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Topos Uranos
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单调性与一阶导数判别法

摘要

本课把导数的符号转化为关于整个区间的信息。它用拉格朗日中值定理证明：在一个区间上导数为正的函数在该区间上严格递增，导数非负的函数递增；反过来，递增函数的导数非负，尽管严格递增函数的导数可以为零，本课刻画了这种情形何时发生。由此得出导数为正的函数的可逆性、极值候选点的名称即临界点，以及一阶导数判别法，它根据导数是否变号来判定有无极值。达布定理借助魏尔斯特拉斯定理与费马引理证明，它表明导数即使不连续，也不会跳过中间值：导数没有可去间断与跳跃间断，而且若在一个区间上不为零，就不会在该区间上变号。本课最后用导数比较函数来证明不等式，并兑现导数单元多次预告却无法证明的结论。

学习目标

  1. 用中值定理证明区间上导数的符号决定单调性，并能识别严格递增函数何时在某些点处导数为零。
  2. 求函数的临界点，并用一阶导数判别法判定其中哪些是极值点，包括没有导数的点。
  3. 证明达布定理，并用它说明有跳跃的函数不是任何函数在区间上的导数。
  4. 通过研究两函数之差的导数的符号来证明函数之间的不等式，并察觉这种论证何时会陷入循环。

导数的符号与单调性

一点处导数的符号这一命题（出自关于变化率的那一课）只是把 aa 附近的每个值与 f(a)f(a) 比较，仅此而已：函数 x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}，以 00 补充定义其在 00 处的值，具有导数 11（在 00 处），却在任何包含 00 的区间上都不递增。要得到关于整个区间的信息，必须知道导数在区间所有点处的符号，而中值定理（出自关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的那一课）把这种知识转化为函数值的比较。回顾一下，按照《代数与几何 I》中关于函数的运算的那一课，函数 ff 在集合 II 上递增，是指对其中所有的点，由 x<yx < y 可推出 f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)；严格递增，是指由此可推出 f(x)<f(y)f(x) < f(y)：

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

递减或严格递减，则是指由此可推出 f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) 或 f(x)>f(y)f(x) > f(y)。

定理由导数符号判定单调性

设 ff 在区间 II 上连续，并在 II 的每个内点处可导。

  • 若 f′(x)≥0f'(x) \geq 0 对每个内点 xx 都成立（这些内点属于 II），则 ff 在 II 上递增；若对每个这样的点都有 f′(x)>0f'(x) > 0，则它在 II 上严格递增。
  • 若 f′(x)≤0f'(x) \leq 0 对每个内点 xx 都成立（这些内点属于 II），则 ff 在 II 上递减；若对每个这样的点都有 f′(x)<0f'(x) < 0，则它在 II 上严格递减。

对任意两点，中值定理使函数值之差带有某个中间点处导数的符号。

证明

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    设 x<yx < y 是 II 中的两点。由于 II 是区间，它包含 [x,y]\icc{x}{y}，而 ff 在其上连续；(x,y)\ioo{x}{y} 中的点都是 II 的内点，而 ff 在这些点处可导。由拉格朗日中值定理，存在 cc（介于 xx 与 yy 之间），使得：

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    因子 y−xy - x 为正，所以差的符号与 f′(c)f'(c) 相同：若 f′(c)≥0f'(c) \geq 0，差非负；若 f′(c)>0f'(c) > 0，差为正。由于 xx 与 yy 是 II 中满足 x<yx < y 的任意两点，函数递增，或者严格递增。

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    若导数非正，就把以上结论用于 −f-f：它在 II 上连续，并在每个内点处具有导数 −f′(x)-f'(x)，这由关于求导法则的那一课中线性组合的导数定理得出。−f-f 递增，意味着 ff 递减。

