الاستنتاج: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للاستنتاج. فهو يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية الممتدة من تعريف نظام لوكاشيفيتش (ثلاثة مخططات مسلّمات وقاعدة الوضع) إلى مبرهنة الاستنتاج وإلى حدّ هذا النظام في لغة النفي المشترك؛ ومن هناك إلى التقنيات الأساسية الأربع وإلى قاعدة إبدال النفي المزدوج، التي تكمل نظام الدورة؛ ومن التوطئة الأساسية للنفي المشترك إلى إبدال المتكافئات وإلى التناظرات، ومن هناك إلى قواعد المنطق الكلاسيكي وإلى قانونَي دي مورغان وقانونَي التوزيع، مبيّنًا في كل حلقة أيّ النتائج تستعمل وفي أيّ درس يُبرهن عليها. ويميّز ما برهنت عليه الوحدة مما قبلته، ويضع ما تحقّق في موضعه من خطة الدورة، ويشرح لماذا يقود السؤال الذي تتركه الوحدة مفتوحًا، أي هل يتطابق ما يُستنتج مع ما هو صادق، إلى وحدة الدلالة. ويكرّر في تقييم الخروج مهارات تقييم الدخول، ويختم بستّة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، تقتضي الجمع بين أدوات عدّة دروس منها.

أهداف التعلم

إعادة بناء الترتيب المنطقي لنتائج الوحدة، مع تعيين النتائج السابقة التي تستند إليها كل نتيجة والدرس الذي يُبرهن عليها فيه.
شرح كيف تتعاقب مبرهنة الاستنتاج والنفي المزدوج وقاعدة إبدال النفي المزدوج وعكس النقيض والتوطئة الأساسية وإبدال المتكافئات، ولماذا تتوقّف عليها القواعد الكلاسيكية وقانونا دي مورغان وقانونا التوزيع.
التمييز بين ما برهنت عليه الوحدة وما قبلته (مخططات المسلّمات، والقاعدتان الأوليّتان، والاستقراء القوي والبنيوي، والقراءة الوحيدة) وما تركته للوحدات التالية، ولا سيما العلاقة بين الاستنتاج والصدق.
حلّ مسائل تجمع بين العلامات، وقاعدة إبدال النفي المزدوج، ومبرهنة الاستنتاج، والبرهان بالحالات، وبرهان الخلف، وإبدال المتكافئات، وقانونَي دي مورغان وقانونَي التوزيع.

ما حقّقته الوحدة

وضعت الوحدة لنفسها غاية أن تزوّد لغة الوحدة السابقة بنظام استنتاجي، أي بطريقة نحوية خالصة للحصول على صيغ من صيغ أخرى، وأن تبرهن بهذا النظام، سطرًا سطرًا، على التقنيات التي تستدلّ بها الرياضيات. وقد تحقّقت الغاية مع تحفّظات قليلة، أُعلن كلٌّ منها في موضعه: مخططات المسلّمات الثلاثة والقاعدتان الأوليّتان، التي لا يُبرهن عليها بل تُختار، وحسنُ اختيارها سؤال تطرحه الوحدة دون أن تجيب عنه إجابة تامة؛ والاستقراء القوي والبنيوي والقراءة الوحيدة والتعريف بالتراجع، التي بُرهن عليها في الوحدة السابقة وتُستعمل هنا؛ وما لا غنى عنه من نظرية المجموعات (المجموعات الجزئية والاتحادات والمجموعات المنتهية)، الذي ذُكّر به حيث دعت الحاجة. ومع هذه التحفّظات، يمكن أن يُقرأ الطريق الذي قُطع بوصفه سلسلة استنتاجية واحدة من أربعة مقاطع.

