矩阵与代数结构：总结与挑战

摘要

本课结束关于矩阵与代数结构的单元。它把本单元七课的收获汇成一条演绎链：由线性替换的复合产生的矩阵乘法；用高斯-若尔当消元法对线性方程组的完整求解以及鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理；作为有向面积和唯一性判据的行列式；逆矩阵以及与可逆性等价的条件；把矩阵读作平面的变换；复数在矩阵中的副本；以及群、代数意义上的环、域和同构这些概念，它们为所有这些计算的共同之处命名。本课说明本单元如何汲取前面各单元和代数与几何 I课程的结果，哪些内容未加证明而承认，以及它如何为下一单元（关于空间解析几何）和微积分 I 课程作准备。最后给出十道比各课题目更难的挑战题，每道都综合了其中几课的内容。

学习目标

重建本单元的定义与定理之链，从矩阵乘法直到同构，并说明哪个结果依据哪个结果。
把本单元的结果与前面各单元及课程 I 的结果联系起来，特别是线性方程组、向量、坐标轴的旋转、极坐标形式和余数的算术，区分已证明的与承认的内容，并预见它们在空间几何中的用途。
解决综合行列式、逆矩阵、变换、复数的矩阵和代数结构的问题，在每种情形下选择合适的工具。
借助保持运算的对应，把一个问题从一个结构转移到另一个结构，并用同构的不变量判断两个群是否是同一个群。

本单元的收获

矩阵代数与线性方程组

出发点是关于线性替换的一个观察。在关于矩阵及其运算的课中，复合替换的表是把两个替换的表按行乘列相乘得到的，这条规则被取作乘法的定义。由它推出了结合律（借助交换两个求和的次序）、分配律以及单位矩阵的中性作用；而在相反的方向上，看到乘法不可交换，有零因子，并且存在某个幂为零的非零矩阵。转置使因子的次序颠倒， $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ ，而迹不区分次序， $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ，由此方程 $AB - BA = I$ 在任何阶下都无解。

有了乘法，每个线性方程组都写成了单独一个方程 $AX = B$ 。关于线性方程组与高斯-若尔当消元法的课证明了初等行变换保持解不变，并且每个矩阵都可化为行最简形；它用对列数的归纳法证明了这个形式是唯一的，由此秩不依赖于消元的途径；它还证明了鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理：方程组相容当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ ，此时其解依赖于 $n - r$ 个自由参数。由此推出，线性方程组绝不会恰有两个解，而方程个数少于未知量个数的齐次线性方程组有非零解。

行列式与逆矩阵

然而，对于方阵的方程组，我们希望不必走完整个消元过程就能判定唯一性。关于行列式与克拉默法则的课把二阶行列式解释为有向面积，用递归在任意阶上定义它，用对阶的归纳法证明了它的六条性质，并用这些性质通过化简来计算它。如果是这样，那么每个初等变换都把行列式乘以一个非零数，由此推出 $\det A \neq 0$ 当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = n$ 。乘积定理 $\det(AB) = \det A \det B$ 在那里只对二阶用直接计算加以证明，而克拉默法则在任意阶上用一列的代数余子式证明，把每个未知量表示为两个行列式之商。

关于逆矩阵的课结束了这一部分。它证明了逆矩阵是唯一的，它存在当且仅当行列式不为零，并且它等于伴随矩阵除以行列式；乘积的逆使因子的次序颠倒；每个初等变换就是乘以一个初等矩阵，因此高斯-若尔当消元法不必计算行列式就能把 $\left( A, I \right)$ 变成 $\left( I, A^{-1} \right)$ 。所有这些汇集成一个等价定理，它把前面四课联结起来；由它推出只需检验定义中两个乘积之一，并用初等矩阵在任意阶上证明了行列式的乘积定理：

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

矩阵的几何

关于作为平面变换的矩阵的课赋予这种计算以几何意义。由列的定理，二阶矩阵恰好就是平面的线性变换，每个线性变换都由两个基本向量的像所确定；依据这一原理，得到了旋转、投影、反射、位似和剪切的矩阵。变换的复合原来就是其矩阵的乘法，由此 $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ 且 $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ；行列式原来就是面积所乘的因子，若定向反转则带负号；而二次方程的坐标轴旋转写成了从 $M$ 到 $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ 的过渡，迹与行列式是不变量。

