الخطة الدراسية لدورة المنطق الرياضي 1

الغاية

كل دورات الرياضيات تطلب البرهنة، وكل دورات الفلسفة تطلب المحاجّة؛ غير أن أيًّا منها لا يجعل الاستدلال نفسه موضوعًا له، وكلها تعدّ مفهومًا ما معنى أن تلزم نتيجةٌ عن مقدمات. وهذه الدورة تتخذ هذا السؤال موضوعًا لها. وغايتها أن تبني، لأبسط لغات المنطق، أول نظرية رياضية تامة موضوعها الاستدلال، بقطعها الأربع مكشوفة: لغة تُتعرَّف صيغها وتُقرأ دون التباس؛ وحساب ينتج الاستنتاجات دون التفات إلى معاني الرموز؛ ومعنى يسند إلى كل صيغة قيمة صدقها تحت كل إسناد لمتغيراتها؛ والبرهان على أن الحساب والمعنى يتطابقان.

وإذا كان الأمر كذلك، فالدورة ليست مجموعة قواعد لمعالجة الرموز، بل نظرية لها نتيجة مركزية، هي مبرهنة التمام، يمهّد لها كل ما سبقها. فلمجموعة صيغ $\Gamma$ وصيغة $\varphi$، تقول قابلية الاستنتاج $\Gamma \vdash \varphi$ إنه توجد متتالية منتهية من الصيغ، مبنية بالمسلّمات والقواعد، تنتهي بـ $\varphi$؛ وتقول النتيجة الدلالية $\Gamma \models \varphi$ إن كل إسناد يجعل صيغ $\Gamma$ صادقة يجعل $\varphi$ صادقة. وتنشأ العلاقتان من فكرتين متقابلتين، إحداهما نحوية ووجودية، والأخرى دلالية وكلية؛ ومع ذلك تبرهن الدورة على أن $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$. ومن ذلك يلزم أن كل سؤال عمّا يلزم عن مقدمات ما يمكن أن يُجاب عنه من الجانب الأيسر: بعرض استنتاج، أو بالمرور على جدول، أو، كما يعلّم آخر دروس المحتوى، بالدحض بطريقة الحلّ.

الفئة المستهدفة والمعارف السابقة

تتوجّه الدورة إلى من يبدأ دراسة الرياضيات أو المعلوماتية أو الفلسفة، وإلى من يريد، في أي مرحلة من تكوينه، أن يعرف بدقة ما البرهان ولماذا يمكن الوثوق به: طلاب يدخلون الرياضيات الجامعية ويتعثّرون في البراهين، وطلاب معلوماتية يحتاجون إلى منطق الدارات والبرامج ومسائل قابلية التحقق، وطلاب فلسفة يريدون الانتقال من منطق الحجج إلى نظريته.

وهي دورة من المستوى 1، بلا متطلبات سابقة ومكتفية بذاتها. فلا تفترض أن يكون الدارس قد درس المنطق، ولا أن يعرف نظرية المجموعات، ولا أن يكون قد برهن مبرهنة قط. وما تستعمله من المجموعات (الانتماء، والاحتواء، والاتحاد، ومجموعات الصيغ)، ومن الدوال (الإسناد دالة من المتغيرات إلى $\{0, 1\}$)، ومن سلاسل الرموز ومن الاستقراء، تعلّمه في الموضع الذي تحتاج إليه فيه: المجموعات والسلاسل في درس الوحدة 1 عن اللغة، والاستقراء في الدرس الذي يليه، قبل استعماله. ولا تفترض إلا أمرين: القراءة بانتباه، لأن رمزًا يُضاف أو يُحذف في لغة صورية يغيّر السلسلة، والحساب الأولي للأعداد الطبيعية، التي تبدأ في هذه الدورة، كما في سائر الموقع، من $1$.

