Español
English
Português
中文 (中国)
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
Latineملخص
يفتتح هذا الدرس الوحدة الثالثة من الدورة، المخصّصة للدلالات. فهو يقدّم دروسها الستة والخيط الذي يربط بينها، من امتداد الإسناد إلى جميع الصيغ إلى خوارزمية الأشكال الناظمية ودارات المفاتيح؛ ويضع الوحدة في مسار الدورة، بعد الاستنتاج، الذي حصّل صيغًا من أخرى دون التفات إلى معناها، وقبل ما وراء النظرية، الذي سيربط قابلية الاستنتاج بالنتيجة الدلالية ؛ ويشرح لماذا يكفي بند واحد، هو بند الرابط الأولي، لإعطاء المعنى للغة كلها، ولماذا تُحسب قيم الصدق بكثيرات حدود؛ ويبيّن بجدول من أربعة أسطر ما تقرّره الدلالات دون البحث عن استنتاجات ولا ابتكار علامات؛ ويحدّد ما يُؤخذ من الوحدات السابقة، ويقدّم نصائح لدراستها.
أهداف التعلم
- وصف تتابع دروس الوحدة الستة وشرح النتائج التي يستعملها الدرس التالي من كل درس.
- وضع الدلالات في مسار الدورة، والتمييز بين النتيجة الدلالية وقابلية الاستنتاج ، وشرح ما ستؤكّده السلامة والتمام.
- شرح لماذا تسمح ثنائية القيمة والدالية الصدقية بإعطاء المعنى لجميع الصيغ ببند واحد، وتقرير ما إذا كان مخطط استدلال صحيحًا بواسطة جدول صدق.
- التعرّف على ما تأخذه الوحدة من الوحدات السابقة، والتمييز بين الرموز و و و و، وتنظيم الدراسة انطلاقًا من تقييم الدخول.
تقييم الدخول
قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. وهذا التقييم تقييم ذاتي: لا تُمنح عليه درجة، وغايته الوحيدة توجيه الدراسة. وأسئلته الخمسة عشر على نوعين. فالأربعة الأولى تتناول ما تفترض الوحدة أنه معلوم من الوحدة الأولى: التعريف بالتراجع والقراءة الوحيدة، والاختصارات المعتمدة، وحالات الاستقراء على التعقيد، وتعويض صيغة جزئية؛ ومن أخطأ في أيّ منها فعليه، قبل أن يمضي، أن يراجع الدرس الذي يسمّيه السؤال. والأحد عشر الباقية تتناول، بالترتيب، دروس هذه الوحدة الستة: اثنان للأول، واثنان للثاني، وواحد للثالث، واثنان لكل واحد من الدروس الثلاثة الأخيرة. ومن لم يدرس قطّ دلالات لغة صورية لا ينبغي أن يتوقّع الإصابة فيها، ولا ضير في ذلك: فكل جواب، صائبًا كان أو خاطئًا، يشرح المسألة ويسمّي الدرس الذي يعالجها. وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة.
قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.