关于作为矩阵的复数的课把这种读法用于乘以一个复数。对应 $M(a + bi) = aI + bJ$ 是单射，并且保持加法和乘法；在这个对应中，模的平方就是行列式，共轭就是转置，倒数就是逆矩阵，而极坐标形式是先旋转后位似， $M(z) = r R_\theta$ 。由此推出，欧拉公式和棣莫弗公式就是旋转的复合规则，复数的矩阵恰好是与 $J$ 可交换的矩阵，而哈密顿的四元数也可以用矩阵表示，只是其乘法不再可交换。

结构

最后，关于代数结构：群、环与域的课把共同之处抽了出来。群是带有一个满足结合律的运算、有单位元且每个元都有逆元的集合；在任何群中，单位元与逆元都是唯一的，消去律成立，并且 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ ，这些都不用交换律。循环子群与陪集引出了拉格朗日定理：子群的阶整除群的阶。代数意义上的环与域添加了第二种运算，并且从课程 I 中关于同余的课里的可逆余数定理出发，证明了 $\mathbb{Z}_n$ 是域当且仅当 $n$ 是素数。最后，同构使这样一种想法变得精确：运算表相同的两个系统就是同一个系统。

因此，本单元构成一条链：复合促成了乘法；乘法使方程组能写成方程 $AX = B$ ；消元求解它们，秩对它们分类；行列式判定唯一性，逆矩阵把解表示出来；变换的复合把几何意义还给乘法；复数作为一族对加法和复合封闭的变换出现；而群的概念表明，矩阵的逆的唯一性、数的倒数的唯一性以及抵消另一个旋转的旋转的唯一性，是同一个定理。下图把四段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依据它的环节，用虚线连到确立它的那个环节；未加证明而承认的支柱，以及来自前面各单元或课程 I 的支柱除外，它们画成空心圆。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A归纳法. 若一个性质对第一种情形成立，并且能从每一种情形传到紧接其后的情形，则它对所有情形成立；它在课程 I 的第 1 单元中得到证明，在这里用于二重求和、消元、幂和旋转。本单元中不加证明而采用。
B乘法的结合律. 只要乘积有定义， $(AB)C = A(BC)$ 就成立，因此几个矩阵的乘积可以随意加括号，而不改变因子的次序。确立于: 2. 乘法的性质.
C列的定理. 平面的每个线性变换都是唯一一个矩阵的变换，该矩阵的列是 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 的像。确立于: 16. 矩阵的列.
D两角和公式. 和、差以及二倍角的正弦与余弦，在关于解析三角学的第 2 单元中证明。本单元中不加证明而采用。
E平面向量. 点到直线的距离、正交投影和平行判据，在课程 I 关于平面解析几何的第 4 单元中证明。本单元中不加证明而采用。
F平行四边形的面积. 平行四边形的面积等于一条底边与相应的高之积；在有向面积定理的证明中，像在初等几何中那样承认这一点。本单元中不加证明而采用。
G余数与同余. 带余除法，模 $n$ 同余，它与加法和乘法的相容性，剩余类，以及可逆余数定理（按照该定理， $a$ 有模 $n$ 的逆元当且仅当 $\operatorname{gcd}(a, n) = 1$ ），它们都在课程 I 的第 1 单元中关于整除性和关于同余的课里证明。本单元中不加证明而采用。

