الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ

أحكام على جميع الصيغ

في الدرس الخاص بـلغة منطق القضايا بُنيت الصيغ من رمزين، $\sigO$ و$\sigI$، نسمّيهما الدائرة والقرص، ومن قاعدة تكوين واحدة. والصيغ لا متناهية العدد، وكثير من الأحكام المهمة يتناولها جميعًا: أن كل صيغة تنتهي بقرص، وأنه لا تُقرأ أي صيغة بطريقتين، وأن في كل صيغة متغيرًا واحدًا زائدًا على عدد الأقراص الرابطة. وليست هذه الأحكام صيغًا في اللغة التي ندرسها، بل جملًا خبرية عنها، مصوغة في اللغة الواصفة (العربية، مستعينةً بالترميز الرياضي)؛ ولذلك فبرهانها ليس استنتاجًا داخل نظام صوري، بل استدلال رياضي عادي موضوعه النظام الصوري. ولهذا تُسمّى براهين في ما وراء النظرية، أو براهين خارجية.

غير أن أي عدد من الأمثلة المتحقق منها لا يبرهن حكمًا على عدد لا متناهٍ من الأشياء. ويلزم عن ذلك أننا نحتاج إلى مبدأ يسمح بأن نستنتج، من عدد منتهٍ من التحققات، أن خاصية ما تصح في عدد لا متناهٍ من الحالات. وهذا المبدأ هو الاستقراء. ويُعرض أولًا على الأعداد الطبيعية، حيث هو أكثر ألفة، ثم على الصيغ، حيث يستند إلى الأول. وستبرهن الأداة نفسها، في وحدة ما وراء النظرية، سلامة النظام الاستنتاجي وتمامه.