السؤال 1من وحدات سابقةتُعرَّف دالة على الصيغ بإعطاء قيمتها عند كل متغير وقاعدة تحسب قيمتها عند انطلاقًا من ومن ومن قيمتيها عندهما. ما الذي يضمن أن تُعرَّف بذلك دالة واحدة بالضبط؟
هذا يحدّد القيم التي تأخذها الدالة، لا كونها حسنة التعريف. فقاعدة قيمها و تُطبَّق على صيغة يمكن أن تُقرأ بطريقتين تعطي نتيجتين.لهذا بالضبط يصلح التراجع: تضمن المبرهنة دفعة واحدة، للصيغ اللامتناهية، أنه توجد دالة واحدة ووحيدة تستوفي البنود.ليست لها: فالسلسلة هي نفسها . ويستند التراجع إلى قاعدة التكوين الوحيدة، ، التي لها تلك القراءة.إنها مبرهنة التعريف بالتراجع على الصيغ، من الدرس عن الاستقراء، والقراءة الوحيدة شرطها الذي لا غنى عنه: لو قبلت صيغة تحليلين، لأمكن للقاعدة أن تنسب إليها قيمتين. وتستعملها الوحدة منذ نتيجتها الأولى، التي تمدّ إسنادًا للمتغيرات إلى جميع الصيغ.السؤال 2من وحدات سابقةبالاختصارات المعتمدة في الدورة، ما الصيغة ؟
يخلط بين التطابق والتكافؤ. فتساوي القوى سيقول إن لكلتيهما دائمًا قيمة الصدق نفسها، لكن سلسلة أطول من .هذه السلسلة هي : ينقصها النفي الخارجي، لأن الفصل هو نفي النفي المشترك، لا النفي المشترك نفسه.الاختصار يقبل مكوّنتين متساويتين، كما تقبلهما قاعدة التكوين، التي تكوّن من و الصيغة .الفصل اختصار لـ، و هي، بالتعريف، ؛ ومن ثمّ ، حرفًا بحرف. وستعود الوحدة إلى هذه الواقعة: فالسلسلة الواحدة قد تكون لها كتابات مختلفة جدًا، وقد تكون في شكل ناظمي دون أن يبدو عليها ذلك.راجِع: لغة منطق القضايا
السؤال 3من وحدات سابقةللبرهان بالاستقراء على التعقيد على أن جميع الصيغ لها خاصية ما، ما الحالات التي يجب معالجتها؟
النفي والعطف والفصل اختصارات، لا قواعد تكوين. والاستقراء الذي لا يعالج إلا هي يترك خارجه صيغًا مثل ، التي ليست أيًّا من الثلاثة. وهو خطأ شائع عند البرهان على وجود الأشكال الناظمية.المتغير ليس نفيًا مشتركًا، وبدون الحالة الأساسية لا ينطلق الاستقراء.تزيد ست حالات وتنقص الحالة الوحيدة اللازمة: فالروابط الستة اختصارات لنفيٍ مشترك.كل صيغة إما متغير وإما نفي مشترك لصيغتين، ولا شيء غير ذلك. وبهذا تبرهن الوحدة على توطئة التطابق ومبرهنة الإبدال ووجود الأشكال الناظمية، دائمًا بحالة استقرائية واحدة.السؤال 4من وحدات سابقةعند تعويض الصيغة بالصيغة في ، بحسب تعريف الدرس عن الاستقراء، أيّ ورودات تتغيّر؟
ذلك إبدال ورود واحد، وهو عملية أخرى ستدرسها الوحدة أيضًا؛ أما التعويض فيغيّرها كلها.يعمل التعويض على السلسلة، حيث تضاعف الاختصاراتُ الورودات: ففي ترد الصيغة مرتين.ما يوضع لا يُعوَّض من جديد: فالتعريف يجتاز صيغة الانطلاق، لا النتيجة.يُعرَّف التعويض بالتراجع، وبنده الأول يغيّر الصيغة كلها إن كانت ؛ والبنود الأخرى تطبّقه على المكوّنتين. وستبرهن الوحدة على أنه إذا كانت و متكافئتين، فالنتيجة مكافئة لـ، وستميّز هذه العملية من إبدال ورود واحد.السؤال 5إسناد يعطي القيمة و القيمة . إذا كانت قيمة هي بالضبط حين تكون قيمة و هي ، فما القيمة التي تأخذها الصيغة ؟
