导数：总结与挑战

1. 第 1 段 定义与法则

   • 在定义域的聚点处把导数定义为差商的极限，连同其单侧导数，并把它写成量词化的命题。
   • 证明差商、线性近似与卡拉泰奥多里分解三者等价，并推出可导必连续，但反过来不成立。
   • 用分解而不除以增量，得到线性组合、乘积、倒数与商的求导法则，并对多项式、有理函数和分段函数求导。
   • 用前一单元的极限对三角函数、指数函数、对数函数与双曲函数求导，并用链式法则对它们的复合求导。

   1. 导数的定义. 若 $a$ 是定义域 $A$（即 $f$ 的定义域）的一个元素，且是 $A$ 的聚点，则称 $f'(a) = L$，如果 $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$；等价地，$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$。

      依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 作为函数极限的导数.

   2. 单侧导数. 单侧导数 $f'_+(a)$ 与 $f'_-(a)$ 是差商的单侧极限；若 $a$ 是定义域在两侧的聚点，则 $f$ 在 $a$ 处可导当且仅当两者都存在且相等；若它只在一侧是聚点，则导数就是那一侧的导数。

      使用: 1. 导数的定义. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 作为函数极限的导数.

   3. 三种刻画. 以下三者等价：$f'(a) = L$；$f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$（当 $h$ 趋于 $0$ 时）；以及存在函数 $\varphi$，它在 $a$ 处连续，$\varphi(a) = L$，并且 $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ 对定义域中的任意 $x$ 成立。

      使用: 1. 导数的定义. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 作为函数极限的导数.

   4. 可导必连续. 若 $f$ 在 $a$ 处可导，则它在 $a$ 处连续；逆命题不成立：$\abs{x}$ 与 $\sqrt[3]{x}$ 在 $0$ 处连续，但在 $0$ 处不可导。

      使用: 2. 单侧导数, 3. 三种刻画. 依据: B (第 1 单元的遗产), E (卡拉泰奥多里分解). 证明于: 作为函数极限的导数.

   5. 导数的局部性. 若 $F$ 是 $f$ 在集合 $B$ 上的限制，该集合包含 $a$ 且 $a$ 是它的聚点，又 $f$ 在 $a$ 处可导，则 $F'(a) = f'(a)$；若 $B$ 包含定义域中 $a$ 附近的所有点，则 $f$ 在 $a$ 处可导当且仅当 $F$ 在该点可导。

      使用: 1. 导数的定义. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 求导法则.

   6. 线性组合与乘积. 若 $f$ 与 $g$ 在 $a$ 处可导，则 $\alpha f + g$ 与 $fg$ 也在该点可导，且 $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$，$(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$。

      使用: 3. 三种刻画, 4. 可导必连续. 依据: B (第 1 单元的遗产), E (卡拉泰奥多里分解), F (可导必连续). 证明于: 求导法则.

   7. 倒数与商. 若 $f$ 与 $g$ 在 $a$ 处可导且 $g(a) \neq 0$，则 $a$ 是 $\frac{f}{g}$ 的定义域的聚点，并且 $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ 与 $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ 成立。

      使用: 3. 三种刻画, 4. 可导必连续, 5. 导数的局部性, 6. 线性组合与乘积. 依据: B (第 1 单元的遗产), C (保号性), E (卡拉泰奥多里分解), F (可导必连续), G (局部性). 证明于: 求导法则.

   8. 幂、多项式与有理函数. 对任意整数 $m \neq 0$，$x^m$ 的导数在其整个定义域上为 $m x^{m - 1}$；每个多项式在 $\mathbb{R}$ 上可导，可逐项求导；每个有理函数在其定义域上可导。

      使用: 1. 导数的定义, 6. 线性组合与乘积, 7. 倒数与商. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 求导法则.

   9. 分界点处的导数. 若 $f$ 等于 $g$（在 $c$ 左侧）且等于 $h$（在右侧），其中 $g$ 与 $h$ 在 $c$ 处可导，则 $f$ 在 $c$ 处可导当且仅当 $g(c) = f(c) = h(c)$ 且 $g'(c) = h'(c)$；只比较各公式的导数是不够的。

      使用: 2. 单侧导数, 4. 可导必连续. 依据: B (第 1 单元的遗产), F (可导必连续). 证明于: 求导法则.

   10. 三角函数. 对任意实数 $x$，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ 且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$；在满足 $\cos x \neq 0$ 的点处，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$；余切、正割与余割用商法则和倒数法则求导。

       使用: 1. 导数的定义, 6. 线性组合与乘积, 7. 倒数与商. 依据: B (第 1 单元的遗产), D (代数与几何的遗产). 证明于: 初等函数的导数.

   11. 指数、对数与双曲函数. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上成立，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ 在 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 上成立，$\sinh x$、$\cosh x$ 与 $\tanh x$ 的导数分别为 $\cosh x$、$\sinh x$ 与 $\frac{1}{\cosh^2 x}$。

       使用: 1. 导数的定义, 6. 线性组合与乘积, 7. 倒数与商. 依据: B (第 1 单元的遗产), D (代数与几何的遗产). 证明于: 初等函数的导数.

