انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر

ملخص

يمدّ درسنا هذا إلى المصفوفات المربعة من أي درجة العددَ الذي كان، في دورة الجبر والهندسة 1، في درسها الخاص بالأنظمة الخطية، يحسم هل لنظام من معادلتين في مجهولين حلٌّ وحيد. ويفسّر المحدد من الدرجة الثانية بأنه المساحة الموجهة لمتوازي الأضلاع الذي يحدده عمودا المصفوفة؛ ويعرّف المحدد من الدرجة الثالثة بالنشر وفق الصف الأول ويبيّن أنه يطابق قاعدة ساروس؛ ويعرّف المحدد من الدرجة nn تعريفًا تراجعيًا. ويبرهن بالاستقراء على الدرجة، انطلاقًا من هذا التعريف، خصائصَ المحدد (الخطية بالنسبة إلى كل صف، وتبديل الصفوف، والصفوف المنعدمة أو المتساوية، وإضافة مضاعف صف آخر، والمنقول، والمصفوفات المثلثية)، ويطبّقها على الحساب بالاختزال وعلى العلاقة بين المحدد والرتبة. ويبرهن مبرهنة محدد الجداء في الدرجة الثانية، التي يُعطى برهانها العام في الدرس الخاص بالمصفوفة العكسية، وقاعدة كرامر في كل درجة؛ وتطبّق المسائل المحددات على مساحة المثلث، وعلى محدد فاندرموند، وعلى متطابقة كاسيني لأعداد فيبوناتشي، وعلى الدائرة المارة بثلاث نقاط.

أهداف التعلم

  1. حساب المحددات من الدرجتين الثانية والثالثة بالنشر وفق صف وبقاعدة ساروس، وتفسير المحدد من الدرجة الثانية بوصفه مساحة موجهة.
  2. البرهان بالاستقراء على الدرجة على خصائص المحدد، واستعمالها لحساب محددات من أي درجة بالاختزال إلى مصفوفة مثلثية.
  3. ربط المحدد بالرتبة وبجداء المصفوفات، والحكم به على كون المصفوفة شاذة.
  4. حل أنظمة من nn معادلة في nn مجهولًا بقاعدة كرامر، وتطبيق المحددات على مسائل في الهندسة التحليلية وفي المتتاليات.

المحدد من الدرجة الثانية والمساحة الموجهة

في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمعادلات والمتراجحات والأنظمة الخطية سُمّي محددَ نظامٍ من معادلتين العددُ D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1، وبُرهنت قاعدة كرامر: إذا لم يكن DD منعدمًا، فللنظام حل واحد بالضبط. وفي الدرس الخاص بـالمتجهات في المستوى، كان العدد نفسه، مكوَّنًا من مركبات متجهين، يحسم هل هما متوازيان. غير أنه في الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات قُدّمت المصفوفات المربعة، وفي الدرس الخاص بـطريقة غاوس-جوردان كُتب كل نظام خطي على الصورة AX=BAX = B. وإذا كان الأمر كذلك، فمن المناسب أن نعدّ ذلك العدد دالةً في مصفوفة المعاملات، وأن نمدّه إلى المصفوفات المربعة من أي درجة.

محدد مصفوفة مربعة AA من الدرجة الثانية هو جداء عناصر قطرها الرئيسي مطروحًا منه جداء عناصر القطر الآخر. ويُكتب det⁡A\det A، أو بكتابة عناصر المصفوفة بين خطين رأسيين.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

محدد نظام من معادلتين هو محدد مصفوفة معاملاته، التي يقع في عمودها الأول معاملات xx وفي الثاني معاملات yy: ومحددها هو a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. ولا يدل الخطان الرأسيان هنا على قيمة مطلقة، لأن المحدد قد يكون سالبًا؛ مثلًا:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

عمودا مصفوفة من الدرجة الثانية متجهان في المستوى، ومبرهنة المساحة الموجهة، المنصوص عليها أدناه، تعطي المحدد معنى هندسيًا يفسّر، في الطريق، معيار التوازي في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالمتجهات.

