اللغة: مقدمة

تقييم الدخول

قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. وهذا التقييم تقييم ذاتي: لا تُمنح عليه درجة، وغايته الوحيدة توجيه الدراسة. وتتناول أسئلته الأحد عشر، بالترتيب، دروس الوحدة الأربعة: ثلاثة للأول، وثلاثة للثاني، واثنان للثالث، وثلاثة للرابع. ومن لم يدرس المنطق قطّ لا ينبغي أن يتوقّع الإصابة فيها كلها، ولا ضير في ذلك: فكل جواب، صائبًا كان أو خاطئًا، يشرح المسألة ويسمّي الدرس الذي يعالجها. وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة؛ ولأن هذه هي الوحدة الأولى من دورة لا متطلبات سابقة لها، فلا أسئلة عن وحدات سابقة.

محتويات الوحدة

تخدم هذه الوحدة، قبل كل شيء، أول أهداف الدورة، وهو التمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة والتقرير بقواعد التكوين هل السلسلة صيغة؛ وتخدم أيضًا الهدف الثاني، وهو صورنة جمل اللغة الطبيعية وحججها، وتمهّد للرابع، وهو البرهان على مبرهنات ماورائية بالاستقراء، الذي سيرافق الدورة حتى وحدتها الأخيرة. وغايتها أن يعرف من يتمّها ما يدرسه المنطق، وأن تكون بين يديه لغة صورية مبنية بكل صرامة، وأن يحسن البرهان على خصائص جميع صيغها، وأن يقدر على ترجمة جمل العربية وحججها إليها، عارفًا ما تحفظه الترجمة وما تفقده. ودروسها الأربعة تتعاقب تعاقبًا يستند فيه كل درس إلى ما قبله.

1. ما المنطق الرياضي. يحدّد موضوع هذا العلم: لا صدق الجمل الجزئية، بل الصحة، أي العلاقة بين المقدمات والنتيجة التي تضمن أن صدق الأولى ينتقل إلى الثانية. ويميّز الصحة من الصدق، ويبيّن لماذا لا تكفي اللغة الطبيعية لدراستها، وهي ملتبسة وقادرة على الكلام على نفسها، ويرسي التمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة. ويحلّل، مع فرضياتها الصريحة، مفارقات الكذاب وبيري والحلاق وراسل، ويختم بخريطة الدورة.
2. لغة منطق القضايا. يعلّم ما لا غنى عنه من المجموعات ومن سلاسل الرموز، ويعدّ السلاسل التي يمكن كتابتها برمزين، ويبني اللغة الأساسية: متغيرات لا نهاية لعددها مكتوبة بالدوائر والأقراص، وقاعدة تكوين واحدة، وشرط انغلاق يُستنتج منه مبدأ لإثبات خصائص جميع الصيغ. ويقدّم إجراءً لتقرير هل السلسلة صيغة، ويبني فوق اللغة الأساسية اللغةَ الواصفة التي سنعمل بها من الآن فصاعدًا: المتغيرات الواصفة، والنفي المشترك مكتوبًا بالأقواس، والاختصارات المعتمدة لسائر الروابط.
3. الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ. يعلّم الاستقراء على الأعداد الطبيعية، البسيط والقوي، وينقله إلى الصيغ. وبه يبرهن على توطئة الوزن، ومنها على مبرهنة القراءة الوحيدة، التي كان الدرس السابق قد صاغها: كل صيغة مركبة تتحلّل على نحو واحد فقط. وتسوّغ القراءة الوحيدة، أخيرًا، التعريفات التراجعية على الصيغ (الطول، والصيغ الجزئية، والعمق) وتعويض صيغة جزئية بأخرى.
4. صورنة اللغة الطبيعية. يمدّ الجسر بين العربية واللغة الصورية: معجم الصورنة، وقراءة كل رابط مستنتجة من قراءة الرابط الأولي، ودقائق «لكنّ» و«فقط إذا» و«ما لم»، ومدى الروابط، والاستلزام المادي، وما لا يستطيع منطق القضايا التعبير عنه. ويختم بصورنة حجج كاملة بوصفها مجموعة من المقدمات ونتيجة، ستُخضعها الوحدات التالية للاستنتاج وللدلالة.