إلى أين تقود

ومن ذلك يلزم موقع الدورة في الموقع. فهي بلا متطلبات سابقة، وهي هدف لثلاثة برامج دراسية، الرياضيات والمعلوماتية والفلسفة، لأن الاستدلال في الثلاثة أداة وموضوع في آن واحد. ولها ثلاث دورات مكمّلة يمكن متابعتها قبلها أو بالتوازي معها أو بعدها، بأي ترتيب. فدورة المنطق الأرسطي تدرس منطق الحدود والقياس، الذي تتوقف صحته على كلمات مثل «كل» و«بعض»، التي تتركها هذه الدورة خارجها، وتبيّن من أي تقليد وصلنا إلى الحساب. ودورة الجبر والهندسة 1 تشيّد صرحًا استنتاجيًا انطلاقًا من مسلّمات بيانو، وتطبّق عمليًا، على الأعداد، الطريقة المسلّماتية والاستقراء اللذين تدرسهما هذه الدورة موضوعًا؛ وتوصي خطتها بدراسة هذه الدورة قبلها أو بالتوازي معها. وأخيرًا، تنقل دورة البرمجة بلغة C++ I إلى التطبيق ما هو هنا نظرية: فتقرير ما إذا كانت سلسلة حسنة البناء، والمرور على جدول صدق، وحساب شكل ناظمي، والبحث عن دحض، كلها إجراءات يمكن كتابتها برامج.

غير أن الدورة تترك سؤالًا تعبيريًا مفتوحًا: فلغتها لا تستطيع أن تقول «كل» ولا «بعض»، وصورنة الحجج المصوغة بالعربية تفقد، منذ الوحدة 1، الأسوار. ومن ثَمّ فإن تتمّتها المقرّرة هي دورة المنطق الرياضي 2، المخصّصة لمنطق المحمولات، التي ستسلك الطريق نفسه بأسوار ومتغيرات تجري على أشياء: ستحتفظ بالسلامة والتمام والتراص، بطرق تستبقها هذه الدورة، لكن النتيجة الدلالية ستكفّ فيها عن أن تكون قابلة للتقرير.

الأهداف التعلّمية العامة

تصف الأهداف الآتية ما ينبغي أن يقدر عليه من يُتمّ الدورة. ويُصاغ كل منها أداءً قابلًا للملاحظة، بحيث يمكن التحقق منه بمهمة محددة؛ ويعلن كل درس من دروس المحتوى، بدوره، أهدافه الخاصة، التي تخدم هدفًا عامًا أو أكثر، ويبيّن درس الختام في أي الوحدات والدروس يُعمل على كل هدف. وتُرقَّم الأهداف السبعة كي يمكن الإحالة إليها.

1. الهدف 1. أن يميّز اللغة الموضوع من اللغة الواصفة، وأن يقرّر بقواعد التكوين ما إذا كانت سلسلةٌ صيغةً.
2. الهدف 2. أن يصورن جملًا خبرية وحججًا من اللغة الطبيعية، مبيّنًا ما تحتفظ به الصورنة وما تفقده.
3. الهدف 3. أن يبني استنتاجات في نظام الدورة (مسلّمات لوكاشيفيتش، والقياس الاستثنائي، وإبدال النفي المزدوج)، جامعًا بين المسلّمات والقواعد الأولية والقواعد المشتقة.
4. الهدف 4. أن يبرهن مبرهنات ماورائية بالاستقراء على الأعداد الطبيعية، وعلى تعقيد الصيغ، وعلى طول الاستنتاجات.
5. الهدف 5. أن يقرّر الصحة، وقابلية التحقق، والنتيجة الدلالية، والتكافؤ الدلالي، بجداول الصدق وبالتكافؤات.
6. الهدف 6. أن يحوّل الصيغ إلى أشكال ناظمية، وأن يعبّر بها عن دوال الصدق والدارات.
7. الهدف 7. أن يشرح السلامة والتمام والتراص ويطبّقها، وأن يقرّر عدم قابلية التحقق بطريقة الحلّ.

للهدفين 3 و7 وحدة لكل منهما، الاستنتاج وما وراء النظرية؛ ويقتسم الهدفان 5 و6 وحدة الدلالة، الأول في نصفها الأول، والثاني في الثاني. وللهدف 2 درس خاص به، درس الصورنة، ثم يُمرَّن عليه كلما طُرحت مسألة بالكلمات. أما الهدفان 1 و4 فعَرْضيّان: فالتمييز بين ما يُقال داخل اللغة وما يُقال عنها يسري في الوحدات الأربع، والاستقراء هو صورة كل البراهين المهمة في الدورة، من القراءة الوحيدة للصيغ إلى سلامة النظام وتوطئة كالمار. ومن ذلك يلزم أن تحقيقهما لا يمكن أن يُنسب إلى درس واحد، وأن الأولى تنميتهما على امتداد الدورة كلها.

