摘要 本课开启解析三角学这一单元，并以一次入门测评衡量学习的起点。本单元把三角函数（在第一单元中作为一个角的函数加以研究）转化为一种有自身规则的代数演算：对一切角都成立的恒等式，用两个加数的三角比表示其和的三角比的公式，和差化积的变换，方程与不等式，以及用这些工具度量直线之间的角、识别轴为斜的圆锥曲线。本课按逻辑顺序介绍本单元的六节课，追溯这些思想从希腊天文学的弦表到欧拉的解析表述的历史，陈述催生它们的问题，即由少数已知的弦计算任意一条弧所对的弦，并用本单元将要证明的工具在一个例子中解决它。最后指出这些思想在本课程的其余部分、本站的其他课程以及科学与技术中再次出现的地方。
学习目标 描述本单元每一节课的内容，并说明每一节课如何依托于它前面的各课。 把弦表、从弦到正弦的过渡以及三角函数的解析表述置于其历史背景之中。 提出由其他已知的弦计算一条弦的问题，并在其解答中认出两角差的公式和半角公式。 指出解析三角学在微积分、力学、程序设计和线性代数中的应用。 入门测评 在学习本单元之前，先测一测自己的起点是有益的。这份自测不计分数：它的作用是让人知道该在哪里停下来细看。前九道题涉及本单元的六节课：恒等式、两角和公式和方程这三节课支撑着其余各课，各出两道，其余三节课各出一道；第十道是一道建模题，要求用二倍角公式为一个实际情境建立数学表述。同样的技能会在最后的总结课中用另外的数据再次测量。最后三道题检查本单元默认已从第一单元和课程 I 掌握的内容：单位圆上的值、反函数以及数量积。
开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。
第 1 题 下列等式中，哪一个在其公共定义域上是恒等式？
1 − cos 2 x = sin x \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin x 1 − cos 2 x = sin x sin 2 x \sin^2 x sin 2 x 的平方根是
∣ sin x ∣ \abs{\sin x} ∣ sin x ∣ ，而不是
sin x \sin x sin x ：在
x = 3 π 2 x = \frac{3\pi}{2} x = 2 3 π 处，左边等于
1 1 1 ，右边等于
− 1 -1 − 1 。一个反例就足以否定一个恒等式。
sin x + cos x = 1 \sin x + \cos x = 1 sin x + cos x = 1 它在
0 0 0 和
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 处成立，但在
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 处不成立，那里左边等于
2 \sqrt{2} 2 。有限多次有利的检验都不能证明一个恒等式。
tan x sin x = cos x \frac{\tan x}{\sin x} = \cos x s i n x t a n x = cos x 商被颠倒了：
tan x sin x = sin x cos x ⋅ 1 sin x = 1 cos x = sec x \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x s i n x t a n x = c o s x s i n x ⋅ s i n x 1 = c o s x 1 = sec x ，它在
x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π 处等于
2 2 2 而不是
1 2 \frac{1}{2} 2 1 。
通分得
sec x − cos x = 1 − cos 2 x cos x = sin 2 x cos x = sin x tan x \sec x - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \tan x sec x − cos x = c o s x 1 − c o s 2 x = c o s x s i n 2 x = sin x tan x ，它在使
cos x ≠ 0 \cos x \neq 0 cos x = 0 成立的每一点都成立，这正是两边的公共定义域。
复习： 基本三角恒等式
第 2 题 已知 tan θ = − 3 4 \tan \theta = -\frac{3}{4} tan θ = − 4 3 θ \theta θ cos θ \cos \theta cos θ
正确答案： − 4 5 -\frac{4}{5} − 5 4
由平方关系，
sec 2 θ = 1 + tan 2 θ = 25 16 \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = \frac{25}{16} sec 2 θ = 1 + tan 2 θ = 16 25 ，所以
cos 2 θ = 16 25 \cos^2 \theta = \frac{16}{25} cos 2 θ = 25 16 ；在第二象限余弦为负，故
cos θ = − 4 5 \cos \theta = -\frac{4}{5} cos θ = − 5 4 。得到
4 5 \frac{4}{5} 5 4 的人忘了由象限决定的符号，得到
− 3 5 -\frac{3}{5} − 5 3 的人算出的是正弦
3 5 \frac{3}{5} 5 3 ，又给了它余弦的符号。
复习： 基本三角恒等式
第 3 题 求 tan 7 π 12 \tan \frac{7\pi}{12} tan 12 7 π 7 π 12 = π 3 + π 4 \frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} 12 7 π = 3 π + 4 π
2 + 3 2 + \sqrt{3} 2 + 3 分母的符号反了：用的是
tan π 3 tan π 4 − 1 \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4} - 1 tan 3 π tan 4 π − 1 而不是
1 − tan π 3 tan π 4 1 - \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4} 1 − tan 3 π tan 4 π 。这个角在第二象限，其正切为负。
