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Topos Uranos
中文 (中国)

函数的极值与最值

摘要

本课把前面各课的结果汇集成求函数最值与极值的方法。它把函数在其定义域上的最大值与最小值明确称为最值，以区别于极值，并定义严格的最值与极值。随后证明两个判别法，不必研究导数在某点附近的符号，就能判定导数为零的点是否为极值点：二阶导数判别法，它由一阶导数判别法得出；高阶导数判别法，它由洛必达法则得出：若在该点不为零的第一个导数是偶数阶的，则有极值，若是奇数阶的，则没有。本课后半部分讨论最值。在有界闭区间上，最值由魏尔斯特拉斯定理保证存在，而费马引理把它们限制在一个候选点清单中，即区间的端点与临界点，只需在其中比较函数值。在开区间或无界区间上，最值可能不存在，这时要借助单调性或区间端点处的极限来判定；特别地，若区间上的连续函数只有唯一的临界点，并在该点取得极值，则函数在该点取得的也是最值。

学习目标

  1. 用量词区分最值与极值、严格的与非严格的，并在例子中辨认每一种情形。
  2. 证明二阶导数判别法与高阶导数判别法，并用它们判定导数为零的点是极大值点、极小值点还是两者都不是，即使二阶导数为零时也能判定。
  3. 求有界闭区间上连续函数的最值，方法是比较函数在区间端点与临界点处的值。
  4. 用单调性、唯一的临界点或区间端点处的极限，判定函数在开区间或无界区间上是否取得最值。

最值、极值与严格极值

关于魏尔斯特拉斯定理的那一课定义了函数在集合上的最大值与最小值，关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的那一课定义了极值，它只把一点处的值与附近的值比较。现在宜明确前者的名称，使之与后者区别开来，并说明何时一点处的值大于与之比较的所有其他值，而不只是大于或等于。

定义最值与严格的最值、极值

设 ff 是定义在集合 AA 上的函数，x0x_0 是 AA 的元素。说 ff 在 x0x_0 处取得最大值，是指它在 x0x_0 处取得它在 AA 上的最大值；说它取得最小值，是指它在 x0x_0 处取得它在 AA 上的最小值，这里的意义与关于魏尔斯特拉斯定理的那一课相同；最值是最大值或最小值的统称。最大值或极大值称为严格的，如果 f(x0)f(x_0) 大于与之比较的其他每一个值：

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

第一个公式定义严格最大值，第二个公式定义严格极大值；严格的最小值与极小值以同样方式定义，只需改用 f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0)。

最值也称为全局最值，极值也称为相对极值。每个最值都是极值（δ\delta 可任取），每个严格的最值或极值都是最值或极值；其逆命题均不成立。函数 x3−3xx^3 - 3x 在 −1-1 处取得的极大值不是最大值，这在关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的那一课中已经看到。余弦函数在 R\mathbb{R} 上的最大值在 2π2\pi 的每个倍数处取得；这些最大值都不是严格最大值，因为值 11 重复出现，而每一个都是严格极大值，因为 cos⁡x<1\cos x < 1（当 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi 时）。常函数在每一点都取得最大值和最小值，但都不是严格的。一般地，若 ff 在 x0x_0 处同时取得极大值与极小值，则它在 x0x_0 附近为常数。最大值若存在则唯一；严格最大值还只在一个点处取得。

最值与极值依赖于定义域。若 ff 在 x0x_0 处取得最值或极值，且 BB 是 AA 的包含 x0x_0 的子集，则 ff 在 BB 上的限制也在该点取得它，因为比较的值更少；反过来不成立：x2x^2 在 [1,2]\icc{1}{2} 上于 11 处取得最小值，而在 R\mathbb{R} 上它在 11 处既无最值也无极值。