نظام لوكاشيفيتش وحدّه

عرّف الدرس الخاص بـالأنظمة الاستنتاجية الصورية النظامَ بأنه لغة ومسلّمات وقواعد، يمكن التحقّق منها كلها بالنظر في السلاسل وحدها، وثبّت المرحلة الأولى من نظام الدورة، أي نظام لوكاشيفيتش: المخططات A1 وA2 وA3 وقاعدة الوضع قاعدةً وحيدة، تجعلها القراءة الوحيدة قابلة للتطبيق بلا التباس. وعرّف الاستنتاج من مجموعة مقدمات $\Gamma$ والعلاقة $\Gamma \vdash \varphi$ ، واستنتج $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$ في خمسة أسطر، وبرهن على الخواص البنيوية: الانعكاسية، والرتابة، وقاعدة الوضع بين الاستنتاجات، وقاعدة القطع، والطابع المنتهي. وبها وبالاستقراء القوي على عدد الأسطر برهن على مبرهنة الاستنتاج، التي تقتضي حالتها الثانية أن تكون $(\varphi \rightarrow \varphi)$ قد استُنتجت من قبل، وعلى عكسها؛ ومنهما حصل على التكافؤ الاستنتاجي، الانعكاسي والتناظري والمتعدّي. وأخيرًا، أرسى حدّ هذا النظام: علامةٌ بالقيمتين $0$ و $1$ ، معرّفة بالتراجع على الشكل الأولي $(\alpha \downarrow \beta)$ ، تعامل النفي والاستلزام كالمعتاد، وتحافظ عليها A1 وA2 وA3 وقاعدة الوضع، وتترك حرّةً قيمةَ صيغ مثل $(v_{1} \downarrow v_{2})$ . ومن ذلك يلزم أن $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ ليست مبرهنة في نظام لوكاشيفيتش، وأنه لا يُستنتج من $(v_{1} \downarrow v_{2})$ الصيغةُ $(\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ ، ولا العكس. ولمّا كانت كل علامة تعطي القيمة نفسها لـ $\theta$ ولـ $\neg\neg\theta$ ، نبّه الدرس أيضًا إلى أن النفي المزدوج نفسه، حين يُبرهن عليه، لن يرفع هذا الحدّ.

التقنيات الأربع والقاعدة الجديدة

برهن الدرس الخاص بـأربع تقنيات للاستنتاج أولًا على توطئة «من النتيجة إلى القاعدة»: إذا كان $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ ، فإن النتيجة نفسها تُحصَّل من أي مجموعة $\Gamma$ بشرط أن تستنتج كل $\alpha_{i}$ ، وفضلًا عن ذلك $\vdash (\alpha_{1} \rightarrow (\alpha_{2} \rightarrow \cdots (\alpha_{n} \rightarrow \beta) \cdots))$ . وهذه التوطئة هي التي تتيح استعمال كل تقنية في ثلاث صور (من مقدمات، ومبرهنةً، وقاعدةً)، ويستند الدرسان الخاصان بالتناظرات وبقانونَي دي مورغان، اللذان يجمعان تعاقبات من التكافؤات مع القطع، في ذلك إلى خواص التكافؤ الاستنتاجي من الدرس الأول، وهي الفكرة نفسها مطبّقة على مقدمة واحدة؛ وفي السلسلة تظهر كل نتيجة مرة واحدة، حيث يُبرهن عليها. وبهذه التوطئة استنتج الدرس القياس الشرطي من A1 وA2 في سبعة أسطر، وتبادل المقدمات بمبرهنة الاستنتاج، والنفي المزدوج (الذي يطبّق اتجاهه الأول A3 مرتين على استلزام مصنوع بـA1، ويطبّق اتجاهه الثاني الأولَ على $\neg\varphi$ ويستعمل A3)، وعكس النقيض بأشكاله الثلاثة، التي توزّع نفيَي الاستلزام بثلاث طرائق؛ وهذه الأربع صحيحة منذ نظام لوكاشيفيتش.

وبعد البرهان على النفي المزدوج، أكمل الدرس نظام الدورة بقاعدة أولية ثانية، هي إبدال النفي المزدوج: يُستدل من $\chi$ على $\chi'$ حين تنتج $\chi'$ من $\chi$ بإبدال ورود واحد لصيغة جزئية $\theta$ بـ $\neg\neg\theta$ ، أو ورود واحد لـ $\neg\neg\theta$ بـ $\theta$ . ويجب أن تُسلَّم القاعدة، لأن العلامة $m_{1}$ تعطي $1$ لمبرهنات النفي المزدوج، ومع ذلك تفصل $(v_{1} \downarrow v_{2})$ عن $(\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ ؛ فإبدال النفي المزدوج لا يحافظ على $m_{1}$ ، ولذلك يوسّع ما يُستنتج، لكنه يحافظ على العلامة الأمينة، ولذلك لا يوسّعه أكثر مما ينبغي. والقاعدة تعمل على سلسلة اللغة الأساسية، حيث يضاعف النفي وسيطه: فـ $(\varphi \rightarrow \psi)$ تحتوي مرتين على الصيغة الجزئية $\neg\varphi$ ، ووضع نفي مزدوج أمام مقدَّمها يقتضي تطبيقين. والملاحظة نفسها تسند توسيع مبرهنة الاستنتاج: إذا حُصّل سطر بالقاعدة، أعطت فرضية الاستقراء الاستلزام الذي تاليه السطر السابق، وأعطى تطبيقان للقاعدة، واحد في كل نسخة من ذلك التالي، الاستلزامَ المطلوب؛ وتصحّ الخواص البنيوية الأخرى بالبرهان نفسه. وأولى النتائج أن الصيغة تكافئ كل صيغة تنتج منها بالقاعدة، ولا سيما $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ و $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \downarrow \neg\neg\psi)$ ، وأن الاستلزامات المقابلة، التي تتخذها أنظمة أخرى مسلّمات، مبرهناتٌ هنا.