   12. 链式法则. 若 $g$ 在 $a$ 处可导，且 $f$（定义在包含 $g$ 的各个值的集合上）在 $g(a)$ 处可导，则 $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$；除以 $g(x) - g(a)$ 的证明只在 $g'(a) \neq 0$ 时成立。

       使用: 3. 三种刻画, 4. 可导必连续. 依据: B (第 1 单元的遗产), C (保号性), E (卡拉泰奥多里分解), F (可导必连续). 证明于: 复合函数求导的链式法则.

   13. 常见复合函数. 该法则在 $f \circ g$ 的定义域上成立，只要 $a$ 是这个定义域的聚点；当 $f$ 的定义域包含一个以 $g(a)$ 为中心的区间时即是如此；由此得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$（对任意整数 $m \neq 0$）、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$（若 $g(a) > 0$）以及 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$。

       使用: 1. 导数的定义, 5. 导数的局部性, 8. 幂、多项式与有理函数, 10. 三角函数, 12. 链式法则. 依据: C (保号性), F (可导必连续), G (局部性). 证明于: 复合函数求导的链式法则.

2. 第 2 段 连续性、反函数与指数

   • 用上确界证明波尔查诺定理，再由它证明介值定理、区间在连续函数下的像是区间，以及连续且严格单调的函数的反函数是连续的。
   • 把卡拉泰奥多里分解倒过来读，证明反函数的导数公式，并对反三角函数、反双曲函数、根式和有理数指数幂求导。
   • 对隐函数求导，区分导数的计算与导数存在的证明。
   • 把任意底数的指数函数与对数、实数指数幂以及底数和指数都变化的幂化归为自然指数函数，并论证对数求导法的合理性。

   14. 波尔查诺定理. 若 $f$ 在 $\icc{a}{b}$ 上连续，且 $f(a) < 0 < f(b)$ 或 $f(a) > 0 > f(b)$，则存在一点 $c$（位于 $\ioo{a}{b}$ 内），使得 $f(c) = 0$。

       依据: A (完备性公理), C (保号性). 证明于: 介值定理.

   15. 介值定理. 若 $f$ 在 $\icc{a}{b}$ 上连续，则它取到介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个值；因此，区间在连续函数下的像是区间。

       使用: 14. 波尔查诺定理. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 介值定理.

   16. 反函数的连续性. 若 $f$ 在区间 $I$ 上连续且严格单调，则其反函数在区间 $f(I)$ 上连续。

       使用: 15. 介值定理. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 介值定理.

   17. 反函数的导数. 若 $f$ 在区间 $I$（含有不止一个点）上连续且严格单调，并在 $a$ 处可导，且 $f'(a) \neq 0$，则 $f^{-1}$ 在 $b = f(a)$ 处可导，且 $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$；若 $f'(a) = 0$，则 $f^{-1}$ 在 $b$ 处不可导。

       使用: 1. 导数的定义, 3. 三种刻画, 12. 链式法则, 15. 介值定理, 16. 反函数的连续性. 依据: B (第 1 单元的遗产), E (卡拉泰奥多里分解). 证明于: 反函数的导数与隐函数求导.

   18. 初等反函数与根式. 在各自的可导范围内，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ 与 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$；$\sqrt[n]{x}$ 在每个 $x \neq 0$（属于其定义域）处可导，在 $0$ 处不可导；并且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ 在 $\ioo{0}{\infty}$ 上成立。

       使用: 8. 幂、多项式与有理函数, 10. 三角函数, 11. 指数、对数与双曲函数, 13. 常见复合函数, 17. 反函数的导数. 依据: B (第 1 单元的遗产), D (代数与几何的遗产). 证明于: 反函数的导数与隐函数求导.

   19. 以 a 为底的指数函数与对数. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ 且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$；若 $u$ 在某点可导，则 $e^{u(x)}$ 在该点可导，导数为 $e^{u(x)} u'(x)$；若此外 $u$ 在该点不为零，则 $\ln \abs{u(x)}$ 在该点可导，导数为 $\frac{u'(x)}{u(x)}$。

       使用: 6. 线性组合与乘积, 11. 指数、对数与双曲函数, 12. 链式法则, 13. 常见复合函数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 指数中的变量与对数求导法.

   20. 实数指数幂与变指数幂. 对任意实数 $r$，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ 在 $\ioo{0}{\infty}$ 上成立；若 $f$（取正值）与 $g$ 在 $a$ 处可导，则 $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ 在 $a$ 处可导，且 $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$。

       使用: 6. 线性组合与乘积, 11. 指数、对数与双曲函数, 12. 链式法则, 19. 以 a 为底的指数函数与对数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 指数中的变量与对数求导法.