由两角和的正切公式，
tan 7 π 12 = 3 + 1 1 − 3 \tan \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} tan 12 7 π = 1 − 3 3 + 1 ，分母有理化后得
− ( 2 + 3 ) -\left( 2 + \sqrt{3} \right) − ( 2 + 3 ) 。它是负的，这与第二象限的角相符。
复习： 两角和与差、二倍角与半角公式
第 4 题 已知 sin θ = 3 5 \sin \theta = \frac{3}{5} sin θ = 5 3 π 2 < θ < π \frac{\pi}{2} < \theta < \pi 2 π < θ < π sin 2 θ \sin 2\theta sin 2 θ
正确答案： − 24 25 -\frac{24}{25} − 25 24
在第二象限余弦为负，由平方关系得
cos θ = − 4 5 \cos \theta = -\frac{4}{5} cos θ = − 5 4 ；由二倍角公式，
sin 2 θ = 2 ⋅ 3 5 ⋅ ( − 4 5 ) = − 24 25 \sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{24}{25} sin 2 θ = 2 ⋅ 5 3 ⋅ ( − 5 4 ) = − 25 24 。得到
24 25 \frac{24}{25} 25 24 的人取了正的余弦，得到
6 5 \frac{6}{5} 5 6 的人把正弦加倍了，这是不可能的，因为它超过了
1 1 1 。
复习： 两角和与差、二倍角与半角公式
第 5 题 求 f ( x ) = 3 sin x − 4 cos x + 1 f(x) = 3 \sin x - 4 \cos x + 1 f ( x ) = 3 sin x − 4 cos x + 1
正确答案： 6 6 6
由辅助角形式，
3 sin x − 4 cos x = 5 sin ( x + φ ) 3 \sin x - 4 \cos x = 5 \sin(x + \varphi) 3 sin x − 4 cos x = 5 sin ( x + φ ) ，其中
R = 9 + 16 = 5 R = \sqrt{9 + 16} = 5 R = 9 + 16 = 5 ；它的值域是
[ − 5 , 5 ] \icc{-5}{5} [ − 5 , 5 ] ，所以
f f f 的最大值是
5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 。得到
8 8 8 的人把两项的最大值相加了，而它们并不在同一点取得；得到
5 5 5 的人忘了常数。
复习： 和差化积与辅助角公式
第 6 题 方程 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 [ 0 , 2 π ) \ico{0}{2\pi} [ 0 , 2 π )
正确答案： 3 3 3
该三项式可分解为
( 2 cos x + 1 ) ( cos x − 1 ) \left( 2 \cos x + 1 \right) \left( \cos x - 1 \right) ( 2 cos x + 1 ) ( cos x − 1 ) 。方程
cos x = − 1 2 \cos x = -\frac{1}{2} cos x = − 2 1 在一周内有两个解，即
2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π 和
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π ；而
cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1 只有一个解
0 0 0 ，因为
∣ c ∣ = 1 \abs{c} = 1 ∣ c ∣ = 1 。得到
4 4 4 的人把
cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1 的解数了两次。
复习： 三角方程与三角函数不等式
第 7 题 用两边平方的方法解 cos x − sin x = 1 \cos x - \sin x = 1 cos x − sin x = 1 x = k π 2 x = \frac{k\pi}{2} x = 2 k π [ 0 , 2 π ) \ico{0}{2\pi} [ 0 , 2 π )
0 0 0 π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 这是
sin x + cos x = 1 \sin x + \cos x = 1 sin x + cos x = 1 的解。在
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 处，原方程的左边
cos x − sin x \cos x - \sin x cos x − sin x 等于
0 − 1 = − 1 0 - 1 = -1 0 − 1 = − 1 。
两边平方会添入
cos x − sin x = − 1 \cos x - \sin x = -1 cos x − sin x = − 1 的解，因此每个候选解都必须代入原方程检验：在
0 0 0 和
3 π 2 \frac{3\pi}{2} 2 3 π 处左边等于
1 1 1 ，在
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 和
π \pi π 处左边等于
− 1 -1 − 1 。
复习： 三角方程与三角函数不等式
第 8 题 直线 y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 y = − 3 x + 4 y = -3x + 4 y = − 3 x + 4
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 斜率异号并不足以保证垂直：需要
1 + m 1 m 2 = 0 1 + m_1 m_2 = 0 1 + m 1 m 2 = 0 ，而这里
1 + m 1 m 2 = − 5 1 + m_1 m_2 = -5 1 + m 1 m 2 = − 5 。
由两直线夹角定理，