الروابط والإبدال

واجه الدرس الخاص بـتناظرات الروابط الصعوبة الخاصة بلغة الدوائر والأقراص: فمسلّمات لوكاشيفيتش لا تتكلّم إلا على النفي والاستلزام، ولا يكاد يكون نفيٌ مشترك واحد هذا أو ذاك. وتمدّ التوطئة الأساسية، $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash \neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ ، الجسر: لمّا كانت $\neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ هي $\neg\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ ، فإن قاعدة إبدال النفي المزدوج تضع النفي المزدوج الداخلي، والنفي المزدوج يضع الخارجي؛ وفي الاتجاه المعاكس يحذفهما النفي المزدوج والقاعدة. وبها امتدّ إبدال المتكافئات، الذي بُرهن عليه أولًا تحت النفي وعلى جانبي الاستلزام بعكس النقيض والقياس الشرطي، إلى وسيطي النفي المشترك كليهما، ومن هناك إلى الفصل والعطف. ولا يجعل كلٌّ من القاعدة والإبدال الآخرَ زائدًا: فالقاعدة لا تفعل إلا المبادلة بين $\theta$ و $\neg\neg\theta$ ، في حين يقبل الإبدال أي متكافئات؛ والإبدال، الذي بُرهن عليه بالتوطئة الأساسية، يستند بدوره إلى القاعدة. ثم برهن الدرس على أن الصور التي تتخذها نصوص أخرى تعريفاتٍ هي تكافؤات: $(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \rightarrow \psi)$ ، التي تقتضي تطبيقين للقاعدة، واحدًا في كل نسخة يصنعها النفي الخارجي، و $(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \downarrow \neg\psi)$ ، التي تقتضي النفي المزدوج؛ أما $(\varphi \wedge \psi)$ و $\neg(\varphi \rightarrow \neg\psi)$ فهما السلسلة نفسها. وأخيرًا، برهن على التناظرات الخمسة بالترتيب الذي تفرضه التعريفات: تناظر النفي المشترك بالتوطئة الأساسية وعكس النقيض، وكلٌّ من الباقية بالسابقة له، منقولةً بالإبدال تحت النفي عند الحاجة.

القواعد الكلاسيكية والقوانين

برهن الدرس الخاص بـتقنيات المنطق الكلاسيكي، وكلها مع مجموعة مقدمات $\Gamma$ تُحمل من سطر إلى سطر، على إدخال الفصل والعطف وحذفهما، وعلى الثالث المرفوع وعدم التناقض، والانفجار، وبرهان الخلف بصورتيه، والبرهان بالحالات، مع صيغة ونفيها ومع فصلٍ أيًّا كان. وترتيب التبعيات صارم: فالانفجار يستند إلى قاعدتي الفصل؛ وبرهان الخلف الكلاسيكي إلى الانفجار وإلى A3؛ والبرهان بالحالات إلى عكس النقيض وبرهان الخلف. ولا يلجأ أيّ من هذه البراهين إلى قاعدة إبدال النفي المزدوج مباشرة: فالقاعدة تعمل عبر الصور البديلة وإبدال المتكافئات. وجعل الدرس الخاص بـقوانين دي مورغان وقوانين التوزيع هذه القواعد تعمل معًا: فقانون دي مورغان الأول ينتج من تعريف العطف ومن النفي المزدوج؛ والثاني يقتضي الدخول إلى النفي المشترك، حيث تتدخّل قاعدة إبدال النفي المزدوج مرتين، مرة في كل وسيط وبلا حاجة إلى التناظر، ومنه يلزم أن $(\varphi \downarrow \psi)$ تكافئ $(\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ ، أي القراءة «لا $\varphi$ ولا $\psi$ » التي قرّرتها الوحدة السابقة بالاصطلاح؛ ومن الصور المتفرعة أيضًا $\neg(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \wedge \neg\psi)$ . وبُرهن على قانونَي التوزيع في اتجاهيهما بالحالات، باختيار صورة البرهان بالحالات الملائمة في كل اتجاه.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو نتيجة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات السابقة التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي يُرسى فيها، إلا ما لا تبرهن عليه هذه السلسلة (مخططات المسلّمات، التي تُقبل، وأدوات الوحدة السابقة)، فيُرسم أطواقًا. وقاعدة إبدال النفي المزدوج، وإن قُبلت هي أيضًا بلا برهان، تظهر موصولة بالحلقة التي تُدخلها، لأن هناك يُشرح لماذا يجب أن تُسلَّم. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه. ولنلاحظ أن مبرهنة الاستنتاج والنفي المزدوج هما، بعد المسلّمات، أكثر الدعامات ارتيادًا في الوحدة، وأن القاعدة الجديدة تسند كل ما تقوله الوحدة عن النفي المشترك: مبرهنة الاستنتاج الموسّعة، والتوطئة الأساسية، والصور البديلة، وقانون دي مورغان الثاني.