   21. 对数求导法. 若 $f_1, \ldots, f_k$ 在 $a$ 处可导且在 $a$ 处不为零，并且 $f_j$ 为正（当 $r_j$ 不是整数时），则 $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ 在 $a$ 处可导，且 $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$；可导性在取对数之前就已证明。

       使用: 4. 可导必连续, 5. 导数的局部性, 6. 线性组合与乘积, 13. 常见复合函数, 19. 以 a 为底的指数函数与对数, 20. 实数指数幂与变指数幂. 依据: D (代数与几何的遗产), F (可导必连续), G (局部性). 证明于: 指数中的变量与对数求导法.

   22. π 的 e 次方与 e 的 π 次方. 对任意 $x > 0$ 有 $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$，等号仅当 $x = e$ 时成立，因为对数曲线位于其切线 $y = \frac{x}{e}$ 之下；特别地，$\pi^e < e^\pi$。

       使用: 11. 指数、对数与双曲函数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 指数中的变量与对数求导法.

3. 第 3 段 高阶导数与变化率

   • 定义高阶导数，并用归纳法证明幂、指数函数、正弦与余弦的 $n$ 阶导数公式以及莱布尼茨公式。
   • 分别赋予 $\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{d}x$ 以意义，证明微分是增量的主部，并用它进行近似和误差估计，但不给出误差的界。
   • 把导数理解为平均变化率、瞬时变化率与相对变化率，并用它描述直线上的运动。
   • 用链式法则和一种明确的方法解决相关变化率问题。

   23. 高阶导数. $f^{(0)} = f$ 且 $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$，每一个的定义域由它前面那个导数可导的点组成；若 $f$ 与 $g$ 在一个开区间上 $n$ 次可导，则 $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$。

       使用: 6. 线性组合与乘积. 依据: D (代数与几何的遗产), G (局部性). 证明于: 高阶导数与微分.

   24. n 阶导数. 在 $\ioo{0}{\infty}$ 上，$\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$；对任意实数 $x$，$\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ 且 $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$；多项式 $f$ 的系数是数 $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$。

       使用: 8. 幂、多项式与有理函数, 13. 常见复合函数, 19. 以 a 为底的指数函数与对数, 20. 实数指数幂与变指数幂, 23. 高阶导数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 高阶导数与微分.

   25. 莱布尼茨公式. 若 $f$ 与 $g$ 在一个开区间上 $n$ 次可导，则 $fg$ 也是如此，且 $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$。

       使用: 6. 线性组合与乘积, 23. 高阶导数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 高阶导数与微分.

   26. 微分. 若 $f$ 在 $a$ 处可导，则增量 $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ 满足 $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$，其中 $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$，并且没有其他关于 $\Delta x$ 的线性函数满足它；若 $f'(a) \neq 0$，则 $\Delta y \sim \mathrm{d}y$；若 $w = f(u)$，则 $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$。

       使用: 3. 三种刻画, 6. 线性组合与乘积, 7. 倒数与商, 12. 链式法则. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 高阶导数与微分.

   27. 恒定的相对变化率. 若 $y(t) = y_0 e^{kt}$，其中 $y_0 > 0$ 且 $k \neq 0$，则相对变化率 $\frac{y'(t)}{y(t)}$ 在每一时刻都等于 $k$，且 $y(t + T) = e^{kT} y(t)$：该量在每个时长为 $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ 的时间区间内加倍或减半。

       使用: 19. 以 a 为底的指数函数与对数. 依据: D (代数与几何的遗产). 证明于: 变化率与相关变化率.

   28. 一点处导数的符号. 若 $f$ 定义在开区间 $I$ 上，在一点 $a$（属于 $I$）处可导且 $f'(a) > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得对每个 $x$（属于 $I$），有 $f(x) < f(a)$（当 $a - \delta < x < a$ 时）以及 $f(x) > f(a)$（当 $a < x < a + \delta$ 时）；由此不能推出 $f$ 在 $a$ 附近递增。由此可知，当速度与加速度同号时，速率增大。

       使用: 1. 导数的定义, 6. 线性组合与乘积. 依据: C (保号性). 证明于: 变化率与相关变化率.

   29. 相关变化率. 若 $u$ 在 $t_0$ 处可导且 $y(t) = g(u(t))$，其中 $g$ 在 $u(t_0)$ 处可导，则 $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$；两个在某区间的每一时刻都相等、并在 $t_0$ 处可导的表达式，在 $t_0$ 处有相同的导数。

       使用: 12. 链式法则. 证明于: 变化率与相关变化率.

走向应用. 链在导数不再是研究对象、而成为工具的地方停止：接下来的单元从魏尔斯特拉斯最值定理开始；用一点处导数的符号证明费马引理，并由它证明罗尔定理和中值定理，这两个定理把导数的符号转化为单调性，并给出洛必达法则、极值、凹凸性以及微分所没有的误差界；最后是牛顿-拉弗森方法，它用切线代替曲线。