نظام الدورة وقراراته

يمكن بناء دورة في منطق القضايا بطرق كثيرة، وتختلف النصوص المعتادة في اللغة، وفي الروابط الأولية، وفي النظام الاستنتاجي. وتتخذ هذه الدورة ثلاثة قرارات يحسن معرفتها منذ البداية، لأنها تفسّر ما قد يبدو، للوهلة الأولى، غريبًا.

لغة من الدوائر والأقراص

للغة الدورة أبجدية من رمزين فقط، الدائرة $\sigO$ والقرص $\sigI$. والمتغير ذو الرتبة $n$ هو سلسلة من $n$ دوائر يتبعها قرص، $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$، بحيث $v_{1} = \sigO\sigI$ و$v_{2} = \sigO\sigO\sigI$؛ وثمة قاعدة تكوين واحدة: إذا كانت $\varphi$ و$\psi$ صيغتين، فإن $\sigI\varphi\psi$ صيغة أيضًا، وتُختصر $(\varphi \downarrow \psi)$ وتُقرأ «لا $\varphi$ ولا $\psi$». فالنفي المشترك $\downarrow$ هو إذن الرابط الأولي الوحيد، وكل الروابط الأخرى اختصارات تُعرَّف مرة واحدة: $\neg\varphi$ هو $(\varphi \downarrow \varphi)$، والفصل $(\varphi \vee \psi)$ هو $\neg(\varphi \downarrow \psi)$، ومنهما يُعرَّف العطف والاستلزام والاستلزام المزدوج والفصل الحصري. وكل طريقة أخرى لكتابتها مبرهنةٌ تُبرهَن، لا تعريف.

لهذا الاختيار ثمن، هو سهولة القراءة، تدفعه الدورة في اللغة الواصفة: لا أحد يكتب كل يوم سلاسل من الدوائر والأقراص، بل أسماءها المختصرة، القابلة للبسط في كل حين إلى السلسلة التي تدلّ عليها. غير أن الثمن يُسترَدّ مرات كثيرة. فرمزان يكفيان لمتغيرات لا نهاية لها، بحيث تكون كل صيغة سلسلة منتهية على أبجدية من عنصرين. ويُكتب الرابط قبل وسائطه، ولذلك لا حاجة إلى الأقواس: فالقراءة الوحيدة تُبرهَن بحجة الوزن، التي تسند $+1$ إلى كل متغير و$-1$ إلى كل قرص رابط. ولأن كل صيغة مركبة نفيٌ مشترك، فإن لكل برهان بالاستقراء على التعقيد حالة مركبة واحدة، وهو ما يختصر كل براهين الوحدات اللاحقة. وكون رابط واحد يكفي للتعبير عن أي رابط آخر لا يُفترض: فوحدة الدلالة تبرهنه.

قاعدة أولية ثانية

ينطلق النظام الاستنتاجي من نظام يان لوكاشيفيتش: ثلاثة مخططات مسلّمات، مكتوبة بالنفي والاستلزام، والقياس الاستثنائي قاعدةً وحيدة. وقد صيغت هذه المخططات للغات روابطها الأولية هي النفي والاستلزام؛ وفي لغة الدوائر والأقراص، صيغة مثل $(v_{1} \downarrow v_{2})$ ليست هذا ولا ذاك، وهي معتمة بالنسبة إلى المسلّمات. ويبرهن الدرس الأول من وحدة الاستنتاج، بعلامة تحملها كل المسلّمات، ويحفظها القياس الاستثنائي، ولا تحملها هذه الصيغة، أن نظام لوكاشيفيتش لا يستنتج $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$.