دعامات السلسلة

Aالقراءة الوحيدة والتراجع. إذا كان $\sigI\varphi\psi = \sigI\varphi'\psi'$ ، والسلاسل الأربع صيغ، فإن $\varphi = \varphi'$ و $\psi = \psi'$ ؛ ومن ثمّ فإن قاعدة تحسب قيمة $\sigI\varphi\psi$ انطلاقًا من $\varphi$ ومن $\psi$ ومن قيمتيهما تعرّف دالة واحدة على الصيغ. بُرهن عليها في الوحدة السابقة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bالاستقراء القوي. إذا تحقّقت خاصية لعدد طبيعي كلما تحقّقت لكل الأعداد الأصغر منه، فإنها تتحقّق لكل الأعداد الطبيعية. استُنتج من الاستقراء البسيط في الوحدة السابقة، ويُطبَّق هنا على عدد أسطر الاستنتاج. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cمسلّمات لوكاشيفيتش. المخططات A1، $(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi))$ ؛ وA2، $((\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \chi)) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \chi)))$ ؛ وA3، $((\neg\psi \rightarrow \neg\varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi))$ . تُقبل. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dإبدال النفي المزدوج. القاعدة الأولية الثانية لنظام الدورة: يُستدل من $\chi$ على $\chi'$ إذا نتجت $\chi'$ من $\chi$ بإبدال ورود واحد لصيغة جزئية $\theta$ بـ $\neg\neg\theta$ ، أو ورود واحد لـ $\neg\neg\theta$ بـ $\theta$ . تُسلَّم بعد البرهان على النفي المزدوج. تثبت في: 8. إبدال النفي المزدوج.
Eمبرهنة الاستنتاج. $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ إذا وفقط إذا $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ ؛ يُبرهن عليها في نظام لوكاشيفيتش، وتصحّ، بحالة إضافية، في نظام الدورة. تثبت في: 3. مبرهنة الاستنتاج والتكافؤ الاستنتاجي.
Fمن النتيجة إلى القاعدة. إذا كان $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ وكان $\Gamma \vdash \alpha_{i}$ لكل $i$ ، فإن $\Gamma \vdash \beta$ : كل تقنية بُرهن عليها من مقدمات تنطبق تحت أي مجموعة مقدمات. تثبت في: 5. من النتيجة إلى القاعدة.
Gالنفي المزدوج. $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$ ، مع المبرهنتين $\vdash (\neg\neg\varphi \rightarrow \varphi)$ و $\vdash (\varphi \rightarrow \neg\neg\varphi)$ . تثبت في: 7. النفي المزدوج.
Hإبدال المتكافئات. إذا كان $\varphi \dashv\vdash \varphi'$ ، أمكن وضع $\varphi'$ في موضع $\varphi$ تحت نفي، وعلى جانبي استلزام، ونفي مشترك، وفصل، وعطف، دون الإخلال بالتكافؤ. تثبت في: 12. إبدال المتكافئات.