tan θ = ∣ − 3 − 2 1 + 2 ⋅ ( − 3 ) ∣ = ∣ − 5 − 5 ∣ = 1 \tan \theta = \abs{\frac{-3 - 2}{1 + 2 \cdot (-3)}} = \abs{\frac{-5}{-5}} = 1 tan θ = 1 + 2 ⋅ ( − 3 ) − 3 − 2 = − 5 − 5 = 1 ，而两直线的夹角属于
( 0 , π 2 ] \ioc{0}{\frac{\pi}{2}} ( 0 , 2 π ] 。
复习： 两直线的夹角与三角学的应用
第 9 题 方程 x 2 + 4 x y + y 2 − 3 = 0 x^2 + 4xy + y^2 - 3 = 0 x 2 + 4 x y + y 2 − 3 = 0
双曲线。
椭圆。 x 2 x^2 x 2 与
y 2 y^2 y 2 的系数都是正的，但
x y xy x y 项改变了圆锥曲线的类型：起决定作用的是
B 2 − 4 A C B^2 - 4AC B 2 − 4 A C 的符号，而这里它是正的。
圆。 仅有
A = C A = C A = C 是不够的：圆还要求
B = 0 B = 0 B = 0 。这里
B = 4 B = 4 B = 4 。
判别式为
B 2 − 4 A C = 16 − 4 = 12 > 0 B^2 - 4AC = 16 - 4 = 12 > 0 B 2 − 4 A C = 16 − 4 = 12 > 0 ，方程属于双曲型；旋转
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 后化为
3 X 2 − Y 2 = 3 3X^2 - Y^2 = 3 3 X 2 − Y 2 = 3 ，它是双曲线，而不是两条直线。
复习： 坐标轴的旋转与一般二次方程
第 10 题 从一根横截面为圆、直径为 20 20 20 θ \theta θ
正确答案： 200 200 200
内接于圆的矩形的对角线是直径，所以两边长为
20 cos θ 20 \cos \theta 20 cos θ 和
20 sin θ 20 \sin \theta 20 sin θ ，由二倍角公式，面积为
400 sin θ cos θ = 200 sin 2 θ 400 \sin \theta \cos \theta = 200 \sin 2\theta 400 sin θ cos θ = 200 sin 2 θ 。由于
sin 2 θ ≤ 1 \sin 2\theta \leq 1 sin 2 θ ≤ 1 ，且当
θ = π 4 \theta = \frac{\pi}{4} θ = 4 π 时取等号，最大值为
200 200 200 ，即正方形截面的面积。得到
400 400 400 的人忘了因子
1 2 \frac{1}{2} 2 1 （出自
sin θ cos θ = 1 2 sin 2 θ \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta sin θ cos θ = 2 1 sin 2 θ ），得到
50 50 50 的人把半径当成了对角线。
复习： 两角和与差、二倍角与半角公式
第 11 题 来自前面的单元 单位圆上的点 P ( − 7 π 6 ) P\left( -\frac{7\pi}{6} \right) P ( − 6 7 π )
角
− 7 π 6 -\frac{7\pi}{6} − 6 7 π 与
− 7 π 6 + 2 π = 5 π 6 -\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} − 6 7 π + 2 π = 6 5 π 终边相同，后者是第二象限的角，其余弦为
− 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} − 2 3 ，正弦为
1 2 \frac{1}{2} 2 1 。
复习： 三角比与单位圆
第 12 题 来自前面的单元 计算 arccos ( cos 4 π 3 ) \arccos\left( \cos \frac{4\pi}{3} \right) arccos ( cos 3 4 π )
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π 在
[ 0 , π ] \icc{0}{\pi} [ 0 , π ] 之外，反余弦并不能抵消余弦：它的值总在这个区间内，而
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π 不在其中。
π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 这是参考角，它的余弦是
1 2 \frac{1}{2} 2 1 而不是
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 。
4 π 3 \frac{4\pi}{3} 3 4 π 的余弦是
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 ，而反余弦给出
[ 0 , π ] \icc{0}{\pi} [ 0 , π ] 中唯一具有这个余弦的角，即
2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π 。
复习： 反三角函数
第 13 题 来自前面的单元 求向量 ( 3 , 4 ) \left( 3, 4 \right) ( 3 , 4 ) ( 4 , 3 ) \left( 4, 3 \right) ( 4 , 3 )
正确答案： 24 25 \frac{24}{25} 25 24
数量积为
3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 ，每个向量的模都是
5 5 5 ；余弦为
24 5 ⋅ 5 = 24 25 \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} 5 ⋅ 5 24 = 25 24 。得到
24 24 24 的人忘了除以两个模，得到
24 5 \frac{24}{5} 5 24 的人只除以了其中一个。
复习： 平面向量与直线的参数方程
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