وإذا كان الأمر كذلك، فلا بد من إتمام النظام، ويبدو العلاج الطبيعي أن يُبرهَن النفي المزدوج، $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$، الذي يستنتجه الدرس الثاني من المخططات الثلاثة. وتبيّن العلامة أن ذلك لا يكفي: فمبرهنات النفي المزدوج تحفظها، ومع ذلك لا يمكن، حتى بها، أن يُزال $v_{1}$ ويُوضع $\neg\neg v_{1}$ مكانه داخل نفي مشترك. ومن ثَمّ يضيف الدرس الثاني، بعد أن يبرهن النفي المزدوج، قاعدة أولية ثانية، هي إبدال النفي المزدوج: من صيغة $\chi$ تُستنتج الصيغة التي تنتج عن أن يُبدَل فيها ظهورٌ لصيغة جزئية $\theta$ فيوضع $\neg\neg\theta$ مكانه، أو ظهورٌ لـ $\neg\neg\theta$ فيوضع $\theta$ مكانه. فيتألف نظام الدورة إذن من مخططات لوكاشيفيتش الثلاثة، والقياس الاستثنائي، وهذه القاعدة.

تحقق أنظمة أخرى للنفي المشترك الشيء نفسه بمخططات مسلّمات مصنوعة على مقاسها. وتفضّل الدورة قاعدة لسببين: فهي أبسط حتى من القياس الاستثنائي، لأنها تأخذ سطرًا واحدًا وتغيّر ظهورًا واحدًا، وليس فيها شيء مصطنع، لأنها تعبّر عمّا يقوله النفي المزدوج أصلًا، أي أن $\theta$ و$\neg\neg\theta$ متبادلتان، ممدودًا إلى كل موضع من الصيغة. وهي، فوق ذلك، سليمة، لأنها تحفظ قيمة صدق كل سطر، وتحفظ مبرهنة الاستنتاج، بحالة إضافية واحدة في برهانها. وكون هذه القاعدة كافية لاستنتاج كل ما ينبغي استنتاجه هو مبرهنة التمام في الوحدة الأخيرة.

التراص قبل التمام القوي

للتمام ثلاث درجات: الضعيف يقول إن كل تحصيل حاصل مبرهنة؛ والتمام للمجموعات المنتهية يقول إن كل نتيجة دلالية لمجموعة منتهية من المقدمات تُستنتج منها؛ والقوي يقول إن الأمر نفسه يصحّ لمجموعة أيًّا كانت، ولو كانت غير منتهية. وطريقة الدورة، توطئة كالمار، تعمل بمتغيرات الصيغة المنتهية وبمقدمات منتهية، ولذلك تبلغ الدرجتين الأوليين لا الثالثة. ولبلوغها يكفي، إذا $\Gamma \models \varphi$، أن يحقق جزءٌ منتهٍ ما $\Gamma_{0}$ من $\Gamma$ من قبلُ $\Gamma_{0} \models \varphi$؛ غير أن هذا بعينه هو ما تقرّره مبرهنة التراص.

تبرهن نصوص كثيرة أولًا التمام القوي بطريقة أخرى، وتستنتج منه التراص. أما في هذه الدورة فالتمام القوي هو المطلوب، والحصول على التراص منه يكون دورًا. ومن هنا ينعكس الترتيب: فالدرس الخاص بالتراص يبرهنه داخل الدلالة، دون ذكر أي استنتاج، بتثبيت قيم $v_{1}, v_{2}, \ldots$ واحدة بعد أخرى، ثم لا يحصل إلا بعد ذلك، في ثلاثة أسطر، على التمام القوي، أي $\Gamma \models \varphi \Rightarrow \Gamma \vdash \varphi$ لكل مجموعة $\Gamma$.

المحتويات

تنتظم الدورة في ست وحدات: هذا التقديم، وأربع وحدات محتوى، وختام. وتُفتتح كل وحدة محتوى بدرس مقدمة، يعرض دروسها، وموقعها في الدورة، وما تفترض معرفته، والمسألة التي تحلّها، ويبدأ بتقييم دخول؛ وتُختتم بدرس خلاصة، يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، ويربطها ببقية الدورة، ويعيد في تقييم خروج مهارات تقييم الدخول، ويقترح ستة تحديات أصعب من مسائل الدروس.

