数集：总结与挑战

摘要

本课结束专讲数集的单元。它把本单元各课所证明的内容汇成一条演绎链：由前一个集合构造整数、有理数与复数，为实数所接受的完备有序域公理（其中完备性是实数特有的性质），以及每一条性质对不等式、小数、根式、方程与复数的计算所带来的推论。它说明这条链如何依托前一单元中自然数的算术，又如何为下一单元对函数与多项式的研究做准备。最后给出一份与入门测评平行的结业测评，以及十道挑战题，难度高于各课的习题，每一道都要把其中好几课的结果结合起来。

学习目标

按逻辑顺序陈述本单元的定义与主要定理，并指出每一条依赖于哪些先前的结果。
说明每一次数的扩充得到了什么性质、失去了什么性质，以及为什么完备性不能用代数手段得到。
把本单元的结果与自然数的算术、与代数函数和多项式的研究联系起来。
解决非常规的问题，这些问题要求把分数的算术、实数的序、根式的计算、线性方程组与复数结合起来。

本单元的收获

本单元从一个欠缺和一条原理出发。欠缺是：在自然数中并不总能做减法、除法或开方。原理是在关于数集的那一课中提出的：每一个新的集合都保留前一个集合的运算与性质，并添加必要的元素，使一种原先受限的逆运算变得有定义。其结果就是组织整个单元的包含链：

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

构造

四次扩充中有三次是用前一个集合的元素对完成的，其中两次，即整数的扩充与有理数的扩充，用的是同一个程序，值得把它作为程序本身来认识。先规定两个对何时表示同一个数，再证明这一规定的表现如同等式，也就是说，它是一个等价关系；于是它的类构成一个划分，正如在关于集合、关系与函数的那一课中所证明的那样，而新的集合就是商集；然后用代表元来定义运算，并证明结果不依赖于所选的代表元。在整数中，自然数对 $(a, b)$ 表示差 $a - b$ ，两个对在 $a + d = b + c$ 时等价；在有理数中，分数 $\frac{p}{q}$ 表示一个商，两个分数在 $ps = qr$ 时等价；在复数中，实数对 $(a, b)$ 本身就是这个数，其乘法的定义使得 $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ 。在这三种情形中，前一个集合都通过一个保持运算的对应在新集合中重新出现，而在直观的讲法中只是约定的东西都成了定理：符号法则、零因子的不存在、乘法的消去律、既约分数的唯一性以及等式 $i^2 = -1$ 。

序与完备性

第四次扩充性质不同，而且不是通过构造完成的。有理数已经可以做加、减、乘、除，并有一个与这些运算相容的序，它是稠密的、阿基米德的；但平方小于 $2$ 的有理数之集是有界的，却没有有理的上确界。由于从有理数构造实数超出了本课程的范围，关于数集的那一课把实数作为一个完备有序域来接受：这是一个包含有理数、满足域公理、序公理和完备性公理的集合，按照完备性公理，每个非空且有上界的集合都有上确界。前两组公理有理数也满足；第三条才是刻画实数的公理。由完备性，在关于小数表示的那一课中推出了实数的阿基米德性质和每个无限小数表示的值，并把有理数刻画为小数表示有限或循环的数；在关于实数轴的那一课中推出了每个非负实数的 $n$ 次方根的存在性、有理数在数轴上的稠密性，以及区间作为没有空隙的集合的刻画。这些性质没有一条能用加法与乘法得到：完备性是序的性质，因此实数不能通过把某些方程的解添加到有理数中来构造。

