空间解析几何：导言

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

1. 第 1 题计算点 $P = (1, -2, 3)$ 与点 $Q = (3, 1, 9)$ 之间的距离。

2. 第 2 题向量 $\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right)$ 与 $\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)$ 的夹角是多少？

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $\frac{\pi}{6}$

3. 第 3 题计算 $\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right)$。

   $\left( 6, -3, 1 \right)$

   $\left( 6, 3, 1 \right)$

   $\left( -6, 3, -1 \right)$

   $\left( 0, 2, 0 \right)$

4. 第 4 题计算顶点为 $O = (0, 0, 0)$、$A = (1, 2, 0)$、$B = (0, 1, 3)$ 和 $C = (2, 0, 1)$ 的四面体的体积。

5. 第 5 题过 $A = (1, 0, 0)$、$B = (0, 2, 0)$ 和 $C = (0, 0, 2)$ 的平面的方程是什么？

   $2x + y + z = 2$

   $x + 2y + 2z = 1$

   $2x + y + z = 0$

   $\left( x, y, z \right) = \left( 1, 0, 0 \right) + t \left( -1, 2, 0 \right)$

6. 第 6 题直线 $\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right)$ 与 $\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)$ 的位置关系是什么？

   异面。

   相交于一点。

   平行。

7. 第 7 题计算点 $P = (1, 2, 3)$ 到平面 $2x - y + 2z = 1$ 的距离。

8. 第 8 题方向向量为 $\left( 1, 0, 1 \right)$ 的直线与平面 $x + y = 0$ 所成的角是多少？

   $\frac{\pi}{6}$

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $0$

9. 第 9 题一架无人机从公园中的点 $O = (0, 0, 0)$ 起飞，沿向量 $\left( 2, 2, 1 \right)$ 的方向直线上升，距离以米为单位。地面上的点 $P = (12, 6, 0)$ 处坐着一个人。无人机飞过时离这个人的最小距离是多少米？

10. 第 10 题来自前面的单元计算以 $\left( 1, 2, 0 \right)$、$\left( 3, 1, 2 \right)$ 和 $\left( 0, 1, 1 \right)$ 为行的矩阵的行列式。

11. 第 11 题来自前面的单元一个含两个未知数的三个线性方程组成的方程组，其系数矩阵的秩为 $2$，增广矩阵的秩为 $3$。它有多少个解？

    没有解。

    恰有一个。

    有无穷多个。

12. 第 12 题来自前面的单元当 $k$ 取何值时，平面向量 $\left( 3, -1 \right)$ 与 $\left( 2, k \right)$ 垂直？