الوحدة 0. تقديم الدورة

تتألف من هذا الدرس، الذي يحدّد الغاية، والأهداف العامة، والقرارات، والمحتويات، والعبء، وتصميم الدورة.

الوحدة 1. اللغة

غايتها أن تبني اللغة التي تدرسها الدورة، وأن تبرهن أن كل صيغة تُقرأ بطريقة واحدة، وأن تربطها بحجج اللغة العربية.

1. اللغة: مقدمة.
2. ما المنطق الرياضي: الصحة في مقابل الصدق، والمثال المضاد، والمفارقات، والتمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة.
3. لغة منطق القضايا: المجموعات والسلاسل، ولغة الدوائر والأقراص، وقاعدة تكوينها، واختصاراتها.
4. الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ: الاستقراء البسيط والقوي والبنيوي، وتوطئة الوزن، والقراءة الوحيدة، والتعريفات التراجعية.
5. صورنة اللغة الطبيعية: المعجم، وترجمة الجمل الخبرية والحجج، وما يفقده الاستلزام المادي.
6. اللغة: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 2. الاستنتاج

غايتها أن تمنح اللغة حسابًا، هو نظام الدورة، وأن تشتق فيه، مرة واحدة لكل منها، صور الاستدلال التي تستعملها الرياضيات دون أن تسمّيها.

1. الاستنتاج: مقدمة.
2. الأنظمة الاستنتاجية الصورية: نظام لوكاشيفيتش، والاستنتاج من مقدمات، ومبرهنة الاستنتاج، والعلامة التي تبيّن حدّه.
3. أربع تقنيات للاستنتاج: القياس الشرطي، وتبديل المقدمات، والنفي المزدوج، وعكس النقيض، وإبدال النفي المزدوج.
4. تناظرات الروابط: التوطئة الأساسية للنفي المشترك، وإبدال المتكافئات، والصور البديلة للروابط، وتناظراتها الخمسة.
5. تقنيات المنطق الكلاسيكي: قواعد كل رابط، والثالث المرفوع، والبرهان بالحالات، والبرهان بالخُلف، مع مقدمات.
6. قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع: براهينها في الاتجاهين، وإبدال المتكافئات داخل صيغ أخرى.
7. الاستنتاج: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 3. الدلالة

غايتها أن تمنح الصيغ معنى، وأن تقرّر به الصحة والنتيجة الدلالية، وأن تردّ كل صيغة إلى أشكال ناظمية.

1. الدلالة: مقدمة.
2. دلالات منطق القضايا: الإسنادات وتمديدها بالتراجع، وتوطئة التطابق، وجداول الصدق، والصحة، وقابلية التحقق.
3. النتيجة الدلالية والتكافؤ الدلالي: النتيجة الدلالية من مجموعات، ومبرهنة الاستنتاج الدلالية، والإبدال، والتعويض المنتظم.
4. قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع المعمّمة: العطوف والفصول ذات $n$ من الحدود وقوانينها، بالاستقراء.
5. التمام الوظيفي: لكل دالة صدق صيغة، والنفي المشترك يكفي وحده، ومجموعات الروابط الكافية.
6. الأشكال الناظمية: الحرفيات، والعبارات، والشكلان الفصلي والعطفي، وازدواجيتهما، ووجودهما.
7. خوارزمية الشكل الناظمي وتطبيقاتها: خوارزمية صحيحة تتوقف دائمًا، وتصميم دارات المفاتيح وتبسيطها.
8. الدلالة: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 4. ما وراء النظرية

غايتها أن تبرهن أن الاستنتاج والنتيجة الدلالية يتطابقان، أولًا لمقدمات منتهية ثم لمقدمات أيًّا كانت، وأن تقدّم طريقة ثالثة لتقريرهما.

