السلامة والتمام

سؤالان عن نظام الدورة

ثبّتت الوحدة الخاصة بالاستنتاج نظام الدورة: مخططات المسلّمات A1 وA2 وA3 للوكاشيفيتش وقاعدتين، قاعدة الوضع (وضع) وإبدال النفي المزدوج (إبدال النفي المزدوج)، التي أضافها الدرس الخاص بـأربع تقنيات للاستنتاج بعد البرهان على النفي المزدوج. والاستنتاج من مجموعة $\Gamma$ متتالية منتهية من الصيغ كل واحدة منها مسلّمة، أو عنصر من $\Gamma$، أو نتيجة قاعدة الوضع مطبقة على صيغتين سابقتين، أو نتيجة إبدال النفي المزدوج مطبقًا على صيغة سابقة؛ و$\Gamma \vdash \varphi$ تعني أنه يوجد استنتاج من $\Gamma$ صيغته الأخيرة $\varphi$. أما الوحدة الخاصة بالدلالة، فقد عرّفت في الدرس الخاص بـالنتيجة الدلالية والتكافؤ الدلالي العلاقة $\Gamma \models \varphi$: كل إسناد يحقق جميع صيغ $\Gamma$ يحقق $\varphi$. وتُكتب العلاقتان بالنمط نفسه، مجموعة على اليسار وصيغة على اليمين؛ غير أن طبيعتهما متعاكسة. فالأولى نحوية ووجودية: تؤكد أنه يوجد شيء منتهٍ، هو استنتاج، يمكن مراجعته رمزًا رمزًا. والثانية دلالية وكلية: تؤكد شيئًا عن جميع الإسنادات، وهي غير منتهية، وكل واحد منها يعطي قيمة لعدد غير منتهٍ من المتغيرات.

فيُطرح إذن سؤالان عن النظام. الأول: هل يستنتج ما يجب فقط؟ يقال إن النظام سليم إذا كان، لكل مجموعة $\Gamma$ ولكل صيغة $\varphi$، $\Gamma \vdash \varphi$ يستلزم $\Gamma \models \varphi$: ما يُستنتج من مقدمات ما صادق تحت كل إسناد يجعل المقدمات صادقة. والثاني: هل يستنتج كل ما يجب؟ يقال إن النظام تام إذا كان $\Gamma \models \varphi$ يستلزم $\Gamma \vdash \varphi$. وللتمام ثلاث درجات، بحسب مجموعات المقدمات التي يشملها:

• التمام الضعيف: إذا $\models \varphi$، فإن $\vdash \varphi$؛ كل تحصيل حاصل مبرهنة؛
• التمام للمجموعات المنتهية: إذا $\{\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}\} \models \varphi$، فإن $\{\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}\} \vdash \varphi$؛
• التمام القوي: إذا $\Gamma \models \varphi$، فإن $\Gamma \vdash \varphi$، لمجموعة $\Gamma$ أيًّا كانت، ولو كانت غير منتهية.

يبرهن هذا الدرس على السلامة وعلى الدرجتين الأوليين من التمام. أما الثالثة فيُبرهن عليها في الدرس الخاص بـمبرهنة التراص، وسيُشرح سبب هذا التقسيم في آخر الدرس.

ما لا ينبغي قوله

في الإسبانية تُسمّى السلامة أحيانًا «solvencia»، وهي ترجمة حرفية للإنجليزية soundness؛ والمصطلح الإسباني هو «corrección»، ومصطلح الدورة بالعربية هو «السلامة». ولا ينبغي كذلك تعريفها بأنها خاصية النظام «في استدلال تعبير من مجموعة من التعابير»، فتلك هي قابلية الاستنتاج نفسها وليست خاصية للنظام. غير أن الأخطاء الجوهرية خطآن آخران.

الأول هو القول إن السلامة والتمام «يمكن استدلال أحدهما من الآخر». إنهما خاصيتان مستقلتان: فنظام لوكاشيفيتش، دون قاعدة إبدال النفي المزدوج، سليم (يبرهن على ذلك برهان هذا الدرس بحذف حالة واحدة) وغير تام (عرض الدرس الخاص بـالأنظمة الاستنتاجية الصورية تحصيل حاصل لا يستنتجه)؛ والنظام الذي يتخذ جميع الصيغ مسلّمات يكون تامًا دون أن يكون سليمًا. وتفحص المسألة المحلولة 2 المثالين كليهما.

والخطأ الثاني أخطر، لأنه يقدّم حجة دائرية على أنها برهان على التمام. فهو يقول في جوهره: إذا $\varphi \nvdash \psi$، فإنه بمبرهنة الاستنتاج $\nvdash (\varphi \rightarrow \psi)$؛ و«بالسلامة» $\not\models (\varphi \rightarrow \psi)$؛ وبمبرهنة الاستنتاج الدلالية $\varphi \not\models \psi$. غير أن السلامة تقول إن ما يقبل الاستنتاج صحيح منطقيًا، وعكس نقيضها يقول إن ما ليس صحيحًا منطقيًا لا يقبل الاستنتاج:

وخطوة الحجة تسير في الاتجاه المعاكس، من $\nvdash \chi$ إلى $\not\models \chi$، وهي عكس نقيض $\models \chi \Rightarrow \vdash \chi$، أي التمام الضعيف. وإذا كان الأمر كذلك، فإن الحجة تفترض ما تريد البرهان عليه. ويلزم عن ذلك أن التمام لا «يُستدل عليه بطريقة بسيطة»: إنه أعمق نتيجة في الدورة، ويشغل برهانه الجزء الأكبر من هذا الدرس. وأخيرًا، من غير الدقيق تلخيص التمام بالقول إن «كل التعابير الصادقة لها برهان»؛ فالذي له برهان هو الصحيح منطقيًا، الصادق تحت كل إسناد، لا الصادق تحت إسناد ما: فالمتغير $v_{1}$ صادق تحت إسنادات كثيرة، وليس مبرهنة.