المقطع 1 نظام لوكاشيفيتش وحدّه
- التعرّف إلى الحالات الخاصة للمخططات، والحكم على ما إذا كانت متتالية صيغ استنتاجًا من مجموعة مقدمات.
- البرهان على الخواص البنيوية للاستنتاج وعلى مبرهنة الاستنتاج بالاستقراء القوي على عدد الأسطر.
- بناء استنتاجات حول الاستنتاجات بالانعكاسية والرتابة والقطع ومبرهنة الاستنتاج وعكسها.
- البرهان على أن صيغة ما لا تُستنتج بواسطة علامة تحافظ عليها المسلّمات وقاعدة الوضع، وشرح حدّ نظام لوكاشيفيتش بها.
1. النظام والاستنتاج والهوية. مسلّمات نظام لوكاشيفيتش هي الحالات الخاصة بالتعويض المنتظم في A1 إلى A3، وقاعدته الوحيدة قاعدة الوضع. $\Gamma \vdash \varphi$ إذا وُجدت متتالية منتهية من الصيغ تنتهي بـ $\varphi$ ، كلٌّ منها مسلّمة، أو عنصر من $\Gamma$ ، أو محصَّلة بقاعدة الوضع من صيغتين سابقتين. والمبرهنة الأولى، $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$ ، تُستنتج في خمسة أسطر بـA1 وA2.
  تستند إلى: A (القراءة الوحيدة والتراجع), C (مسلّمات لوكاشيفيتش). يُبرهن في: الأنظمة الاستنتاجية الصورية.
2. الخواص البنيوية. إذا كان $\varphi \in \Gamma$ ، فإن $\Gamma \vdash \varphi$ ؛ وإذا كان $\Gamma \subseteq \Delta$ و $\Gamma \vdash \varphi$ ، فإن $\Delta \vdash \varphi$ ؛ ومن $\Gamma \vdash \varphi$ و $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ يلزم $\Gamma \vdash \psi$ ؛ وإذا كان $\Gamma \vdash \varphi_{i}$ لكل $i$ وكان $\Gamma \cup \{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{r}\} \vdash \psi$ ، فإن $\Gamma \vdash \psi$ ؛ وإذا كان $\Gamma \vdash \varphi$ ، كفت مجموعة جزئية منتهية ما من $\Gamma$ .
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية. يُبرهن في: الأنظمة الاستنتاجية الصورية.
3. مبرهنة الاستنتاج والتكافؤ الاستنتاجي. $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ إذا وفقط إذا $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ ، بالاستقراء القوي على عدد الأسطر، بـA1 وA2 والهوية. ومن ذلك أن التكافؤ الاستنتاجي، $\varphi \dashv\vdash \psi$ ، انعكاسي وتناظري ومتعدٍّ، وأن الصيغتين المتكافئتين تُستنتجان من المجموعات نفسها.
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية, 2. الخواص البنيوية. تستند إلى: B (الاستقراء القوي), C (مسلّمات لوكاشيفيتش). يُبرهن في: الأنظمة الاستنتاجية الصورية.
4. حدّ نظام لوكاشيفيتش. علامةٌ بالقيمتين $0$ و $1$ ، معرّفة بالتراجع، تحقّق $m(\neg\varphi) = 1 - m(\varphi)$ و $m((\varphi \rightarrow \psi)) = 1 - m(\varphi) \left( 1 - m(\psi) \right)$ ، وتحافظ A1 وA2 وA3 وقاعدة الوضع على العلامة $1$ ؛ ومن ثمّ فإن $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ ليست مبرهنة في نظام لوكاشيفيتش، و $\{(v_{1} \downarrow v_{2})\} \nvdash (\neg\neg v_{1} \downarrow v_{2})$ ، ولا العكس. ولمّا كانت كل علامة تعطي $1$ للنفي المزدوج، وجب أن يُسلَّم الإبدال.
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية. تستند إلى: A (القراءة الوحيدة والتراجع), B (الاستقراء القوي), C (مسلّمات لوكاشيفيتش). يُبرهن في: الأنظمة الاستنتاجية الصورية.
المقطع 2 التقنيات الأربع والقاعدة الجديدة
- تحويل نتيجة من مقدمات إلى مبرهنة وإلى قاعدة تنطبق تحت أي مجموعة مقدمات.
- تسلسل الاستلزامات، وإعادة ترتيب المقدَّمات، ووضع النفي المزدوج وحذفه، واختيار شكل عكس النقيض الملائم لكل استلزام.
- تطبيق قاعدة إبدال النفي المزدوج، بتحديد الورودات التي تخفيها الاختصارات وتكرارها في كل نسخة يصنعها نفي.
- شرح سبب تسليم القاعدة بالعلامة، والبرهان على أن مبرهنة الاستنتاج تصحّ معها.
1. من النتيجة إلى القاعدة. إذا كان $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ ، فإنه من $\Gamma \vdash \alpha_{1}$ ، $\ldots$ ، $\Gamma \vdash \alpha_{n}$ يلزم $\Gamma \vdash \beta$ ، وكذلك $\vdash (\alpha_{1} \rightarrow (\alpha_{2} \rightarrow \cdots (\alpha_{n} \rightarrow \beta) \cdots))$ ؛ وبخاصة، إذا كان $\alpha \dashv\vdash \alpha'$ ، فإن $\Gamma \vdash \alpha$ إذا وفقط إذا $\Gamma \vdash \alpha'$ .
  تستعمل: 2. الخواص البنيوية. تستند إلى: E (مبرهنة الاستنتاج). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
2. القياس الشرطي والتبادل. $\{(\varphi \rightarrow \psi), (\psi \rightarrow \chi)\} \vdash (\varphi \rightarrow \chi)$ ، باستنتاج من سبعة أسطر انطلاقًا من A1 وA2؛ و $\{(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \chi))\} \vdash (\psi \rightarrow (\varphi \rightarrow \chi))$ .