1. ما وراء النظرية: مقدمة.
2. السلامة والتمام: السلامة بالاستقراء على الأسطر، والاتساق، وتوطئة كالمار، والتمام الضعيف والتمام للمجموعات المنتهية.
3. مبرهنة التراص: برهانها الدلالي، وصورها المكافئة، والتمام القوي الذي يلزم عنها، وتطبيقاتها التوافقية.
4. طريقة الحلّ: الشكل العباري، وقاعدة الحلّ، وسلامتها، وتمام الدحض فيها، وكلفتها.
5. ما وراء النظرية: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 5. ختام الدورة

تتألف من درس الحصيلة النهائية لدورة المنطق الرياضي 1، الذي يذكّر بالأهداف العامة السبعة، ويبيّن في رسم في أي الوحدات والدروس يُعمل على كل منها، ويجمع لكل هدف المحاولة الأولى في تقييمات الخروج، ويشير إلى الوجهة التي تستمر فيها الدراسة.

العبء الدراسي والساعات المعتمدة

لا يُقاس عبء الدورة بساعات العرض، فهي لا وجود لها في دورة غير متزامنة، بل بمجموع عمل من يدرسها: القراءة، وتتبّع البراهين والاستنتاجات، وحلّ المسائل، والمراجعة. ويتبع التقدير المنهج نفسه في جميع دورات الموقع: فهو يحسب زمن قراءة نص كل درس بمعدّل مئة كلمة في الدقيقة، مع عدّ كل صيغة كلمة واحدة، وعشرين دقيقة لكل مسألة محلولة، وخمسًا وثلاثين لكل مسألة مقترحة، وخمسًا وأربعين لكل تحدٍّ، واثنتي عشرة لكل تقييم دخول أو تقييم خروج، ويضيف هامشًا قدره العُشر للمراجعة.

النتائج

تحتوي دروس الدورة في مجموعها على $90$ مسألة محلولة و$90$ مسألة مقترحة و$24$ تحدّيًا، فضلًا عن ثمانية تقييمات للوحدات. والعبء المقدَّر لكل وحدة، مقرَّبًا إلى أقرب ساعة، هو الآتي:

• الوحدة 0، تقديم الدورة: أقل من $1$ ساعة.
• الوحدة 1، اللغة: $30$ ساعة.
• الوحدة 2، الاستنتاج: $36$ ساعة.
• الوحدة 3، الدلالة: $43$ ساعة.
• الوحدة 4، ما وراء النظرية: $25$ ساعة.
• الوحدة 5، ختام الدورة: أقل من $1$ ساعة.

المجموع نحو $137$ ساعة عمل. وينبغي أن يُقرأ هذا الرقم على حقيقته: تقديرٌ لمن يدرس كل البراهين ويحلّ كل المسائل والتحديات. فمن سبق له أن درس المنطق، أو اقتصر على المسائل المقترحة دون أن يتصدّى للتحديات، سيحتاج إلى أقل من ذلك بكثير؛ ومن لم يبرهن مبرهنة قط قد يحتاج إلى أكثر، ولا سيما في وحدتي الاستنتاج والدلالة، وهما أيضًا الأطول.

غير أن الرقم اسمي: فهو الذي يحدّد الساعات المعتمدة للدورة، ويفترض قراءة بوتيرة ثابتة وثلاثة أرباع الساعة لكل تحدٍّ. وما دام لم يُقَس مع طلاب حقيقيين، فالأولى أن يُرفَق بمجال واقعي. فلو سارت القراءة بنصف الوتيرة المفترضة، كما يحدث حين يُنسخ كل استنتاج بالورقة والقلم وتُفكَّك كل سلسلة من الدوائر والأقراص باليد، واستغرق كل تحدٍّ خمسًا وسبعين دقيقة بدل خمس وأربعين، لأعطى المنهج نفسه نحو $174$ ساعة. ومن ثَمّ فإن العبء المتوقَّع يقع بين نحو $137$ ونحو $174$ ساعة. والطرف الأعلى حدٌّ احتياطي، لا قياس؛ وسيُصحَّح المجال حين يُعرف الوقت الذي يستغرقه دارسو الدورة، وإلى ذلك الحين تُحسب الساعات المعتمدة بالرقم الاسمي.