وتختم الوحدة بدرس الخلاصة والتحديات، الذي يجمع ما تحقّق في سلسلة استنتاجية، ويكرّر في تقييم الخروج مهارات تقييم الدخول، ويقترح تحدّيات تجمع بين عدة دروس.

مكان الوحدة في الدورة

تقطع الدورة، في أبسط لغات المنطق، المسار الكامل لنظرية منطقية، وتفعل ذلك في أربعة أجزاء هي وحدات المحتوى الأربع. الأولى، وهي هذه، تثبّت اللغة. والثانية، الاستنتاج، تعرّف معنى أن تُنال صيغة $\varphi$ من مجموعة صيغ $\Gamma$ بواسطة مسلّمات وقواعد استدلال، وهو ما سيُكتب $\Gamma \vdash \varphi$؛ وهي الوجه النحوي للصحة، حيث تُعالج الرموز دون التفات إلى معناها. والثالثة، الدلالة، تسند إلى كل صيغة قيمة صدق في كل إسناد وتعرّف معنى أن تكون $\varphi$ نتيجة دلالية لـ$\Gamma$، وهو ما سيُكتب $\Gamma \models \varphi$؛ وهي الوجه الدلالي للصحة. والرابعة، ما وراء النظرية، تبرهن على أن الوجهين متطابقان: فالسلامة تقول إن كل ما يُستنتج نتيجة، والتمام يقول إن كل نتيجة تُستنتج.

وإذا كان الأمر كذلك، فالنحو ليس تمهيدًا يمكن اختصاره، بل هو شرط الأجزاء الثلاثة الأخرى. فالاستنتاج متتالية من الصيغ، ولتقرير هل متتالية ما استنتاج يجب أن يُعرف، بلا تردد، أيّ السلاسل صيغ وكيف تتحلّل؛ والإسناد يمتدّ من المتغيرات إلى جميع الصيغ بالتراجع، والتراجع لا يعطي كل صيغة قيمة واحدة إلا إذا كانت كل صيغة تُقرأ على نحو واحد فقط؛ ومبرهنات ما وراء النظرية يُبرهن عليها بالاستقراء، على تعقيد الصيغ أو على طول الاستنتاجات. ومن ثمّ يلزم ترتيب الوحدة: أولًا، ما الذي نريد دراسته ولماذا نحتاج إلى لغة صورية؛ ثم اللغة؛ ثم الأداة التي نبرهن بها على شيء ما لجميع صيغها، وبها يُبرهن على القراءة الوحيدة؛ وأخيرًا، الجسر نحو الحجج المصوغة بالعربية، التي هي علّة وجود كل ما سبق.

لماذا لغة الدوائر والأقراص

للغة الدورة أبجدية من رمزين فقط، الدائرة $\sigO$ والقرص $\sigI$، وقاعدة تكوين واحدة: إذا كانت $\varphi$ و$\psi$ صيغتين، فإن $\sigI\varphi\psi$ صيغة أيضًا. والمتغير ذو الرتبة $n$ هو السلسلة المؤلفة من $n$ دوائر يليها قرص، $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$. وللوهلة الأولى يبدو الاختيار غريبًا، لأن الصيغ المكتوبة على هذا النحو عسيرة القراءة. غير أن له أربعة أسباب محدّدة.

