सुदृढ़ता और पूर्णता

पाठ्यक्रम की प्रणाली के बारे में दो प्रश्न

निगमन पर इकाई ने पाठ्यक्रम की प्रणाली निर्धारित की: लुकासिएविच की अभिगृहीत-योजनाएँ A1, A2 और A3 तथा दो नियम, मोडस पोनेन्स (MP) और दोहरे निषेध का प्रतिस्थापन (RDN), जिसे निगमन की चार तकनीकों वाले पाठ ने दोहरा निषेध सिद्ध करने के बाद जोड़ा। किसी समुच्चय $\Gamma$ से एक निगमन सूत्रों का एक परिमित अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सूत्र या तो एक अभिगृहीत है, या $\Gamma$ का एक अवयव, या दो पिछले सूत्रों पर मोडस पोनेन्स लागू करने से प्राप्त सूत्र, या किसी पिछले सूत्र पर RDN लागू करने से प्राप्त सूत्र; $\Gamma \vdash \varphi$ का अर्थ है कि $\Gamma$ से एक ऐसा निगमन है जिसका अंतिम सूत्र $\varphi$ है। अर्थविज्ञान पर इकाई ने, अपनी ओर से, शब्दार्थीय परिणाम और शब्दार्थीय तुल्यता पर पाठ में संबंध $\Gamma \models \varphi$ परिभाषित किया: प्रत्येक मान-नियतन जो $\Gamma$ के सभी सूत्रों को संतुष्ट करता है, $\varphi$ को संतुष्ट करता है। दोनों संबंध एक ही ढाँचे से लिखे जाते हैं, बाईं ओर एक समुच्चय और दाईं ओर एक सूत्र; परंतु उनका स्वभाव विपरीत है। पहला वाक्यविन्यासी और अस्तित्वपरक है: वह कहता है कि एक परिमित वस्तु, एक निगमन, विद्यमान है, जिसे प्रतीक-दर-प्रतीक जाँचा जा सकता है। दूसरा शब्दार्थीय और सार्वत्रिक है: वह सभी मान-नियतनों के बारे में कुछ कहता है, जिनकी संख्या अपरिमित है, और जिनमें से प्रत्येक अपरिमित रूप से अनेक चरों को मान देता है।

अतः प्रणाली के बारे में दो प्रश्न उठते हैं। पहला: क्या वह केवल वही निगमित करती है जो उसे करना चाहिए? कहा जाता है कि प्रणाली सुदृढ़ है यदि, प्रत्येक समुच्चय $\Gamma$ और प्रत्येक सूत्र $\varphi$ के लिए, $\Gamma \vdash \varphi$, $\Gamma \models \varphi$ को निहित करता है: आधार-वाक्यों से जो निगमित होता है वह प्रत्येक ऐसे मान-नियतन के अंतर्गत सत्य है जो आधार-वाक्यों को सत्य बनाता है। दूसरा: क्या वह वह सब निगमित करती है जो उसे करना चाहिए? कहा जाता है कि प्रणाली पूर्ण है यदि $\Gamma \models \varphi$, $\Gamma \vdash \varphi$ को निहित करता है। पूर्णता की तीन कोटियाँ हैं, इस पर निर्भर कि वह आधार-वाक्यों के किन समुच्चयों को समेटती है:

• दुर्बल पूर्णता: यदि $\models \varphi$, तो $\vdash \varphi$; प्रत्येक पुनरुक्ति एक प्रमेय है;
• परिमित समुच्चयों के लिए पूर्णता: यदि $\{\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}\} \models \varphi$, तो $\{\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}\} \vdash \varphi$;
• प्रबल पूर्णता: यदि $\Gamma \models \varphi$, तो $\Gamma \vdash \varphi$, किसी भी समुच्चय $\Gamma$ के लिए, अपरिमित के लिए भी।

यह पाठ सुदृढ़ता और पूर्णता की पहली दो कोटियाँ सिद्ध करता है। तीसरी संहतता प्रमेय पर पाठ में सिद्ध की जाती है, और इस विभाजन का कारण पाठ के अंत में समझाया जाएगा।

जो नहीं कहना चाहिए

स्पेनिश में सुदृढ़ता को कभी-कभी “solvencia” कहा जाता है, जो अंग्रेज़ी soundness का शाब्दिक अनुवाद है; स्पेनिश शब्द “corrección” है, और हिंदी में यह पाठ्यक्रम “सुदृढ़ता” कहता है। न ही इसे प्रणाली के उस गुण के रूप में परिभाषित करना चाहिए जो “व्यंजकों के किसी समुच्चय से एक व्यंजक का अनुमान करने” का है, क्योंकि वह स्वयं निगम्यता है, प्रणाली का कोई गुण नहीं। फिर भी, मूलभूत त्रुटियाँ दो दूसरी हैं।

पहली त्रुटि यह कहना है कि सुदृढ़ता और पूर्णता “एक का दूसरे से अनुमान किया जा सकता है”। वे स्वतंत्र गुण हैं: RDN नियम के बिना लुकासिएविच प्रणाली सुदृढ़ है (इस पाठ की उपपत्ति, एक स्थिति हटाकर, यह सिद्ध करती है) और पूर्ण नहीं है (औपचारिक निगमन प्रणालियों पर पाठ ने एक पुनरुक्ति दिखाई जिसे वह निगमित नहीं करती); और जो प्रणाली सभी सूत्रों को अभिगृहीतों के रूप में अपनाए, वह सुदृढ़ हुए बिना पूर्ण होगी। हल प्रश्न 2 दोनों उदाहरणों की जाँच करता है।

दूसरी त्रुटि अधिक गंभीर है, क्योंकि वह एक चक्रीय युक्ति को पूर्णता की उपपत्ति के रूप में प्रस्तुत करती है। सार रूप में वह कहती है: यदि $\varphi \nvdash \psi$, तो, निगमन प्रमेय से, $\nvdash (\varphi \rightarrow \psi)$; “सुदृढ़ता से”, $\not\models (\varphi \rightarrow \psi)$; और शब्दार्थीय निगमन प्रमेय से, $\varphi \not\models \psi$। परंतु सुदृढ़ता कहती है कि जो निगम्य है वह वैध है, और उसका प्रतिपरिवर्तित कथन, कि जो वैध नहीं है वह निगम्य नहीं है:

युक्ति का कदम दूसरी दिशा में जाता है, $\nvdash \chi$ से $\not\models \chi$ की ओर, जो $\models \chi \Rightarrow \vdash \chi$ का प्रतिपरिवर्तित कथन है, अर्थात् दुर्बल पूर्णता का। यदि ऐसा है, तो युक्ति वही मान लेती है जिसे वह सिद्ध करना चाहती है। इससे निकलता है कि पूर्णता “सरल ढंग से अनुमानित” नहीं होती: वह पाठ्यक्रम का सबसे गहरा परिणाम है, और उसकी उपपत्ति इस पाठ का अधिकांश भाग घेरती है। अंत में, पूर्णता का सार यह कहकर देना अयथार्थ है कि “सभी सत्य व्यंजकों की एक उपपत्ति होती है”; उपपत्ति उसकी होती है जो वैध है, अर्थात् प्रत्येक मान-नियतन के अंतर्गत सत्य, न कि उसकी जो किसी एक के अंतर्गत सत्य है: चर $v_{1}$ अनेक मान-नियतनों के अंतर्गत सत्य है, और प्रमेय नहीं है।