الوتيرة المقترحة

لتسمية الوتائر، تعتمد هذه الخطة المعيار نفسه الذي تعتمده خطط الموقع الأخرى: الدراسة بدوام كامل هي دراسة عام أكاديمي من $60$ ساعة معتمدة، أي نحو $1650$ ساعة موزّعة على نحو أربعين أسبوعًا، أي نحو $40$ ساعة أسبوعيًا، والدراسة بدوام جزئي نصفها، أي نحو $20$ ساعة أسبوعيًا. ومن ذلك يلزم وتيرة موصى بها قدرها فصل دراسي واحد من ستة عشر أسبوعًا، بنحو $8$ أو $9$ ساعات دراسة أسبوعيًا، أي أكثر قليلًا من خُمس الدوام الكامل؛ ومع المجال الواقعي، من $9$ إلى $11$ ساعة أسبوعيًا. ويمكن أن يُتقاسم هذا الفصل مع دورة الجبر والهندسة 1، التي تُقرأ براهينها على نحو أفضل حين يكون الاستنتاج موضوعًا معروفًا.

والوتيرة المكثّفة، بنحو $20$ ساعة أسبوعيًا، أي بدوام جزئي، تُتمّ الدورة في سبعة أسابيع. والوتيرة الأكثر تمهّلًا، بنحو $4$ أو $5$ ساعات أسبوعيًا، تمدّها إلى فصلين دراسيين يقتسمانها مناصفةً تقريبًا: فالوحدات من 0 إلى 2، اللغة والاستنتاج، تشغل نحو $67$ ساعة، والوحدات من 3 إلى 5، الدلالة وما وراء النظرية والختام، نحو $69$.

المعادل بالساعات المعتمدة القابلة للتحويل

تقيس أنظمة الساعات المعتمدة القابلة للتحويل الدورةَ بمجموع العمل الذي تتطلّبه ممن يتابعها، لا بساعات الحضور الصفّي، والغرض أن يُعترف في مؤسسة بالدراسة التي أُنجزت في أخرى. فالنظام الأوروبي لتحويل الساعات المعتمدة وتجميعها، الذي اعتمدته الجامعات الأوروبية في أعقاب إعلان بولونيا، يمنح $60$ ساعة معتمدة لعام أكاديمي بدوام كامل، ويحدّد كل ساعة معتمدة بما بين $25$ و$30$ ساعة عمل. ونظام الساعات المعتمدة القابلة للتحويل في تشيلي، الذي اعتمدته الجامعات التشيلية بتصميم مماثل، يمنح كذلك $60$ ساعة معتمدة للعام الأكاديمي ويحدّد كل ساعة معتمدة بما بين $24$ و$31$ ساعة عمل.

غير أننا إذا قسمنا الساعات المقدَّرة $137$ على طرفي كل مجال، وجدنا أن الدورة تعادل نحو $5$ ساعات معتمدة أوروبية (من 4.6 إلى 5.5)، وما بين $4$ و$6$ ساعات معتمدة تشيلية قابلة للتحويل (من 4.4 إلى 5.7). وإذا اتُّخذت القيمة الوسطى للمجالين مرجعًا، أي 27.5 ساعة لكل ساعة معتمدة، حصلنا في النظامين على العدد نفسه، 4.98، الذي يُقرَّب إلى 5. وبالنسبة إلى الساعات المعتمدة الأوروبية، يكون العدد $C$ محصورًا على النحو الآتي:

ومن ثَمّ يوصى بأن تُمنح للدورة $5$ ساعات معتمدة أوروبية و$5$ ساعات معتمدة تشيلية قابلة للتحويل، أي جزءًا واحدًا من اثني عشر جزءًا من عام أكاديمي بدوام كامل، وهو أقل قليلًا من مادة فصلية عادية من ست ساعات معتمدة.

تصميم الدورة

نمط الدراسة

الدورة غير متزامنة، عبر الإنترنت، وبوتيرة ذاتية: لا مواعيد لها ولا جلسات مباشرة ولا آجال، ويتقدّم كل طالب بالسرعة التي يسمح بها إعداده ووقته. وتُقدَّم باللغات الأربع عشرة للموقع، بالمنطق نفسه في جميعها: فالصيغ والاستنتاجات وخطوات البراهين متطابقة في كل نسخة، ولا يُترجم إلا النص. وتعلن الدروس أي الدروس الأخرى يحسن أن تُدرَس قبلها، بحيث يكون الترتيب الموصى به صريحًا.