أولها أن رمزين يكفيان لكتابة متغيرات لا نهاية لعددها دون الخروج من أبجدية منتهية، بحيث تكون كل صيغة، حرفيًا، سلسلة منتهية من رموز مجموعة ذات عنصرين، وتكون الأسئلة عن اللغة أسئلةً عن سلاسل يمكن عدّها ومقارنتها. وثانيها أن قاعدة واحدة تترك حالة واحدة في كل برهان بالاستقراء: فما يُبرهن عليه للمتغيرات ولـ$\sigI\varphi\psi$ يكون قد بُرهن عليه لجميع الصيغ، دون حالة لكل رابط. وثالثها أن القاعدة تضع الرابط قبل وسيطيه، كما في الترميز الذي اقترحه يان لوكاشيفيتش في عشرينيات القرن العشرين، ولذلك لا تحتاج إلى أقواس: فالقراءة الوحيدة يُبرهن عليها ببرهان من صفحة واحدة، يسند إلى كل متغير الوزن $+1$ وإلى كل قرص رابط الوزن $-1$. ورابعها أن الرابط الوحيد، النفي المشترك، «لا $\varphi$ ولا $\psi$»، يكفي للتعبير عن جميع الروابط الأخرى، كما لاحظ تشارلز ساندرز بيرس نحو عام 1880 ونشر هنري شيفر عام 1913، وكما ستبرهن وحدة الدلالة؛ بحيث لا يضحّي اقتصاد اللغة بشيء مما يستطيع منطق القضايا قوله.

غير أن ثمن هذا الاقتصاد هو سهولة القراءة، والوحدة تدفعه في اللغة الواصفة: فلن يكتب أحد كل يوم سلاسل من الدوائر والأقراص، بل أسماءها، $(\varphi \downarrow \psi)$ و$\neg\varphi$ و$(\varphi \rightarrow \psi)$، المعرّفة مرة واحدة والقابلة للبسط، في كل لحظة، حتى السلسلة التي تدلّ عليها. ومن ثمّ تعمل الدورة على مستويين معًا: لغة أساسية دنيا تُقام البراهين عليها، وترميز مريح يُكتب به؛ والتمييز بين اللغة الموضوع واللغة الواصفة، الذي يقدّمه الدرس الأول، هو ما يتيح عدم الخلط بينهما.

ما يُفترض أنه معلوم

تنطلق الوحدة من شبه لا شيء. فهي لا تفترض دراسة سابقة للمنطق، ولا معرفة بنظرية المجموعات، ولا برهانًا سابقًا على أي مبرهنة: فما تستعمله من المجموعات يعلّمه الدرس الثاني، وما تستعمله من الاستقراء يعلّمه الثالث. ولا تفترض إلا أمرين. الأول القراءة المتأنية: ففي لغة صورية، الرمز المضاف أو المحذوف يغيّر السلسلة، وترتيب كلمات التعريف مهمّ بقدر الكلمات نفسها. والثاني الحساب الأوّلي للأعداد الطبيعية، التي هي في هذه الدورة $1, 2, 3, \ldots$: الجمع والضرب، وحساب قوى $2$، والتمييز بين الأعداد الزوجية والفردية، ومعرفة العدد الأولي.

ومن أراد سندًا إضافيًا في الاستقراء فله أن يرجع إلى درس مسلّمات بيانو ودرس المجاميع والاستقراء في دورة الجبر والهندسة 1؛ وليس ذلك ضروريًا، لأن الدرس الثالث من هذه الوحدة يعلّم الاستقراء انطلاقًا من صياغته.

المسألة التي تحلّها الوحدة

يدرس المنطق الصحة، والصحة تتوقف على شكل الحجج. لكن الكلام على الشكل بصرامة يقتضي أن يكون لكل عبارة شكل واحد فقط، واللغة الطبيعية لا تضمن ذلك: فـ«ضعف ثلاثة زائد أربعة» قد يكون $10$ أو $14$، بحسب طريقة التجميع. وهذا يطرح مسألتين، هما مسألتا الوحدة. الأولى بناء لغة تُقرأ فيها كل عبارة على نحو واحد فقط. والثانية البرهان على ذلك: فالصيغ لا نهاية لعددها، ولا يثبت أي فحص حالةً حالةً، مهما طال، أن جميعها تُقرأ على نحو واحد فقط. والمثال الآتي يُظهر المسألتين في عبارة واحدة.