第 1 段矩阵代数与线性方程组
- 从线性替换的复合出发定义矩阵乘法，并把每个线性方程组写成一个方程 $AX = B$ 。
- 证明结合律、分配律以及单位矩阵的中性作用，并认识到乘法不可交换且有零因子。
- 证明转置使因子的次序颠倒，而迹不区分次序。
- 证明行最简形是唯一的，并用它定义秩。
- 用高斯-若尔当消元法求解每个线性方程组，并用鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理对它分类。
1. 矩阵乘法. 元素 $(i, j)$ （属于 $AB$ ）是第 $i$ 行（属于 $A$ ）与第 $j$ 列（属于 $B$ ）对应元素乘积之和；这样就得到两个线性替换的复合的表，并且每个线性方程组都写成 $AX = B$ 。
  证明于: 矩阵及其运算.
2. 乘法的性质. 由交换两个求和的次序，矩阵乘法满足结合律以及对加法的分配律，单位矩阵是它的中性元；但它不可交换，并且有零因子和幂零矩阵。此外， $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ 且 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ，由此方程 $AB - BA = I$ 无解。
  使用: 1. 矩阵乘法. 依据: A (归纳法). 证明于: 矩阵及其运算.
3. 高斯-若尔当消元法. 初等行变换把一个方程组变为同解的方程组，并且每个矩阵都能用它们经过有限次变换化为行最简形。
  使用: 1. 矩阵乘法. 依据: A (归纳法). 证明于: 线性方程组与高斯-若尔当消元法.
4. 行最简形的唯一性. 从同一个矩阵得到的两个行最简形相等，因为它们的齐次线性方程组有相同的解；因此，秩，即任意一个行阶梯形中非零行的个数，不依赖于所选的变换。
  使用: 3. 高斯-若尔当消元法. 依据: A (归纳法). 证明于: 线性方程组与高斯-若尔当消元法.
5. 鲁歇-弗罗贝尼乌斯. 方程组 $AX = B$ （增广矩阵为 $M$ ，未知量个数为 $n$ ）相容当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ ；此时，若秩为 $n$ 则有唯一解，并且依赖于 $n - r$ 个自由参数（当 $r < n$ 时）；特别地， $AX = 0$ 有非零解当且仅当 $\operatorname{rank}(A) < n$ 。
  使用: 3. 高斯-若尔当消元法, 4. 行最简形的唯一性. 证明于: 线性方程组与高斯-若尔当消元法.
第 2 段行列式与逆矩阵
- 把二阶行列式解释为有向面积，并用递归在任意阶上定义它。
- 用对阶的归纳法证明行列式的性质，用化简计算它，并用它判定解的唯一性。
- 刻画可逆矩阵，并用伴随矩阵和高斯-若尔当消元法计算逆矩阵。
- 把与可逆性等价的条件汇集成一个定理，并由它推出单侧逆矩阵与行列式的乘积定理。
1. 有向面积. 以 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 为列的矩阵的行列式的绝对值，是它们所确定的平行四边形的面积，其符号表明从 $\vec{u}$ 到 $\vec{v}$ 的旋转是逆时针还是顺时针。
  依据: E (平面向量), D (两角和公式), F (平行四边形的面积). 证明于: 行列式：性质与克拉默法则.
2. 行列式的性质. 用对阶的归纳法，从按第一行展开出发，可知行列式对每一行是线性的，交换两行时变号，某一行为零或两行相同时为零，把一行的倍数加到另一行上时以及转置时不变，对三角矩阵等于对角线元素之积，并且可以按任意行或列展开。
  依据: A (归纳法). 证明于: 行列式：性质与克拉默法则.
3. 行列式与秩. 阶为 $n$ 的方阵的行列式不为零，即它是非奇异的，当且仅当它的秩为 $n$ ；因此， $AX = 0$ 有非零解当且仅当 $A$ 是奇异的，即 $\det A = 0$ 。
  使用: 3. 高斯-若尔当消元法, 4. 行最简形的唯一性, 5. 鲁歇-弗罗贝尼乌斯, 7. 行列式的性质. 证明于: 行列式：性质与克拉默法则.
4. 克拉默法则. 若 $D = \det A \neq 0$ ，则方程组 $AX = B$ （由 $n$ 个方程、 $n$ 个未知量组成）有唯一解 $x_k = \frac{D_k}{D}$ ，其中 $D_k$ 是把第 $k$ 列换成常数项列所得的行列式；它在任意阶上用第 $k$ 列的代数余子式证明。
