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Topos Uranos
中文 (中国)

逆矩阵

摘要

本课研究逆矩阵：它对方阵所起的作用，正如倒数对非零数所起的作用。本课证明逆矩阵若存在则唯一；矩阵可逆当且仅当它的行列式不为零，并且此时逆矩阵就是由代数余子式构成的伴随矩阵除以行列式；由此得到二阶逆矩阵的公式。本课证明乘积、转置矩阵与幂的逆矩阵的性质，把每一种初等行变换转化为左乘一个初等矩阵，并由此推出高斯-若尔当消元法：把矩阵 (A,I)\left( A, I \right) 变为 (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right)，从而求出逆矩阵。最后，本课求解矩阵方程，并把与可逆性等价的条件汇集成一个定理，这些条件把逆矩阵与行列式、秩以及线性方程组联系起来；由它们推出只需验证定义中两个乘积之一，并用初等矩阵证明乘积的行列式等于行列式的乘积。

学习目标

  1. 定义逆矩阵，证明其唯一性，并借助行列式判断矩阵是否可逆。
  2. 借助伴随矩阵（特别是二阶公式）以及高斯-若尔当消元法求逆矩阵，并说明两种方法的依据。
  3. 运用乘积、转置矩阵与幂的逆矩阵的性质，并在尊重因子次序的前提下求解矩阵方程。
  4. 把矩阵的可逆性与秩、初等矩阵以及线性方程组解的存在性和唯一性联系起来，并用初等矩阵证明乘积的行列式等于行列式的乘积。

逆矩阵

在课程 代数与几何 I 中关于数集的课里，我们看到每个非零数 aa 都有倒数 a−1a^{-1}，它使方程 ax=bax = b 可以通过两边同乘 a−1a^{-1} 来求解。在关于矩阵及其运算的课里，线性方程组被写成一个方程 AX=BAX = B，而单位矩阵 II 正是乘法的单位元。若是如此，自然要问：是否存在一个矩阵，对 AA 起倒数的作用，使方程组只需一次乘法就能解出。然而，矩阵乘法不满足交换律，所以定义必须要求两个等式都成立；又为了使 ABAB 与 BABA 和 II 的型相同，矩阵 AA 必须是方阵。

设方阵 AA 的阶为 nn。如果存在矩阵 BB（阶为 nn），使得 AB=BA=IAB = BA = I，其中 II 是阶为 nn 的单位矩阵，就称该方阵是可逆的。具有这一性质的矩阵 BB 称为 AA 的逆矩阵。

例如，下面两个矩阵互为逆矩阵，按两种次序相乘即可验证：

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

并非每个非零矩阵都可逆，矩阵在这一点上与数不同。有一个零行的矩阵不可逆，因为该行与任何列的乘积都是 00，所以 ABAB 对任意 BB 都有一个零行，不可能是单位矩阵。一个矩阵 AA，若存在非零的 CC 使 AC=0AC = 0（即关于矩阵的那一课中的零因子之一），也不可逆：若 AA 有逆矩阵 BB，就会有 C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0；CC 也不可逆，因为若它有逆矩阵 BB，就会有 A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0。例如，行为 1,11, 1 和 1,11, 1 的矩阵乘以行为 1,−11, -1 和 −1,1-1, 1 的矩阵，得到零矩阵，而两者都不可逆。

引理逆矩阵的唯一性

方阵至多有一个逆矩阵：若 AB=BA=IAB = BA = I 且 AD=DA=IAD = DA = I，则 B=DB = D。

证明与课程 I 中关于数集的课里相反数和倒数唯一性的证明相同，只是不能使用交换律；取而代之的是两侧各用一个等式，再加上矩阵乘法的结合律和单位矩阵作为单位元的性质，这些都已在关于矩阵的课里证明。图把每个乘积写成一列因子，并标出被结合在一起的两个因子。

证明

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    我们从两个前提出发：BB 与 DD 各自满足定义中的两个等式。

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    由于 II 是乘法的单位元，B=BIB = BI；把 II 换成 ADAD，这是 DD 的右侧等式。

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    由结合律换一种方式结合，并使用 BB 的左侧等式 BA=IBA = I。被结合的两个因子变了，但三个矩阵的次序没有变。

AA 的唯一逆矩阵（若存在）记作 A−1A^{-1}。不应把它写成分式 1A\frac{1}{A}，也不应把乘积 BA−1BA^{-1} 写成商 BA\frac{B}{A}：由于 BA−1BA^{-1} 与 A−1BA^{-1}B 一般不同，这种写法不能表明从哪一侧相乘。1858 年创立矩阵运算的阿瑟·凯莱，已经借助「行列式与可逆性」一节中的伴随矩阵来定义逆矩阵。