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Topos Uranos
中文 (中国)

变化率与相关变化率

摘要

本课把导数读作它在应用中所度量的东西：一个量随另一个量变化时变化的快慢。本课区分平均变化率、瞬时变化率和相对变化率及其单位，并刻画相对变化率恒定的增长。本课研究沿直线的运动，包括位置、速度、速率和加速度，并证明导数在某一时刻的符号说明了什么、又没有说明什么。最后，当几个依赖于时间的量由一个关系联系在一起时，链式法则也把它们的变化率联系起来：这就是相关变化率，用一个明确的方法求解。

学习目标

  1. 把导数解释为瞬时变化率（连同其单位），并把它与平均变化率和相对变化率区分开来。
  2. 用位置、速度、速率和加速度描述直线运动，并证明导数在某一时刻的符号对邻近的值说明了什么。
  3. 用明确的方法求解相关变化率问题，并论证所求导的量是可导的。
  4. 把乘积与幂的相对变化率同对数导数联系起来，把加速度同一个关系式的二阶导数联系起来。

作为变化率的导数

关于作为极限的导数的课从两个问题得到了同一个定义：切线的斜率和瞬时速度。这两者都是一个更一般的问题的特例。每当一个量依赖于另一个量，例如圆的面积依赖于它的半径、动点的位置依赖于时间、一截细杆的质量依赖于它的长度，就需要知道后者变化时前者变化得有多快。

定义变化率

设 ff 是定义在开区间 II 上的函数，它把一个量 y=f(x)y = f(x) 表示为另一个量 xx 的函数，又设 aa 和 a+ha + h 是 II 中的点，且 h≠0h \neq 0。yy 关于 xx 在 aa 与 a+ha + h 之间的平均变化率是商

ΔyΔx=f(a+h)−f(a)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

若 ff 在 aa 处可导，则 yy 关于 xx 在 aa 处的瞬时变化率（简称变化率）是 f′(a)f'(a)；若还有 f(a)≠0f(a) \neq 0，则在 aa 处的相对变化率是商 f′(a)f(a)\frac{f'(a)}{f(a)}。

平均变化率是割线的斜率，瞬时变化率是它的极限，即切线的斜率。两者的单位都是 yy 的单位每 xx 的单位：若 yy 是长度、xx 是时间，则为米每秒；若 yy 是一截细杆的质量、xx 是它的长度，则为千克每米。在后一种情形中，若 M(x)M(x) 是一个端点与距离为 xx 的点之间那一截的质量，则变化率 M′(x)M'(x) 就是细杆在该点处的线密度：围绕该点的极短一截所具有的单位长度的质量。相对变化率则只以 xx 的单位的倒数来度量（每秒、每天）：它不依赖于度量 yy 所用的单位，因此可以比较性质不同或大小不同的量的变化。它就是关于指数中的变量的课中的对数导数，常常用百分数表示：每天 0.030.03 的相对变化率就是每天百分之 3。

一个几何例子说明怎样解读变化率。半径为 rr 的圆的面积是 A=πr2A = \pi r^2，它关于半径的变化率是 dAdr=2πr\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r，即周长，这正是关于作为极限的导数的课中练习题 1 要求验证的。原因很清楚：半径增加 hh 时，面积增加一个宽为 hh 的圆环，其面积几乎等于周长乘以 hh。

命题相对变化率恒定的增长

设 y0>0y_0 > 0 和 k≠0k \neq 0 是实数，并设 y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}（对任意实数 tt）。则 yy 的相对变化率在每一时刻都等于 kk，并且对任意 tt 和任意 TT 有：

y(t+T)=ekT y(t)y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

特别地，若 k>0k > 0，则该量在每个长为 ln⁡2k\frac{\ln 2}{k} 的时间区间内翻一番，无论该区间从哪一时刻开始；若 k<0k < 0，则它在每个长为 ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}} 的区间内减半。

证明

  1. y′(t)=y0ekt⋅k=k y(t),y′(t)y(t)=ky'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}

    由关于指数中的变量的课中与指数函数和对数的复合的推论，取 u(t)=ktu(t) = kt，函数 yy 在整个 R\mathbb{R} 上可导，且其导数是函数本身的 kk 倍，而函数本身不为零。

  2. y(t+T)y(t)=y0ektekTy0ekt=ekT\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}

    由指数运算法则，相隔长为 TT 的区间的两个值之比与 tt 无关。

  3. ekT=2⇔T=ln⁡2k,ekT=12⇔T=ln⁡2−ke^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}

    由于指数函数是单射，该比值等于 22 当且仅当 kT=ln⁡2kT = \ln 2，等于 12\frac{1}{2} 当且仅当 kT=−ln⁡2kT = -\ln 2。

无限制环境中的细菌种群，或一块放射性物质的质量，都近似地以恒定的相对变化率变化，该命题解释了为什么它们具有固定的倍增时间或固定的半衰期。函数 y0ekty_0 e^{kt} 是相对变化率恒为 kk 的仅有的函数，这一点是正确的，但它的证明需要知道：在一个区间上导数为零的函数是常数，而这是下一单元中值定理的推论。