计算

本单元的计算技巧都建立在这些基础之上。关于有理数指数幂的那一课利用算术根的唯一性证明了 $a^{\frac{p}{q}}$ 不依赖于所选的分数，并证明了指数运算法则成立；它还确立了根式运算法则及其符号假设，其中包括 $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ 。关于一次方程与一次不等式的那一课把域与序的性质变成了变换方程与不等式而不丢失也不增添解的规则，并借助行列式对二元方程组进行了分类。最后，复数使代数得以完整：每个实系数二次方程在复数中都有解，当其判别式为负时恰有两个解，二者互为共轭；平面的几何也被翻译成了共轭与模的运算。代价是序：在 $\mathbb{C}$ 中不存在任何与运算相容的序，一个数的大小用它的模来度量。

得到什么，失去什么

本单元的得失可以概括如下：

从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{Z}$ ，得到了相反数，并随之得到减法；失去了良序，因为整数没有最小元。
从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Q}$ ，得到了每个非零数的倒数，并随之得到除法；失去了后继，因为两个有理数之间总还有另一个有理数。
从 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{R}$ ，得到了完备性，并随之得到非负数的方根和每条线段的长度；失去了所有数的有限或循环的小数表示。
从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{C}$ ，得到了每个二次方程的解，并按照代数基本定理得到了每个非常数多项式方程的解；失去了与运算相容的序。

下图把三段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，用虚线连到确立它的环节，而被接受的支柱或来自前一单元的支柱则画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A扩充原理. 每一个新的数集都保留前一个数集的运算与性质，并添加必要的元素，使一种原先受限的逆运算变得有定义；它被采纳为整个单元的指导原则。本单元中不加证明而采用。
B自然数的算术. 自然数的加法、乘法与序的性质，归纳法，良序，以及数列的求和，这些都已在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
C带余除法. 对任意整数 $a$ 与任意自然数 $b$ ，存在唯一的商 $q$ 与唯一的余数 $r$ ，使得 $a = bq + r$ 且 $0 \leq r < b$ ；已在关于自然数的单元中证明，并用到关于整数的那一课所证明的整数法则。本单元中不加证明而采用。
D裴蜀与欧几里得. 若 $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ ，则存在整数 $x$ 与 $y$ 使 $ax + by = 1$ ，并且一个素数若整除一个乘积，则整除其中某个因数；已在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
E用类来构造. 取前一个集合中的对，证明把两个对等同起来的条件是一个等价关系，取商集作为新的集合，它的类构成这些对的一个划分，再用代表元定义运算，并证明结果不依赖于所选的代表元。确立于: 2. 整数的构造.
F完备有序域公理. 承认实数构成一个包含有理数的完备有序域：加法与乘法满足域公理；正数满足三歧性，并对加法与乘法封闭；每个有上界的非空实数集都有上确界，这就是刻画实数的公理。本单元中不加证明而采用。
G方根的唯一性. $n$ 次幂相同的两个非负实数相等；因此，只要给出一个非负数，其幂等于给定的数，就知道它是算术根。确立于: 11. 算术根的唯一性.
H阿基米德性质. 对每个实数都存在比它大的自然数；因此，一个实数 $d$ ，若满足 $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ （这里 $n$ 是任意自然数），则为零。确立于: 13. 阿基米德性质.