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية. تستند إلى: C (مسلّمات لوكاشيفيتش), E (مبرهنة الاستنتاج), F (من النتيجة إلى القاعدة). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
3. النفي المزدوج. $\vdash (\neg\neg\varphi \rightarrow \varphi)$ ، بتطبيق A3 مرتين على استلزام تصنعه A1 من $\neg\neg\varphi$ ؛ و $\vdash (\varphi \rightarrow \neg\neg\varphi)$ ، بتطبيق ما سبق على $\neg\varphi$ وعلى A3؛ ومن ثمّ $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$ ، منذ نظام لوكاشيفيتش.
  تستند إلى: C (مسلّمات لوكاشيفيتش), E (مبرهنة الاستنتاج). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
4. إبدال النفي المزدوج. تُسلَّم قاعدة إبدال النفي المزدوج، لأن العلامة تعطي $1$ للنفي المزدوج ولا تعطيها للإبدال داخل نفي مشترك. وإذا نتجت $\chi'$ من $\chi$ بالقاعدة، فإن $\chi \dashv\vdash \chi'$ ؛ وبخاصة $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ و $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \downarrow \neg\neg\psi)$ .
  تستعمل: 3. مبرهنة الاستنتاج والتكافؤ الاستنتاجي, 4. حدّ نظام لوكاشيفيتش. تستند إلى: G (النفي المزدوج). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
5. مبرهنة الاستنتاج في نظام الدورة. تصحّ الانعكاسية والرتابة والقطع والطابع المنتهي مع القاعدة الجديدة، ويصحّ أيضًا $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ إذا وفقط إذا $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ : ففي الحالة الجديدة، لمّا كانت $(\varphi \rightarrow \chi)$ هي $((\neg\varphi \downarrow \chi) \downarrow (\neg\varphi \downarrow \chi))$ ، تُطبَّق القاعدة مرتين، مرة في كل نسخة من $\chi$ . ومن ذلك أن $\vdash ((\varphi \downarrow \psi) \rightarrow (\neg\neg\varphi \downarrow \psi))$ وعكسها مبرهنتان.
  تستعمل: 2. الخواص البنيوية, 3. مبرهنة الاستنتاج والتكافؤ الاستنتاجي. تستند إلى: B (الاستقراء القوي), D (إبدال النفي المزدوج). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
6. عكس النقيض. $(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ ، و $(\neg\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\psi \rightarrow \varphi)$ ، و $(\varphi \rightarrow \neg\psi) \dashv\vdash (\psi \rightarrow \neg\varphi)$ : يتبادل الطرفان الموضع، ويغيّر كل منهما إشارته عند الانتقال.
  تستعمل: 6. القياس الشرطي والتبادل. تستند إلى: C (مسلّمات لوكاشيفيتش), E (مبرهنة الاستنتاج), G (النفي المزدوج), F (من النتيجة إلى القاعدة). يُبرهن في: أربع تقنيات للاستنتاج.
المقطع 3 الروابط والإبدال
- بسط الاختصارات للحكم على ما إذا كانت عبارتان تدلّان على السلسلة نفسها أو على صيغ يقتضي تكافؤها استنتاجًا.
- ترجمة النفي المشترك إلى النفي والاستلزام بالتوطئة الأساسية.
- نقل تكافؤ إلى داخل صيغة بإبدال المتكافئات، وتمييزه من قاعدة إبدال النفي المزدوج، وتسلسل التكافؤات.
- البرهان على التناظرات الخمسة بالترتيب الذي تفرضه التعريفات.
1. التوطئة الأساسية. $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash \neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ : لمّا كانت $\neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ هي $\neg\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$ ، فإن قاعدة إبدال النفي المزدوج تضع النفي المزدوج الداخلي، والنفي المزدوج يضع الخارجي؛ وفي الاتجاه المعاكس يحذفهما النفي المزدوج والقاعدة.
  تستند إلى: D (إبدال النفي المزدوج), G (النفي المزدوج). يُبرهن في: تناظرات الروابط.
2. إبدال المتكافئات. إذا كان $\varphi \dashv\vdash \varphi'$ ، فإن $\neg\varphi \dashv\vdash \neg\varphi'$ ، و $(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi' \rightarrow \psi)$ ، و $(\psi \rightarrow \varphi) \dashv\vdash (\psi \rightarrow \varphi')$ ؛ وبالتوطئة الأساسية، يصحّ الأمر نفسه على جانبي النفي المشترك، ومن هناك على جانبي الفصل والعطف. وخلافًا لقاعدة إبدال النفي المزدوج، يقبل أي متكافئات.
  تستعمل: 6. القياس الشرطي والتبادل, 10. عكس النقيض, 11. التوطئة الأساسية. تستند إلى: E (مبرهنة الاستنتاج). يُبرهن في: تناظرات الروابط.