导数只在内点处要求存在；在属于区间的端点处，连续就够了。因此，x\sqrt{x} 在 [0,∞)\ico{0}{\infty} 上严格递增，尽管它在 00 处不可导。这个定理兑现了导数单元的三个预告。关于初等函数的导数的那一课指出，正切的导数 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x 为正，而正切在其定义域上并不递增，因为定义域不是区间；在每个区间 (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi} 上（kk 为整数），定理使正切严格递增。关于指数中的变量的那一课算出了导数 x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}，它在 (0,e)\ioo{0}{e} 上为正，在 (e,∞)\ioo{e}{\infty} 上为负；由于函数在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上连续，它在 (0,e]\ioc{0}{e} 上严格递增，在 [e,∞)\ico{e}{\infty} 上严格递减。这重新得到了那一课中关于 xx 的 1x\frac{1}{x} 次幂的最大值的命题，而且还能比较位于 ee 同一侧的两个数：由于 e<3<4e < 3 < 4，有 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}，即 34>433^4 > 4^3。同一课还证明了 (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x 的导数对所有 x>0x > 0 为正：该函数在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上严格递增。

命题单调函数导数的符号

设 ff 在区间 II 上递增，并在内点 aa（属于 II）处可导。则 f′(a)≥0f'(a) \geq 0。若 ff 递减，则 f′(a)≤0f'(a) \leq 0。 若导数为负，一点处导数的符号这一命题就会在 aa 的右侧给出小于 f(a)f(a) 的值。

证明

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    设 r>0r > 0 使得 J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} 包含于 II，并设 FF 是 ff 在 JJ 上的限制；由关于求导法则的那一课中导数的局部性引理，FF 在 aa 处可导，且 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)。假设 f′(a)<0f'(a) < 0。由一点处导数的符号这一命题（用于 FF，在开区间 JJ 中），存在 δ>0\delta > 0，使得：

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    设 ρ\rho 为 δ\delta 与 rr 中较小者。点 a+ρ2a + \frac{\rho}{2} 属于 JJ 且大于 aa；由于 ff 递增，它在该点的值不小于 f(a)f(a)，这与上面得到的结论矛盾。所以 f′(a)≥0f'(a) \geq 0。若 ff 递减，则 −f-f 递增，从而 −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0。

因此，对于在开区间所有点处可导的函数，递增等价于导数非负。逆命题不能推广到严格单调：x3x^3 在 R\mathbb{R} 上严格递增，而它的导数在 00 处为零。这个命题也解释了开头的例子：关于变化率的那一课在任意靠近 00 的地方找到了一些点，使 x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} 的导数在那里为负，而函数在任何包含这些点的区间上都不可能递增。问题在于这个导数在 00 处不连续；如果连续，一点处的符号就会延伸到一个区间上。

推论在一点连续的正导数

设 ff 在开区间 II 的每一点处可导，并设 aa 是 II 中的一点，f′f' 在该点连续，且 f′(a)>0f'(a) > 0。则存在 δ>0\delta > 0，使 ff 在 (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} 上严格递增。 导数在 aa 附近保持符号，定理就用在保持符号的那个区间上。

证明

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    由于 f′f' 在 aa 处连续，它在 aa 处的极限是 f′(a)>0f'(a) > 0。由关于函数的极限的那一课中局部有界性与保号性这一命题，存在 δ>0\delta > 0，可以取得使 (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} 包含于 II，并且在该区间上 f′(x)>0f'(x) > 0。在那里 ff 可导，因而连续；由定理，它严格递增。

导数非负的函数何时严格递增？x3x^3 的例子表明导数可以在个别点处为零；它不能做到的，是在整个区间上为零。

命题导数非负时的严格单调性

设 ff 在区间 II 上连续，并在 II 的每个内点处可导，且在每个内点处 f′(x)≥0f'(x) \geq 0。则 ff 在 II 上严格递增，当且仅当不存在任何区间 (p,q)\ioo{p}{q}（其中 p<qp < q），它包含于 II，并且 f′f' 在它的所有点处都为零。特别地，若 f′f' 只在有限个点处为零，则 ff 在 II 上严格递增。 递增但不严格递增的函数会重复取某个值，并且在重复取该值的两点之间是常数。