第 1 段构造
- 把整数构造为自然数对的类，把有理数构造为分数的类，并使运算是良定义的。
- 把符号法则、零因子的不存在和乘法的消去律变为定理。
- 证明每个有理数都有唯一的既约分数，并证明有理数的序是稠密的、阿基米德的。
- 把复数构造为实数对，其乘法给出 $i^2 = -1$ 。
1. 单位元与相反数的唯一性. 加法单位元是唯一的，每个数都有唯一的相反数，因而 $-(-c) = c$ ；同样，每个非零数都有唯一的倒数。
  证明于: 数集：从自然数到复数.
2. 整数的构造. 使自然数对 $(a, b)$ 与 $(c, d)$ 在 $a + d = b + c$ 时等价的关系是等价关系；它的类就是整数，其加法与乘法是良定义的，满足交换律、结合律与分配律，单位元为 $C(1, 1)$ 与 $C(2, 1)$ ，相反数为 $-C(a, b) = C(b, a)$ 。
  依据: B (自然数的算术). 证明于: 整数：构造、符号与序.
3. 整数的三歧性. 把自然数 $n$ 与类 $C(n + 1, 1)$ 等同时，加法与乘法得以保持，并且每个整数恰好是下列情形之一：一个自然数、零，或一个自然数的相反数。
  使用: 2. 整数的构造. 依据: B (自然数的算术), A (扩充原理). 证明于: 整数：构造、符号与序.
4. 符号法则. 对所有整数， $a \cdot 0 = 0$ 、 $(-a) b = -(ab)$ 与 $(-a)(-b) = ab$ 成立；此外，若 $ab = 0$ ，则某个因数为零，并且两个相等乘积的公共非零因数可以消去。
  使用: 1. 单位元与相反数的唯一性, 2. 整数的构造, 3. 整数的三歧性. 证明于: 整数：构造、符号与序.
5. 整数的序. 若 $a < b$ 意味着 $b - a$ 是自然数，则加上同一个整数保持序，乘以正数保持序，乘以负数使序反向；被除数为负的带余除法可以化为被除数为自然数的带余除法。
  使用: 1. 单位元与相反数的唯一性, 3. 整数的三歧性, 4. 符号法则. 依据: C (带余除法). 证明于: 整数：构造、符号与序.
6. 有理数的构造. 使分数 $\frac{p}{q}$ 与 $\frac{r}{s}$ 在 $ps = qr$ 时等价的关系是等价关系；它的类就是有理数，其加法与乘法是良定义的，并且每个非零有理数 $\frac{p}{q}$ 的倒数为 $\frac{q}{p}$ 。
  使用: 1. 单位元与相反数的唯一性, 4. 符号法则. 依据: E (用类来构造), A (扩充原理). 证明于: 有理数：分数及其运算.
7. 既约分数. 每个有理数都可以用一个分母为自然数的既约分数表示，而且只有一个。
  使用: 4. 符号法则, 6. 有理数的构造. 依据: D (裴蜀与欧几里得). 证明于: 有理数：分数及其运算.
8. 有理数的序. 在分母为自然数时，规定 $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ 指 $ps < qr$ ；这个序不依赖于所选的分数，它扩展了整数的序，与运算相容，并且是稠密的、阿基米德的：两个有理数之间有无穷多个有理数，每个有理数都会被某个自然数超过。
  使用: 5. 整数的序, 6. 有理数的构造. 证明于: 有理数：分数及其运算.
9. 复数的构造. 在 $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ 与 $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ 之下，实数对构成复数：其运算满足交换律、结合律与分配律，数对 $(a, 0)$ 的运算与实数相同， $i = (0, 1)$ 满足 $i^2 = -1$ ，每个复数都能唯一地写成 $a + bi$ 。
  依据: A (扩充原理), F (完备有序域公理). 证明于: 复数：运算与方程.
第 2 段序与完备性
- 由序公理推出不等式的运算规则与算术根的唯一性。
- 证明有理数不是完备的，因为平方小于 $2$ 的有理数之集没有有理的上确界。
- 由完备性推出阿基米德性质、每个无限小数表示的值，以及用有限或循环的小数表示对有理数的刻画。
- 由完备性推出有理数在数轴上的稠密性、方根的存在性与区间的刻画，并进行绝对值的运算。
1. 实数的序. 若正数满足三歧性，并对加法与乘法封闭，则实数的序是传递的，在加法和乘以正数时保持，在乘以负数时反向，而对两个正数取倒数会使它们的序反向。