يطبّق البند على المتغيرات، لا على المكوّنات. فمكوّنتا الصيغة كلها هما و، و لا تتدخّل إلا عبر الثانية.تضمن توطئة التطابق في الدرس الأول أن القيمة لا تتوقف إلا على المتغيرات التي ترد في الصيغة، وهي هنا و.التجميع تحدّده السلسلة: فبسبب القراءة الوحيدة ليس للصيغة إلا زوج واحد من المكوّنات، وقيمتها واحدة.يُطبَّق البند من الداخل إلى الخارج: قيمة هي ، لأن قيمة هي ؛ والصيغة كلها هي النفي المشترك لـ، التي قيمتها ، ولـ، التي قيمتها ، فقيمتها إذن . وبالأعداد، .راجِع: دلالات منطق القضايا
السؤال 6ماذا يعني ؟
إنها قراءة خاطئة شائعة. فنفي أن جميع الإسنادات تحقق ليس تأكيدًا أنه لا إسناد يحققها.ذلك هو عدم قابلية التحقق، وهو أقوى بكثير: يكفي إسناد واحد يدحض ليصحّ .ذلك يُكتب ويتكلّم عن الاستنتاجات؛ أما فيتكلّم عن الإسنادات. وأن يتطابق الأمران هو ما سيبرهن عليه ما وراء النظرية.إنه نفي ، الذي يؤكّد أن كل إسناد يحقق . فالمتغير يستوفي ، ومع ذلك فهو قابل للتحقق. أما أن تكون تناقضًا فيُكتب .راجِع: دلالات منطق القضايا
السؤال 7من المعلوم أن : كل إسناد يحقق و يحقق . ماذا يلزم عن ذلك؟
حذف المقدمة يغيّر ما يُؤكَّد: ، و ليست صحيحة منطقيًا. فالمقدمة لا تختفي، بل تصير المقدَّم.يعكس الاتجاه: المقدمة المُسقَطة هي المقدَّم، والنتيجة هي التالي.يُسقط أيضًا مقدمات ، وهذا لا يجوز إلا إذا كانت خالية: ، لكن ليست صحيحة منطقيًا.إنها مبرهنة الاستنتاج الدلالية: فالإسناد الذي يحقق ويدحض يعطي لـ و لـ، فيحقق عندئذ دون أن يحقق . ويؤول برهانها إلى السطر الكاذب الوحيد في الاستلزام.السؤال 8الصيغة صحيحة منطقيًا. أيّ الصيغ الآتية صحيحة منطقيًا بموجب مبرهنة التعويض المنتظم؟
يغيّر في بعض الورودات دون بعض: فليس تعويضًا، والنتيجة ليست صحيحة منطقيًا (يدحضها الإسناد الذي يعطي لـ و لـ).يضع صيغًا مختلفة مكان متغير واحد بعينه؛ فليس ذلك تعويضًا أيضًا، والإسناد الذي يعطي لـ ولـ يدحض النتيجة.يسمح بتغيير كل متغير بصيغة أيًّا كانت، بشرط أن يجري ذلك في جميع وروداته ودائمًا بالصيغة نفسها.تنتج من تعويض بـ في جميع وروداته؛ فالتعويض المنتظم للمتغيرات بصيغ أيًّا كانت يحفظ الصحة المنطقية.السؤال 9بحسب اصطلاح الدورة، ما الصيغة التي تدلّ عليها العبارة ، المكتوبة دون أقواس؟
يجمّع من اليمين. وهي مكافئة للصيغة المدلول عليها، لكنها ليست السلسلة نفسها، والاصطلاح يثبّت سلسلة واحدة.ليسا كذلك: فبسبب القراءة الوحيدة كانت مكوّنتاهما الأوليان ستتساويان، وهما و. إنهما صيغتان مختلفتان لهما القيمة نفسها في كل إسناد.بدون اصطلاح، لن تدلّ فعلًا على شيء؛ ولذلك يثبّت الدرس الثالث اصطلاحًا، هو التجميع من اليسار.يُعرَّف عطف من الحدود بالتراجع مع التجميع من اليسار، وهكذا يختصر الاصطلاح عطف القائمة . والتجميع الآخر سلسلة مختلفة، وإن كانت مكافئة بسبب التجميعية.السؤال 10دالة صدق ذات وسيطين تنسب قيمة، أو ، إلى كل واحد من الأسطر الأربعة و و و. كم دالة صدق ذات وسيطين توجد؟
الإجابة الصحيحة:
كل واحد من الأسطر الـ يتلقّى إحدى قيمتين، باستقلال عن الأسطر الأخرى: فتوجد دالة، واحدة لكل عمود ممكن في جدول من أربعة أسطر. ستّ منها هي دوال روابط الدورة. ومن يجيب عدّ الأسطر لا الدوال؛ ومن يجيب ضرب في بدل أن يرفع إلى القوة .راجِع: التمام الوظيفي
السؤال 11هل يمكن لصيغة مكتوبة انطلاقًا من المتغيرات بـ و فقط أن تكون قيمتها في الإسناد الذي يعطي لجميع المتغيرات؟
