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Topos Uranos
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反函数的导数与隐函数求导

摘要

本课证明：在一个区间上连续且严格单调的函数，其反函数在函数的导数不为零的每一点处都可导，并且它的导数是函数的导数（在对应的点处取值）的倒数：把图像关于直线 y=xy = x 作对称时，斜率为 mm 的切线变为斜率为 1m\frac{1}{m} 的切线。证明使用反函数的连续性（来自关于介值定理的那一课）和卡拉泰奥多里刻画；在函数的导数为零的地方，反函数不可导。借助这个定理可以求反正弦、反余弦、反正切、反双曲函数、根式以及有理数指数幂的导数。本课的第二部分对由方程确定的函数求导，例如圆或笛卡儿叶形线的分支，前提是假设该函数存在且可导，并说明这一假设不成立时会发生什么。

学习目标

  1. 证明反函数的导数定理，并解释为什么在函数的导数为零处反函数不可导。
  2. 求反三角函数、反双曲函数、根式和有理数指数幂的导数，并指出每个导数存在的集合。
  3. 在假设由方程确定的函数存在且可导的前提下，对它进行隐函数求导，并由此求出不是函数图像的曲线的切线。
  4. 识别隐函数求导何时什么也不能断定：不确定任何可导函数的方程，以及导数的系数为零的点。

反函数的导数

单射函数的反函数的图像，是该函数的图像关于直线 y=xy = x 的对称图形：前者上的点 (a,b)(a, b) 变为后者上的点 (b,a)(b, a)。这种对称交换水平增量与竖直增量，因此斜率为 mm 的割线变为斜率为 1m\frac{1}{m} 的割线，可以预期切线也是如此。关于初等函数的导数的那一课已在一个情形中观察到这一点：exe^x 与 ln⁡x\ln x 的图像在关于直线 y=xy = x 对称的点处的切线，斜率互为倒数，即 eae^a 与 1ea\frac{1}{e^a}。

一个简单的计算可以猜出一般公式。若 f−1f^{-1} 可导，用链式法则对等式 f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y 求导，就会得到 f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1，只需再作除法即可。但这个计算假定了需要证明的东西，即反函数可导，而且没有说明当 f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0 时会发生什么。这种情形确实存在：x3x^3 在 00 处可导，导数为零，而它的反函数，即立方根，在 00 处不可导，这由关于作为极限的导数的那一课中关于连续而不可导的命题给出。下面的定理不预先假定可导性而证明它，所用的是卡拉泰奥多里刻画，它使我们无需除以任何增量就能分离出反函数的增量。

定理反函数的导数

设 ff 是在区间 II（包含不止一个点）上连续且严格单调的函数，并设 J=f(I)J = f(I)。若 ff 在 aa（II 中的一点）处可导且 f′(a)≠0f'(a) \neq 0，则反函数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I 在 b=f(a)b = f(a) 处可导，且

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

ff 在 aa 处的卡拉泰奥多里分解可以反过来读：函数 φ\varphi 不为零，它的倒数在 f−1(y)f^{-1}(y) 处取值后，就把反函数的增量分解为因子。图中取 f(x)=x3f(x) = x^3 和 a=0.8a = 0.8，先显示 ff 的一条割线和切线，然后显示它们的对称图形，即立方根的一条割线和切线。

证明

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    由于 II 是包含不止一个点的区间，它的所有点都是 II 的聚点。由关于作为极限的导数的那一课中导数的刻画定理，存在 φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}，它在 aa 处连续，满足 φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a)，使得：

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    函数 φ\varphi 在 II 的任何点处都不为零。在 aa 处它等于 f′(a)f'(a)，不为零；若 x≠ax \neq a，严格单调性给出 f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a)，而 φ(x)\varphi(x) 是差商，也不为零。

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    设 yy 属于 JJ，并设 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)，于是 f(x)=yf(x) = y 且 x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b)。用不为零的 φ(x)\varphi(x) 去除这个分解：反函数的增量被分解为因子，而且没有除以任何增量。

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    由关于介值定理的那一课中区间的像与反函数的连续性这两个推论，JJ 是区间，并且因为 ff 是单射而包含不止一个点，f−1f^{-1} 在 bb 处连续。由于 φ\varphi 在 a=f−1(b)a = f^{-1}(b) 处连续，由关于极限与连续性的那一课中连续函数的复合与连续函数的运算这两个定理，因子 ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} 在 bb 处连续。由于 bb 是 JJ 的聚点，卡拉泰奥多里刻画给出导数。

要求 ff 在整个 II 上连续，是为了使反函数在 bb 处连续，正是这一点使证明的最后部分能够取极限。若 ff 在整个 II 上可导且其导数不为零，则反函数在整个 JJ 上可导，等式可以写成函数之间的等式：(f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}。ff 的导数在 f−1(y)f^{-1}(y) 处取值，而不是在 yy 处。用莱布尼茨记号，若 y=f(x)y = f(x) 且 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)，定理说的是 dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}，其中分母中的导数在 x=f−1(y)x = f^{-1}(y) 处取值。和链式法则一样，这个公式看起来像分数的运算规则，其实不是。一旦证明了可导性，开头那个用链式法则对 f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y 求导的简单计算，就是记住这个公式的正当方法。

命题导数为零处的反函数

设 ff 是在区间 II（包含不止一个点）上连续且严格单调的函数。若 ff 在 aa（II 中的一点）处可导且 f′(a)=0f'(a) = 0，则 f−1f^{-1} 在 b=f(a)b = f(a) 处不可导。 若它可导，将链式法则应用于恒等式 f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x，就会得到 1=01 = 0。

证明

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    假设 f−1f^{-1} 在 bb 处可导。函数 ff 在 II 上有定义，在 aa 处可导（它是 II 的聚点），其值落在 J=f(I)J = f(I) 中，而 f−1f^{-1} 在那里有定义。由关于链式法则的那一课中的链式法则：

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    但 f−1∘ff^{-1} \circ f 是 II 上的恒等函数，它在每一点处的导数都是 11，这在关于作为极限的导数的那一课中已经看到。这一矛盾说明 f−1f^{-1} 在 bb 处不可导。

还可以说得更多。若 y≠by \neq b，定理证明的第三部分只用到 φ\varphi 在 aa 以外不为零，因此即使 f′(a)=0f'(a) = 0 也成立：反函数的差商是 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}，而由复合函数的连续性，分母趋于 φ(a)=0\varphi(a) = 0。若 ff 递增，分母为正，差商趋于 ∞\infty；若递减，则趋于 −∞-\infty。反函数的图像在 (b,a)(b, a) 处有一条竖直切线，它是 ff 在 (a,b)(a, b) 处的水平切线的对称图形，就像立方根在原点处那样。