فجواب الوحدة عن هاتين المسألتين ذو شقين إذن. للأولى، لغة تضع قاعدتها الوحيدة الرابط قبل وسيطيه، فتستغني عن الأقواس، ولغة واصفة يدلّ كل اختصار من اختصاراتها على سلسلة واحدة فقط. وللثانية، مبدأ برهان، هو الاستقراء على تعقيد الصيغ، ينتقل من عدد منته من التحقّقات (المتغيرات والقاعدة) إلى جميع الصيغ، كما ينتقل الاستقراء على الأعداد الطبيعية من $1$ ومن الخطوة من $k$ إلى $k + 1$ إلى جميع الأعداد. وبالشقين معًا يصير شكل الحجة موضوعًا دقيقًا، ويمكن طرح سؤال صحتها بصرامة في الوحدات التالية.

كيف تُدرس الوحدة

يحسن البدء بتقييم الدخول هذا وتدوين الأسئلة التي أُخطئ فيها، لأنها تدلّ على الدروس التي يجب التوقف عندها. ويجب أن تُدرس الدروس الأربعة بالترتيب، لأن كلًّا منها يستعمل ما تثبته الدروس السابقة. وفي الدرسين الثاني والثالث تقتضي الدراسة الورقة والقلم: فسلاسل الدوائر والأقراص تُقرأ بصعوبة على الشاشة، ويحسن نسخها، وفصل كلماتها (كل متغير وكل قرص منفرد) وتدوين وزن كلٍّ منها، حتى يصير عدّ القراءة الوحيدة عادة. والبراهين منشورة في صورة مشغّلات خطوات، ويجب أن يمكن تسويغ كل خطوة قبل التقدّم. وفي الدرسين الأول والرابع يكون العمل قراءةً متأنية: أمام كل جملة عربية، يُسأل ما الذي تؤكّده بالضبط، وأيّ القراءات تقبل، وأيّ صيغة تمثّلها. وأخيرًا، لا يُفتح التلميح والإجابة في كل مسألة مقترحة إلا بعد محاولة حلّها بجدّ.

إلى أين تقود

عند ختام الوحدة ستكون اللغة قد ثُبّتت، وستبني الوحدات التالية عليها دون أن تعيد مناقشتها. فوحدة الاستنتاج ستعرّف نظامًا من المسلّمات وقاعدتين للاستدلال، هما قاعدة الوضع (modus ponens) وإبدال النفي المزدوج، الذي يُضاف بعد البرهان على النفي المزدوج، واستنتاجات هذا النظام متتاليات من الصيغ؛ ومسلّماته تُكتب بالاختصارات المعتمدة التي تعرّفها هذه الوحدة، ومبرهنة الاستنتاج فيه يُبرهن عليها بالاستقراء على طول الاستنتاجات، بالأداة التي تُتعلَّم هنا. ودرسها الأول هو درس الأنظمة الاستنتاجية الصورية. ووحدة الدلالة ستسند قيم صدق إلى المتغيرات وتمدّها إلى جميع الصيغ بالتراجع، وهذا لا يمكن إلا بفضل القراءة الوحيدة؛ وستسوّغ بالجداول القراءات غير الصورية للروابط التي يستعملها الدرس الرابع، وستبرهن، في درس التمام الوظيفي، على أن النفي المشترك يكفي للتعبير عن أي رابط. أما وحدة ما وراء النظرية فستبرهن أخيرًا بالاستقراء على السلامة والتمام، وستصير الحجج التي تعلّم هذه الوحدة صورنتها قابلة للحسم، في النهاية، بالاستنتاج أو بالدلالة على السواء.

وخارج هذه الدورة، نحو اللغة الصورية هو نحو كل لغة برمجة: فالمترجِم في دورة البرمجة بلغة C++ I يبدأ بتقرير هل البرنامج حسن البناء وبتحليله على نحو وحيد. والتمييز بين الصحة والصدق هو أيضًا نقطة انطلاق دورة المنطق الأرسطي، التي تدرس شكل الأقيسة؛ والاستقراء في الدرس الثالث هو نفسه الذي يبرهن على خصائص الأعداد في دورة الجبر والهندسة 1. وفي كل هذه الميادين، كما في صياغة اللوائح والعقود، المغزى واحد: فقول ما نؤكّده بدقة يقتضي لغة تكون فيها لكل عبارة قراءة واحدة فقط.