الطول لا يهمّ: فالخاصية تُحفظ في كل خطوة من خطوات البناء، بحيث لا تفقدها أيّ صيغة مهما طالت.كون رابط واحد كافيًا لا يقول شيئًا عن روابط أخرى. فالنفي المشترك يكفي لأن النفي يُكتب به؛ أما بالعطف والفصل فلا.الصيغ لا متناهية، ولا يستنفدها أيّ عدد من الجداول؛ والجواب يُحصَّل دفعة واحدة بخاصية تحفظها جميعها.قيمة المتغيرات فيه ، والعطف والفصل لصيغتين قيمتهما قيمتهما ؛ وبمبدأ الانغلاق تنتقل الخاصية إلى جميع الصيغ المكتوبة على هذا النحو. ومن ذلك يلزم أنه لا يُكتب النفي بـ و: فالمجموعة ليست كافية.راجِع: التمام الوظيفي
السؤال 12الحرفية متغير أو نفي متغير. أيّ الصيغ الآتية حرفية؟
تكافئ ، وهي حرفية، لكنها هي نفسها ليست حرفية: إنها نفي نفي. وعند نفي شكل ناظمي، يجب اختزال النفي المزدوج للحرفية قبل المتابعة.إنها عطف حرفيتين، أي عطف أولي، لا حرفية.إنها اختصار لـ، وهي صيغة مركّبة ليست متغيرًا ولا نفي متغير.إنها نفي المتغير . والحرفيات هي قطع الأشكال الناظمية: فالعبارة فصل حرفيات، والعطف الأولي عطف حرفيات.راجِع: الأشكال الناظمية
السؤال 13هل الشكل الناظمي العطفي صحيح منطقيًا؟
في العطف، لا تنقذ عبارةٌ صحيحة منطقيًا العباراتِ الأخرى: فقيمة العطف ما إن تكون قيمة عبارة واحدة .ليست قابلية التحقق صحةً منطقية: فالإسناد الذي يعطي لجميع المتغيرات يحققه، لكن إسنادًا آخر يدحضه.في الشكل العطفي تُقرأ الصحة المنطقية بالنظر، بالبحث عن الأزواج المتتامّة عبارةً عبارةً. وهذا أحد الأسباب التي تجعل الوحدة تدرس الأشكال الناظمية.يكون الشكل العطفي صحيحًا منطقيًا إذا وفقط إذا احتوت كل عبارة من عباراته حرفيةً والحرفيةَ المقابلة لها. فالعبارة الأولى تحتويهما ( و)؛ والثانية لا، والعبارة التي لا زوج متتامًّا فيها قيمتها في الإسناد الذي يجعل جميع حرفياتها كاذبة.راجِع: الأشكال الناظمية
السؤال 14لردّ صيغة إلى الشكل الناظمي الفصلي يُوزَّع العطف على الفصل. ما القاعدة الصحيحة؟
يغيّر العطف الثاني إلى فصل، وهو خطأ شائع، والقاعدة المكتوبة هكذا ليست صحيحة: إذا كانت صادقة و و كاذبتين، فالطرف الأيسر كاذب والأيمن صادق.الطرف الأيمن يكافئ ، وهي صيغة أخرى: إذا كانت كاذبة و و صادقتين، فالأيسر كاذب والأيمن صادق.ينسى نسخ في الحدّ الثاني: إذا كانت و كاذبتين و صادقة، فالأيسر كاذب والأيمن صادق.إنها توزيعية العطف على الفصل: تُنسخ في كل حدّ، موصولةً به بالعطف نفسه. وكل تطبيق يعطي صيغة مكافئة، بموجب مبرهنة الإبدال.السؤال 15في دارة مفتاحان مباشران، للذراعين و، موصولان على التوالي، وهذه الكتلة موصولة على التوازي مع مفتاح مباشر للذراع . أيّ صيغة تقول متى توصل الدارة؟
يبادل بين الدورين: التوالي هو العطف والتوازي هو الفصل، لا العكس.يضع على التوالي مفتاح ، وهو على التوازي: حين تكون مُشغَّلة و مُطفأة توصل الدارة، وقيمة هذه الصيغة .يضع على التوازي مفتاحي و، وهما على التوالي: حين تكون وحدها مُشغَّلة لا توصل الدارة، وقيمة هذه الصيغة .الوصل على التوالي يمرّر الإشارة إذا مرّرها المفتاحان كلاهما، والوصل على التوازي يمرّرها إذا مرّرها أحد الفروع: فالتوالي يقابل العطف والتوازي يقابل الفصل.
جارٍ تحميل المحتوى…