  使用: 4. 符号法则. 依据: F (完备有序域公理). 证明于: 数集：从自然数到复数.
2. 算术根的唯一性. 若 $p$ 与 $r$ 非负且 $p^n = r^n$ ，则 $p = r$ ；若 $n$ 为奇数，则每个实数至多有一个 $n$ 次方根，当该数为负时这个方根也为负。
  使用: 4. 符号法则, 10. 实数的序. 依据: B (自然数的算术). 证明于: 数集：从自然数到复数.
3. 有理数不是完备的. $2$ 的平方根不是有理数；因此，平方小于 $2$ 的有理数之集有上界，但它的有理上界中没有一个是最小的。
  使用: 8. 有理数的序, 11. 算术根的唯一性. 依据: D (裴蜀与欧几里得). 证明于: 数集：从自然数到复数.
4. 阿基米德性质. 对任意实数 $x$ ，存在大于 $x$ 的自然数；因此，若 $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ （这里 $n$ 是任意自然数），则 $d = 0$ 。
  使用: 10. 实数的序. 依据: F (完备有序域公理), B (自然数的算术). 证明于: 有理数的小数表示.
5. 小数表示的值. $p$ 除以 $q$ 的竖式除法给出各位数字，其截断与 $\frac{p}{q}$ 的距离小于 $\frac{1}{10^n}$ ；每个无限小数表示都表示唯一的实数，对竖式除法而言这个实数就是 $\frac{p}{q}$ ；一个正实数有两种表示，仅当其中一种是有限的、另一种从某一位起全是九。
  使用: 6. 有理数的构造, 10. 实数的序. 依据: B (自然数的算术), C (带余除法), F (完备有序域公理), H (阿基米德性质). 证明于: 有理数的小数表示.
6. 有限小数. 既约分数 $\frac{p}{q}$ 的小数表示是有限的，当且仅当 $q = 2^a 5^b$ ，其中 $a$ 与 $b$ 为非负整数。
  使用: 7. 既约分数, 14. 小数表示的值. 依据: D (裴蜀与欧几里得). 证明于: 有理数的小数表示.
7. 有理数的小数表示. 每个正有理数 $\frac{p}{q}$ 的小数表示是有限的或循环的，其循环节的长度至多为 $q - 1$ 。
  使用: 14. 小数表示的值. 依据: B (自然数的算术), C (带余除法). 证明于: 有理数的小数表示.
8. 生成分数. 每个循环小数表示都表示一个有理数，而循环节为 $A$ 、由 $k$ 位数字组成的纯循环小数表示 $\frac{A}{10^k - 1}$ ；由此，一个实数是有理数当且仅当它的小数表示是有限的或循环的。
  使用: 14. 小数表示的值, 16. 有理数的小数表示. 依据: B (自然数的算术), H (阿基米德性质). 证明于: 有理数的小数表示.
9. 有理数的稠密性. 两个不同的实数之间总有一个有理数，因而有无穷多个。
  使用: 10. 实数的序. 依据: B (自然数的算术), H (阿基米德性质). 证明于: 实数轴：序、区间与绝对值.
10. 方根的存在性. 对任意自然数 $n \geq 2$ 与任意实数 $a \geq 0$ ，存在实数 $s \geq 0$ 使 $s^n = a$ ，它就是根指数为 $n$ 的 $a$ 的算术根。
  使用: 10. 实数的序. 依据: F (完备有序域公理), G (方根的唯一性). 证明于: 实数轴：序、区间与绝对值.
11. 区间的刻画. 一个至少有两个元素的实数集是区间，当且仅当它包含介于其任意两个元素之间的所有数。
  使用: 10. 实数的序. 依据: F (完备有序域公理). 证明于: 实数轴：序、区间与绝对值.
12. 绝对值. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ 与 $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ 成立；条件 $\abs{x - a} < r$ 等价于 $a - r < x < a + r$ ，并且三角不等式 $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ 成立。
  使用: 4. 符号法则, 10. 实数的序. 依据: G (方根的唯一性). 证明于: 实数轴：序、区间与绝对值.
第 3 段计算
- 定义有理数指数幂，证明它不依赖于所选的分数，并推出指数运算法则。
