双曲线的方程及其推导

双曲线的定义

在关于椭圆与圆的方程的课中，椭圆被定义为到两个焦点的距离之和为常数的点的集合。把和换成差，就得到双曲线。

设 $F_1$ 和 $F_2$ 是平面上两个不同的点，即焦点，它们之间的距离为 $2c$；又设 $a$ 是满足 $0 < a < c$ 的数。以 $F_1$ 和 $F_2$ 为焦点的双曲线，是平面上这样的点 $P$ 的集合：不论哪个焦点较近，它到两焦点的距离恰好相差 $2a$。

用符号表示：若 $d_1$ 和 $d_2$ 分别是 $P$ 到 $F_1$ 和到 $F_2$ 的距离，则当点 $P$ 满足下面两个方程之一时，它属于双曲线；满足第一个方程的点离 $F_2$ 较近，组成一支，满足第二个方程的点离 $F_1$ 较近，组成另一支：

条件 $0 < a < c$ 并不是任意的。在顶点为 $P$、$F_1$ 和 $F_2$ 的三角形中，两边之差总小于第三边，而第三边长为 $2c$；由此可知，在过两焦点的直线之外，没有任何点的距离之差能等于或大于 $2c$。若 $a = c$，满足条件的点只有从两焦点出发向外的两条射线上的点；若 $a > c$，则没有任何点满足条件；前一个断言由三角不等式取等号的情形得出，这一情形已在关于平面向量的课中证明：把它应用于 $\vec{u} = \vec{PF_2}$ 和 $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$，等式 $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ 要求其中一个向量是另一个向量与一个非负数的乘积，也就是说，$P$ 在两焦点所在的直线上，并且 $F_2$ 位于 $P$ 与 $F_1$ 之间（或与 $P$ 重合）；若 $a = 0$，条件是说 $P$ 到两焦点的距离相等，它描述的是连接两焦点的线段的垂直平分线。这些集合都不是双曲线，所以把它们排除在外。

连接两焦点的线段的中点是双曲线的中心，过两焦点的直线是它的焦点轴。双曲线上位于焦点轴上的两点是它的顶点；它们之间的距离为 $2a$，所以每个顶点到中心的距离为 $a$。