  使用: 2. 乘法的性质, 5. 鲁歇-弗罗贝尼乌斯, 7. 行列式的性质, 8. 行列式与秩. 证明于: 行列式：性质与克拉默法则.
5. 逆矩阵的唯一性. 一个方阵至多有一个逆矩阵：若 $AB = BA = I$ 且 $AD = DA = I$ ，则 $B = D$ 。
  依据: B (乘法的结合律). 证明于: 逆矩阵.
6. 行列式与可逆性. 方阵 $A$ 可逆当且仅当 $\det A \neq 0$ ，即它是非奇异的，此时它的逆矩阵等于伴随矩阵除以行列式；必要性借助秩得到，不用乘积的行列式，充分性借助他行的代数余子式引理得到。
  使用: 5. 鲁歇-弗罗贝尼乌斯, 7. 行列式的性质, 8. 行列式与秩. 依据: B (乘法的结合律). 证明于: 逆矩阵.
7. 逆矩阵的性质. 若 $A$ 与 $B$ 可逆，则 $AB$ 、 $A^{\mathsf{T}}$ 、 $cA$ （其中 $c \neq 0$ ）以及 $A^m$ 也可逆，特别地 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 。
  使用: 2. 乘法的性质, 10. 逆矩阵的唯一性. 依据: B (乘法的结合律), A (归纳法). 证明于: 逆矩阵.
8. 用高斯-若尔当消元法求逆. 每个初等变换都是乘以一个可逆的初等矩阵；若 $A$ 的行最简形是 $I$ ，则这些变换把 $\left( A, I \right)$ 变成 $\left( I, A^{-1} \right)$ ，并且 $A$ 是初等矩阵之积；若不是，则 $A$ 不可逆。
  使用: 3. 高斯-若尔当消元法, 4. 行最简形的唯一性, 12. 逆矩阵的性质. 依据: B (乘法的结合律). 证明于: 逆矩阵.
9. 刻画与单侧逆矩阵. 对方阵 $A$ （阶为 $n$ ），下列条件等价：它可逆； $\det A \neq 0$ ；每个方程组 $AX = D$ 都有唯一解； $AX = 0$ 只有零解； $\operatorname{rank}(A) = n$ ；它的行最简形是单位矩阵。由此可知，若 $AB = I$ 或 $BA = I$ ，则 $B = A^{-1}$ 。
  使用: 5. 鲁歇-弗罗贝尼乌斯, 4. 行最简形的唯一性, 11. 行列式与可逆性, 13. 用高斯-若尔当消元法求逆. 依据: B (乘法的结合律). 证明于: 逆矩阵.
10. 乘积的行列式. 对同阶的任意方阵 $A$ 与 $B$ ，都有 $\det(AB) = \det A \det B$ ：若 $A$ 可逆，用初等矩阵证明；若不可逆，借助秩证明。
  使用: 7. 行列式的性质, 8. 行列式与秩, 13. 用高斯-若尔当消元法求逆, 14. 刻画与单侧逆矩阵. 依据: A (归纳法). 证明于: 逆矩阵.
第 3 段矩阵的几何
- 把二阶矩阵与平面的线性变换等同起来，并求出旋转、投影和反射的矩阵。
- 把变换的复合转化为矩阵的乘法，把行列式转化为面积的伸缩因子。
- 把坐标轴的旋转写成矩阵形式，并以迹和行列式为不变量。
- 用矩阵表示复数，包括模、共轭、倒数和极坐标形式。
1. 矩阵的列. 每个由矩阵给出的变换都是线性的，而平面的每个线性变换都是唯一一个矩阵的变换，即以 $T(\vec{e}_1)$ 和 $T(\vec{e}_2)$ 为列的那个矩阵。
  使用: 2. 乘法的性质. 证明于: 作为平面变换的矩阵.
2. 旋转、投影与反射. 绕原点转过角 $\theta$ 的旋转、到过原点的一条直线上的投影以及关于这条直线的反射，都是线性变换，其矩阵分别为 $R_\theta$ 、 $P_\alpha$ 与 $S_\alpha$ 。
  依据: C (列的定理), D (两角和公式), E (平面向量). 证明于: 作为平面变换的矩阵.
3. 复合与乘积. 若 $T$ 是矩阵为 $A$ 的变换， $U$ 是矩阵为 $B$ 的变换，则复合 $T \circ U$ 是矩阵为 $AB$ 的变换。
  依据: B (乘法的结合律), C (列的定理). 证明于: 作为平面变换的矩阵.
4. 旋转与反射的复合. $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ 、 $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ 、 $R_\theta^n = R_{n\theta}$ 与 $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ 成立。