3. الصور البديلة. $(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \rightarrow \psi)$ ، بتطبيقين لقاعدة إبدال النفي المزدوج، واحد في كل نسخة يصنعها النفي الخارجي؛ و $(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \downarrow \neg\psi)$ ، بالنفي المزدوج؛ و $(\varphi \wedge \psi)$ هي السلسلة نفسها التي هي $\neg(\varphi \rightarrow \neg\psi)$ .
  تستند إلى: D (إبدال النفي المزدوج), G (النفي المزدوج). يُبرهن في: تناظرات الروابط.
4. التناظرات الخمسة. $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\psi \downarrow \varphi)$ ، بالتوطئة الأساسية وعكس النقيض؛ ومنه، على التوالي، تناظرات $\vee$ و $\wedge$ و $\leftrightarrow$ و $\veebar$ ، كلٌّ بالسابق له، منقولًا بالإبدال تحت النفي عند الحاجة.
  تستعمل: 11. التوطئة الأساسية, 10. عكس النقيض. تستند إلى: H (إبدال المتكافئات). يُبرهن في: تناظرات الروابط.
المقطع 4 القواعد الكلاسيكية والقوانين
- البرهان مع مقدمات على إدخال الفصل والعطف وحذفهما، وعلى الثالث المرفوع وعدم التناقض.
- البرهان على الانفجار وبرهان الخلف والبرهان بالحالات مع مقدمات، وشرح سبب عدم كفايتها دونها.
- البرهان بالاستنتاج على قانونَي دي مورغان وصورهما المتفرعة وعلى قانونَي التوزيع في اتجاهيهما.
- تحويل الصيغ إلى أشكال ناظمية بسيطة بتعاقبات مبرَّرة من التكافؤات.
1. قواعد الروابط. مع أي $\Gamma$ : من $\varphi$ يلزم $(\varphi \vee \psi)$ ؛ ومن $(\varphi \vee \psi)$ و $\neg\varphi$ ، $\psi$ ؛ ومن $\varphi$ و $\psi$ ، $(\varphi \wedge \psi)$ ؛ ومن $(\varphi \wedge \psi)$ ، $\varphi$ و $\psi$ ؛ وفضلًا عن ذلك $\vdash (\varphi \vee \neg\varphi)$ و $\vdash \neg(\varphi \wedge \neg\varphi)$ .
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية, 2. الخواص البنيوية, 6. القياس الشرطي والتبادل, 10. عكس النقيض, 13. الصور البديلة, 14. التناظرات الخمسة. تستند إلى: C (مسلّمات لوكاشيفيتش), E (مبرهنة الاستنتاج), F (من النتيجة إلى القاعدة), G (النفي المزدوج). يُبرهن في: تقنيات المنطق الكلاسيكي.
2. الانفجار وبرهان الخلف. إذا كان $\Gamma \vdash \varphi$ و $\Gamma \vdash \neg\varphi$ ، فإن $\Gamma \vdash \psi$ لكل $\psi$ ؛ وإذا استُنتجت من $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ الصيغتان $\psi$ و $\neg\psi$ ، فإن $\Gamma \vdash \varphi$ ؛ وإذا استُنتجتا من $\Gamma \cup \{\varphi\}$ ، فإن $\Gamma \vdash \neg\varphi$ .
  تستعمل: 1. النظام والاستنتاج والهوية, 2. الخواص البنيوية, 15. قواعد الروابط. تستند إلى: C (مسلّمات لوكاشيفيتش), E (مبرهنة الاستنتاج), G (النفي المزدوج). يُبرهن في: تقنيات المنطق الكلاسيكي.
3. البرهان بالحالات. إذا كان $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$ و $\Gamma \cup \{\neg\varphi\} \vdash \psi$ ، فإن $\Gamma \vdash \psi$ ؛ وإذا كان $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \chi$ ، و $\Gamma \cup \{\psi\} \vdash \chi$ ، و $\Gamma \vdash (\varphi \vee \psi)$ ، فإن $\Gamma \vdash \chi$ .
  تستعمل: 2. الخواص البنيوية, 10. عكس النقيض, 15. قواعد الروابط, 16. الانفجار وبرهان الخلف. تستند إلى: E (مبرهنة الاستنتاج). يُبرهن في: تقنيات المنطق الكلاسيكي.
4. قانونا دي مورغان. $\neg(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \vee \neg\psi)$ ، بالتعريف والنفي المزدوج؛ و $\neg(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ ، بتطبيق واحد لقاعدة إبدال النفي المزدوج في كل وسيط من وسيطي النفي المشترك؛ ومن ثمّ $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \wedge \neg\psi)$ و $\neg(\varphi \rightarrow \psi) \dashv\vdash (\varphi \wedge \neg\psi)$ .
  تستند إلى: D (إبدال النفي المزدوج), G (النفي المزدوج), H (إبدال المتكافئات). يُبرهن في: قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع.
5. قانونا التوزيع. $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \dashv\vdash ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \wedge \chi))$ و $(\varphi \vee (\psi \wedge \chi)) \dashv\vdash ((\varphi \vee \psi) \wedge (\varphi \vee \chi))$ ، كلٌّ منهما في اتجاهيه بالحالات؛ ومع التناظرات، من اليمين أيضًا.
  تستعمل: 14. التناظرات الخمسة, 15. قواعد الروابط, 17. البرهان بالحالات. تستند إلى: H (إبدال المتكافئات). يُبرهن في: قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع.