مبرهنةالمساحة الموجهة

ليكن u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) وv⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) متجهين في المستوى، ولتكن AA المصفوفة التي عموداها u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}. إن مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدده سهما u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} المرسومان من مبدأ واحد هي القيمة المطلقة لـdet⁡A\det A. وفضلًا عن ذلك، إذا لم يكن المتجهان منعدمين ولا متوازيين، فإن det⁡A\det A موجب حين يكون الدوران الأصغر من نصف دورة الذي ينقل اتجاه u⃗\vec{u} إلى اتجاه v⃗\vec{v} عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالب حين يكون في اتجاه عقارب الساعة.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

إذا كان u⃗\vec{u} منعدمًا، فإن متوازي الأضلاع يؤول إلى قطعة مستقيمة ويكون المحدد منعدمًا؛ لذلك نفترض أن u⃗\vec{u} ليس منعدمًا. ويستعمل البرهان المسافة بين نقطة ومستقيم، التي حُصل عليها في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالمتجهات، والإحداثيات القطبية من الدرس الخاص بـالإحداثيات القطبية، وصيغة جيب الفرق من الدرس الخاص بـصيغ المجموع والفرق. ويتتبعه الرسم مع u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) وv⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

البرهان

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    نسلّم، كما في الهندسة الأولية، بأن مساحة متوازي الأضلاع هي جداء قاعدة في الارتفاع الموافق لها. ونأخذ قاعدةً الضلعَ الذي يمثّل u⃗\vec{u}، على المستقيم المار بالمبدأ في هذا الاتجاه؛ ومعادلته −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0، ويحققها المبدأ ونهاية u⃗\vec{u}. وبحسب مبرهنة المتجه الناظمي، فإن المتجه n⃗\vec{n} عمودي على هذا المستقيم، ونظيمه يساوي نظيم u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    الارتفاع هو المسافة من نهاية v⃗\vec{v} إلى هذا المستقيم. وفي صيغة المسافة نأخذ المبدأ نقطةً من المستقيم، بحيث يكون المتجه الذاهب من المستقيم إلى النقطة هو v⃗\vec{v} نفسه.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    المساحة هي القاعدة في الارتفاع، ويُختصر نظيم u⃗\vec{u} مع نظيم n⃗\vec{n}. وفي الرسم، طول القاعدة 10\sqrt{10}، والارتفاع 510\frac{5}{\sqrt{10}}، والمساحة 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    ولأجل الإشارة، نكتب المتجهين بالإحداثيات القطبية: rr وss نظيماهما، وα\alpha وβ\beta الزاويتان اللتان يصنعانهما مع نصف محور الفواصل الموجب، بحيث u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) وv⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). وبحسب صيغة جيب الفرق، فإن المحدد يساوي rsrs في جيب الزاوية الممتدة من u⃗\vec{u} إلى v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    بما أن rs>0rs > 0، فإن للمحدد إشارة sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha)، وهو موجب إذا كان β−α\beta - \alpha محصورًا بين 0∘0^\circ و180∘180^\circ، بعد طرح مضاعف لـ360∘360^\circ عند الحاجة، أي إذا أمكن بلوغ v⃗\vec{v} انطلاقًا من u⃗\vec{u} بالدوران عكس اتجاه عقارب الساعة أقل من نصف دورة، وسالب في الحالة المعاكسة. ويكون منعدمًا إذا وفقط إذا كان β−α\beta - \alpha مضاعفًا لـ180∘180^\circ، أي إذا كان المتجهان متوازيين. وفي الرسم، β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ؛ وعند تبديل العمودين يصير الدوران الذي ينقل v⃗\vec{v} إلى u⃗\vec{u} في اتجاه عقارب الساعة، فتتغير الإشارة.

تسوّغ المبرهنة تسمية المحدد من الدرجة الثانية المساحة الموجهة: فقيمته المطلقة تقيس المساحة، وإشارته تدل على اتجاه الدوران الذي ينقل العمود الأول إلى الثاني. ومعيار التوازي في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بالمتجهات هو حالة المساحة المنعدمة: يكون متجهان متوازيين تمامًا حين ينطبق متوازي الأضلاع الذي يحددانه على مستقيم. أما العلاقة بين المحدد ومساحات أشكال كيفما كانت، حين تعمل المصفوفة بوصفها تحويلًا للمستوى، فستُدرس في الدرس الخاص بـالمصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.