  使用: 17. 旋转、投影与反射, 18. 复合与乘积. 依据: D (两角和公式), A (归纳法). 证明于: 作为平面变换的矩阵.
5. 行列式作为面积伸缩因子. 矩阵为 $A$ 的变换把单位正方形变为以其列为边的平行四边形，并把面积乘以 $\abs{\det A}$ ，对一般区域这一点是承认的；若 $\det A > 0$ ，它保持定向，若 $\det A < 0$ ，它使定向反转。
  使用: 6. 有向面积. 依据: C (列的定理). 证明于: 作为平面变换的矩阵.
6. 可逆变换. 矩阵为 $A$ 的变换是双射当且仅当 $\det A \neq 0$ ，此时它的逆变换是矩阵为 $A^{-1}$ 的变换；若 $\det A = 0$ ，它的像包含在一条过原点的直线中。
  使用: 11. 行列式与可逆性, 18. 复合与乘积. 依据: E (平面向量). 证明于: 作为平面变换的矩阵.
7. 矩阵形式的坐标轴旋转. 当坐标轴转过角 $\theta$ 时，二次型的对称矩阵 $M$ 变为 $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ ，它与 $M$ 有相同的迹和相同的行列式。
  使用: 2. 乘法的性质, 7. 行列式的性质, 15. 乘积的行列式, 19. 旋转与反射的复合. 证明于: 作为平面变换的矩阵.
8. 作为矩阵的复数. 对应 $M(a + bi) = aI + bJ$ 是单射，并且保持加法和乘法；而 $J$ ，即 $i$ 的矩阵，是转四分之一周的旋转，其平方为 $-I$ 。
  使用: 1. 矩阵乘法, 17. 旋转、投影与反射. 证明于: 作为矩阵的复数.
9. 模、共轭与倒数. $M(z)$ 的行列式是 $\abs{z}^2$ ，共轭复数的矩阵是 $M(z)$ 的转置，并且当 $z \neq 0$ 时， $z^{-1}$ 的矩阵是 $M(z)$ 的逆矩阵。
  使用: 10. 逆矩阵的唯一性, 20. 行列式作为面积伸缩因子, 23. 作为矩阵的复数. 证明于: 作为矩阵的复数.
10. 极坐标形式与棣莫弗. 若 $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ，则 $M(z) = r R_\theta$ ，即先旋转后位似；由 $R_\theta^n = R_{n\theta}$ 可推出对任意整数指数成立的棣莫弗公式。
  使用: 19. 旋转与反射的复合, 23. 作为矩阵的复数, 24. 模、共轭与倒数. 依据: A (归纳法). 证明于: 作为矩阵的复数.
第 4 段结构
- 定义群，并不用交换律证明其基本性质。
- 研究循环子群，并证明拉格朗日定理。
- 定义代数意义上的环与域，并判断余数 $\mathbb{Z}_n$ 何时构成域。
- 用同构精确说明两个群何时是同一个结构。
1. 群的性质. 在任何群中，单位元和每个元素的逆元都是唯一的，两侧消去律成立，并且 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ ，这些都不用交换律。
  证明于: 代数结构：群、环与域.
2. 循环子群. 在有限群中，每个元素 $g$ 都有一个阶 $k$ ； $g^m = e$ 当且仅当 $k$ 整除 $m$ ；并且幂 $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ 构成一个含 $k$ 个元素的子群。
  使用: 26. 群的性质. 依据: G (余数与同余). 证明于: 代数结构：群、环与域.
3. 拉格朗日定理. 有限群的子群的阶整除群的阶，因为群可以分成互不相交的陪集，每个陪集的元素个数与子群相同。
  使用: 26. 群的性质. 证明于: 代数结构：群、环与域.
4. 余数构成域. 当 $n \geq 2$ 时，余数 $\mathbb{Z}_n$ 在 $n$ 为素数时构成域，因为由可逆余数定理，每个非零余数都有逆元；若 $n$ 是合数，它们有零因子，不构成域。
  依据: G (余数与同余). 证明于: 代数结构：群、环与域.
5. 同构保持什么. 群同构把单位元映到单位元，把每个元素的逆元映到其像的逆元，把每个元素映到同阶的元素，并且保持交换性。
  使用: 26. 群的性质, 27. 循环子群. 依据: A (归纳法). 证明于: 代数结构：群、环与域.

走向空间几何. 这条链并不止于此：在下一单元中，三阶行列式给出向量积、混合积和平行六面体的体积，而秩和逆矩阵判定并计算直线与平面的交，于是本单元的代数成为空间几何的工具。