نحو الدلالة. تتوقّف السلسلة حيث يبلغ الاستنتاج كل التقنيات التي تستدلّ بها الرياضيات. ويبقى أن نعرف هل ما يُستنتج هو بالضبط ما هو صادق في كل إسناد: ستعرّف الوحدة التالية الصدق، وستقارن الأخيرة بين المفهومين.

اختصارات التبريرات

تبرّر استنتاجات الوحدة كل سطر باختصار، هو نفسه في كل الدروس. وتُجمع هنا مرتّبة بحسب الدرس الذي يُدخلها. و«مقدمة» تدلّ على فرضية من فرضيات نص المسألة، وفي الاستنتاجات حول الاستنتاجات، على فرضية من فرضيات القاعدة التي يُبرهن عليها. والأعداد بين قوسين تشير إلى الأسطر التي تُطبَّق عليها القاعدة؛ ويُشار إلى تكافؤ سبق البرهان عليه بلا رقم حين يُكتب سطرًا، وبرقم السطر الذي يحوّله حين يُطبَّق على ذلك السطر، وكذلك حين يُطبَّق على جزء منه مع «إبدال».

الدرس الأول: A1 وA2 وA3 (مخططات المسلّمات)؛ وضع $(i, j)$ (قاعدة الوضع، modus ponens)؛ تعريف (فكّ اختصار أو طيّه، مع الرابط الذي يُفكّ: «تعريف $\vee$ »، «تعريف $\dashv\vdash$ »)؛ هوية (مبرهنة الهوية، $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$ )؛ انعكاس (الانعكاسية: إذا كان $\varphi \in \Gamma$ ، فإن $\Gamma \vdash \varphi$ )؛ رتابة؛ قطع (قاعدة القطع: ما استُنتج يمكن أن يُستعمل مقدمةً)؛ تناهي (الطابع المنتهي)؛ استنتاج (مبرهنة الاستنتاج)؛ عكس الاستنتاج (عكسها).
الدرس الثاني: قياس شرطي؛ تبادل (تبادل المقدمات)؛ نفي مزدوج؛ إبدال النفي المزدوج $(i)$ (إبدال النفي المزدوج في السطر $i$ ؛ وبلا رقم يشير إلى التكافؤ بين صيغة والصيغة التي تنتج منها بالقاعدة)؛ عكس النقيض (بأيّ من أشكاله الثلاثة)؛ «محلولة $n$ » (نتيجة من المسألة المحلولة $n$ من الدرس نفسه، مكتوبة سطرًا).
الدرس الثالث: توطئة أساسية ( $(\varphi \downarrow \psi) \dashv\vdash \neg(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ )؛ إبدال (إبدال المتكافئات، بأيّ من صوره، متبوعًا بالتكافؤ الذي يُطبَّق: «إبدال، دي مورغان $(i)$ »)؛ بديلة (الصور البديلة للفصل والعطف، $(\varphi \vee \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \rightarrow \psi)$ و $(\varphi \wedge \psi) \dashv\vdash (\neg\varphi \downarrow \neg\psi)$ )؛ تناظر (تناظر رابط).
الدرس الرابع: إدخال $\vee$ وحذف $\vee$ (إدخال الفصل وحذفه)؛ إدخال $\wedge$ وحذف $\wedge$ (إدخال العطف وحذفه)؛ ثالث مرفوع (قانون الثالث المرفوع)؛ عدم التناقض (قانون عدم التناقض، والاختصار يسمّي المبرهنة لكنه لا يبرّر أي سطر في الوحدة)؛ انفجار (مبدأ الانفجار)؛ حالات $(i, j)$ وحالات $(i, j, k)$ (البرهان بالحالات، مع صيغة ونفيها أو مع فصل)؛ «حالات دون مقدمات» (البرهان بالحالات دون مجموعة $\Gamma$ ، ولا يظهر إلا في مسألة واحدة)؛ خلف (برهان الخلف، بصورتيه).
الدرس الخامس: دي مورغان (قانونا دي مورغان)؛ توزيع (التوزيعية)؛ تجميع (تجميعية الفصل)؛ تعويض $(i)$ (السطر $i$ ، الذي يصحّ لأي صيغ، مكتوبًا من جديد بصيغ أخرى في موضع متغيراته الواصفة؛ ويُذكر التعويض).
تحدّيات هذا الدرس: M3 (المخطط الذي يضعه التحدي الثالث في موضع A3).