- 确立根式运算法则及其符号假设，其中包括 $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ 。
- 变换方程与不等式而不丢失也不增添解，并借助行列式对二元方程组进行分类。
- 进行共轭与模的运算，在 $\mathbb{C}$ 中解每个实系数二次方程，并认识到 $\mathbb{C}$ 不容许与其运算相容的序。
1. 指数运算法则. 对 $a > 0$ ，幂 $a^{\frac{p}{q}}$ ，即根指数为 $q$ 的 $a^p$ 的算术根，不依赖于所选的分数，并且 $a^x a^y = a^{x + y}$ 、 $(a^x)^y = a^{xy}$ 与 $(ab)^x = a^x b^x$ 成立；若 $a > 1$ ，它随指数增大而增大。
  使用: 6. 有理数的构造, 19. 方根的存在性. 依据: G (方根的唯一性). 证明于: 有理数指数幂与根式.
2. 根式运算法则. 对非负的被开方数，积的方根等于方根的积，方根的方根等于以根指数之积为根指数的方根； $\sqrt[n]{a^n}$ 等于 $\abs{a}$ （若 $n$ 为偶数），并且 $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ，等号仅在 $ab = 0$ 时成立。
  使用: 19. 方根的存在性, 21. 绝对值. 依据: G (方根的唯一性). 证明于: 有理数指数幂与根式.
3. 同解方程. 在两边加上同一个式子或乘以同一个非零数，保持方程的解；在不等式中，乘以正数保持不等号的方向，乘以负数使其反向；而两边平方可能添上 $A = -B$ 的解。
  使用: 1. 单位元与相反数的唯一性, 10. 实数的序. 证明于: 一次方程、一次不等式与线性方程组.
4. 二元方程组. 若方程组的行列式 $D$ 不为零，则唯一解为 $x = \frac{D_x}{D}$ ， $y = \frac{D_y}{D}$ ；若 $D = 0$ 且每个方程都有某个非零系数，则当 $D_x = D_y = 0$ 时方程组有无穷多解，否则无解。
  使用: 24. 同解方程. 证明于: 一次方程、一次不等式与线性方程组.
5. 共轭与模. 和或积的共轭等于共轭的和或积， $z \conj{z} = \abs{z}^2$ ， $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ 且 $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ 。
  使用: 9. 复数的构造, 21. 绝对值. 依据: G (方根的唯一性). 证明于: 复数：运算与方程.
6. 复数的倒数. 每个非零复数 $z$ 都有唯一的倒数 $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ；因此可以除以任意非零复数，而复数之积为零仅当某个因数为零。
  使用: 1. 单位元与相反数的唯一性, 26. 共轭与模. 证明于: 复数：运算与方程.
7. 二次方程. 若 $a$ 、 $b$ 与 $c$ 为实数， $a \neq 0$ 且 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ ，则方程 $az^2 + bz + c = 0$ 在 $\mathbb{C}$ 中恰有两个解 $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ ，它们互为共轭且不是实数。
  使用: 19. 方根的存在性, 27. 复数的倒数. 证明于: 复数：运算与方程.
8. 共轭根. 若一个实系数多项式在 $z_0$ 处取零值，则它在 $\conj{z_0}$ 处也取零值；因此它的非实根成对出现，每对互为共轭。
  使用: 26. 共轭与模. 证明于: 复数：运算与方程.
9. 复数不能排序. 在 $\mathbb{C}$ 中不存在与运算相容的序：每个非零数的平方都会是正的，于是 $1$ 与 $i^2 = -1$ 都会是正的，它们的和也会是正的，而这个和是 $0$ 。
  使用: 4. 符号法则, 9. 复数的构造. 证明于: 数集：从自然数到复数.

走向代数函数. 这条链在数不再被孤立地研究的地方停下：下一单元研究把数对应到数的法则，其定义域是区间，涉及非负的被开方数、符号表，以及用来对实系数多项式进行因式分解的共轭根定理。