证明

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    假设 f′f' 在区间 (p,q)\ioo{p}{q}（包含于 II）的所有点处为零，并设 p<s<t<qp < s < t < q。在 [s,t]\icc{s}{t} 上，函数连续，且在 (s,t)\ioo{s}{t} 的点处导数为零；由关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的那一课中区间上导数为零这一推论，它在 [s,t]\icc{s}{t} 上是常数，因而不是严格递增的。

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    反过来，假设 ff 不严格递增。由定理，它递增，所以存在 s<ts < t（属于 II），使得 f(s)=f(t)f(s) = f(t)；每个中间值都夹在两个相等的值之间，故 ff 在 [s,t]\icc{s}{t} 上是常数。

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    设 xx 属于 (s,t)\ioo{s}{t}。ff 在 (s,t)\ioo{s}{t} 上的限制是常数，在 xx 处导数为零；由导数的局部性引理，f′(x)=0f'(x) = 0。导数在整个区间 (s,t)\ioo{s}{t} 上为零，而该区间包含于 II。若 f′f' 只在有限个点处为零，就不存在这样的区间，因为每个区间 (p,q)\ioo{p}{q}（其中 p<qp < q）都含有无穷多个点。

函数 x+sin⁡xx + \sin x（出自关于反函数的导数的那一课的例题 1）的导数是 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0，它在无穷多个点 π+2kπ\pi + 2k\pi 处为零；在其中相邻的两点之间导数为正，没有哪个区间全由零点组成。这个命题使它在 R\mathbb{R} 上严格递增，那一课是用两个正弦之差的公式得到这一点的，当时还显得出人意料。同样的推理也允许有限个没有导数的点：若 ff 在 II 上连续，并且在除 x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k 以外的所有内点处导数为正，那么定理使它在这些点中每相邻两点之间的区间上（以及两端的部分上）严格递增，而各个不等式可以首尾相接。于是，x3\sqrt[3]{x} 在 R\mathbb{R} 上严格递增，尽管它在 00 处不可导。连续性不能去掉（练习题 1）。

推论正导数与反函数

设 ff 在含有不止一个点的区间 II 上连续，并在 II 的每个内点处可导，且在每个内点处 f′(x)>0f'(x) > 0，或在每个内点处 f′(x)<0f'(x) < 0。则 ff 在 II 上严格单调，它的像 J=f(I)J = f(I) 是区间，反函数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I 连续；在每个点 b=f(a)b = f(a) 处（aa 为 II 的内点），反函数可导，且 (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}。 定理给出严格单调性，这正是反函数的导数定理的条件。

证明

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    由定理，ff 在 II 上严格递增或严格递减。由关于介值定理的那一课中区间的像与反函数的连续性这两个推论，JJ 是区间，且 f−1f^{-1} 在 JJ 上连续。

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    若 aa 是内点，则 ff 在 aa 处可导且 f′(a)≠0f'(a) \neq 0，而关于反函数的导数的那一课中反函数的导数定理给出 f−1f^{-1} 在 b=f(a)b = f(a) 处的导数。

导数单元的测评曾把 x5+xx^5 + x 与 x3+2x+1x^3 + 2x + 1 在 R\mathbb{R} 上严格递增当作已知；现在只需注意它们的导数 5x4+15x^4 + 1 与 3x2+23x^2 + 2 都为正。而关于 xexx e^x 的反函数的挑战题（出自那个单元的总结）要求不用导数的符号证明该函数在 [−1,∞)\ico{-1}{\infty} 上严格递增，现在一行就能解决：它在那里连续，其导数 (1+x)ex(1 + x) e^x 在 (−1,∞)\ioo{-1}{\infty} 上为正。