بنية الدرس

تتبع كل دروس المحتوى البنية نفسها. فهي تبدأ بملخّص وبقائمة من أهداف تعلّمية خاصة بها، مصوغة أداءاتٍ قابلة للملاحظة. ثم تأتي النظرية، بالتعريفات، والنتائج المصوغة بدقة وبراهينها، والأمثلة. وتُعرض البراهين مشغّلاتِ خطوات: كل خطوة تكتب سطرًا، وتُبرز ما يتغيّر، وتعود، حين تستند إلى نتيجة سابقة، إليها. وتُكتب استنتاجات النظام بأسطر مرقّمة، مع تسويغ كل سطر على اليمين (مسلّمة، أو مقدمة، أو القياس الاستثنائي مع الأسطر التي يستعملها، أو قاعدة مشتقة)، وعند التقدّم تُبرَز الأسطر المحال إليها. ويُختتم الدرس بخمس مسائل محلولة، مع حلّها خطوة خطوة، وخمس مسائل مقترحة، لكل منها تلميح مطويّ، ثم الجواب النهائي؛ وتضيف المسائل المقترحة التي تطلب برهانًا، مطويًّا بعد الجواب، حلًّا مفصّلًا، يحسن ألّا يُفتح إلا بعد كتابة الحلّ الخاص.

ويمكن، فوق ذلك، الاستماع إلى كل درس بصوت مسموع بواسطة قارئ الموقع، الذي ينطق رموز الصيغ بالكلمات، بما فيها الدائرة والقرص ورمزا الاستنتاج والنتيجة الدلالية.

التقييم

لا تمنح الدورة درجات: تقييمها تكويني ويستند إلى التقييم الذاتي. فالمسائل المقترحة تتيح التحقق من بلوغ أهداف كل درس، والتحديات من بلوغ أهداف كل وحدة. ويُضاف إلى ذلك تقييمات الوحدات: فتقييم الدخول، في بداية المقدمة، يقيس نقطة الانطلاق بأحد عشر إلى خمسة عشر سؤالًا، لأنه يضيف إلى أسئلة الوحدة بعض الأسئلة عمّا تفترض الوحدة معرفته؛ وتقييم الخروج، في الخلاصة وقبل التحديات، يقيس ما تحقق باثني عشر سؤالًا ويُقارَن بتقييم الدخول. ويُصحَّح كلاهما في المتصفح نفسه، مع شرح لكل جواب وإحالة إلى الدرس الذي تحسن مراجعته؛ وتُحفظ نتائجهما في متصفح من يجيب عنهما فقط، وتجمع الحصيلة النهائية المحاولة الأولى في كل تقييم خروج في ملمح لكل هدف عام.

كيف تُدرَس هذه الدورة

صُمّمت الدورة لتُدرَس بالترتيب. فكل وحدة تفترض ما قبلها: الاستنتاج يُكتب بلغة الأولى، والدلالة تمنح صيغها قيمة، وما وراء النظرية يقارن الثانية بالثالثة؛ وتخطّي درس يُلزم، عاجلًا أو آجلًا، بالعودة إليه.

في كل درس، يحسن أن يُقرأ أولًا الملخّص والأهداف؛ ثم أن تُدرَس النظرية بالورقة والقلم، بنسخ سلاسل الدوائر والأقراص، وفصل متغيراتها وأقراصها، وتوقّع كل سطر من الاستنتاج قبل أن يكتبه المشغّل؛ وأن تُحاوَل المسائل المحلولة قبل النظر في حلّها، وأن تُحلّ المقترحة دون عون، مع عدم فتح التلميح إلا حين تُستنفد المحاولة. فالمسألة التي استُشير جوابها قبل محاولتها لم تُحَلّ، بل قُرئت.

وأخيرًا، يحسن التمييز دائمًا بين مستويات الأقوال: هل يقول القول شيئًا داخل اللغة، مثل صيغة، أم شيئًا عنها، مثل $\Gamma \vdash \varphi$ أو $\Gamma \models \varphi$. وهذا التمييز، وهو أول أهداف الدورة، هو أيضًا ما يتيح فهم نتيجتها المركزية، التي لا يمكن أن تُصاغ إلا في اللغة الواصفة.