقطة تراكم لـ $A$، وقولنا إن أمرًا يتحقق «قرب $a$» معناه أنه يوجد $r > 0$ بحيث يحققه كل $x$ من $A$ يحقق $0 < \abs{x - a} < r$. ولنتذكّر الأداة التي خُتمت بها الفقرة عن التوطئات الثلاث: إذا كان $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و$\lim_{x \to a} g(x) = M$، فإن كل دالة $F$ تحقق قرب $a$ حدًّا أعلى مثل الآتي، حيث $C > 0$، تؤول إلى $K$.