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Topos Uranos
中文 (中国)

洛必达法则

摘要

本课证明洛必达法则：若 ff 与 gg 趋于 00，或 gg 趋于无穷大，且它们的导数之比有极限，则商 fg\frac{f}{g} 有同一极限。证明在一个一端固定、另一端可变的区间上应用前一课的柯西中值定理；分母趋于无穷大的情形需要更精细的论证，而这一论证对分子没有任何要求。法则在一点的一侧、在该点处以及在无穷远处都成立，并且可以连续多次使用：由此可以计算 f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} 的极限，条件是 ff 的前几阶导数在 aa 处为零。不定式 0⋅∞0 \cdot \infty、∞−∞\infty - \infty、1∞1^\infty、000^0 与 ∞0\infty^0 都化为商。本课还说明法则何时不适用或不能判定，为什么它不能用于计算导数时所用的极限，以及它如何与等价无穷小结合使用。

学习目标

  1. 从柯西中值定理出发，证明 00\frac{0}{0} 型与 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型的洛必达法则，包括在一点的一侧、在该点处以及在无穷远处的情形。
  2. 把不定式化为商来计算极限，并多次使用法则，在每次使用时检验其条件。
  3. 识别法则何时不适用或不能判定：不是不定式的极限、没有极限的导数之比、在该点附近为零的分母导数，以及求导数本身所预设的极限。
  4. 把法则与等价无穷小及极限的运算法则结合起来，并在每种情形下选择最短的途径。

零比零型

关于极限的运算法则的那一课中商的极限这一推论，要求分母的极限不为零。若分子与分母都趋于 00，商可能趋于任何数，或趋于无穷大，或没有极限：3xx\frac{3x}{x} 趋于 33，x2x\frac{x^2}{x} 趋于 00，而 xsin⁡1xx\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} 在 00 处没有极限。因此称 00\frac{0}{0} 为不定式：各项的极限并不决定商的极限。关于等价无穷小的那一课解决了其中许多极限，办法是用表中的等价因子代换每个因子；但像 x−sin⁡xx - \sin x 这样的差不是表中因子的乘积，它的项不能代换。

导数指出了另一条途径。若 f(a)=g(a)=0f(a) = g(a) = 0，若 ff 与 gg 在 aa 处可导，且若 g′(a)≠0g'(a) \neq 0，则把分子与分母同除以 x−ax - a 后，商就变成差商之商，而商的极限这一推论给出：

f(x)g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a→f′(a)g′(a)\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}} \to \frac{f'(a)}{g'(a)}

但 g′(a)g'(a) 常常也为零，或者 ff 与 gg 在 aa 处没有定义。洛必达法则把导数在 aa 处的值换成它们之比在 aa 附近的极限。工具是关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的那一课中的柯西中值定理：若 ff 与 gg 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续（其中 a<ba < b），并在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点可导，且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0 对任意 xx（属于 (a,b)\ioo{a}{b}）成立，则 g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a)，并且存在 cc（属于 (a,b)\ioo{a}{b}），使得 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}。两次应用拉格朗日中值定理会得到两个不同的点，与此不同，柯西定理对分子和分母给出同一个点。

定理零比零型的洛必达法则

设 a<ba < b，并设 ff 与 gg 是在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点可导的函数，且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0 对任意 xx（属于 (a,b)\ioo{a}{b}）成立。假设 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 趋于 00（当 x→a+x \to a^+ 时），并且

lim⁡x→a+f′(x)g′(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L

其中 LL 是实数、∞\infty 或 −∞-\infty。那么 g(x)≠0g(x) \neq 0 对任意 xx（属于 (a,b)\ioo{a}{b}）成立，并且

lim⁡x→a+f(x)g(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L

将 ff 与 gg 补充定义为取值 00（在 aa 处），并在 [a,x]\icc{a}{x} 上应用柯西定理：商 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} 是增量之比，等于导数在 aa 与 xx 之间某一点处之比。图中取 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x、g(x)=ex−1g(x) = e^x - 1 与 a=0a = 0，画出点 (g(t),f(t))\left(g(t), f(t)\right)：商 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} 是连接原点与对应于 xx 的点的弦的斜率，而导数在 cc 处之比是平行切线的斜率。

证明

  1. F(a)=G(a)=0,F′(t)=f′(t),G′(t)=g′(t)≠0,a<t<xF(a) = G(a) = 0, \qquad F'(t) = f'(t), \quad G'(t) = g'(t) \neq 0, \qquad a < t < x

    设 FF 与 GG 为这样的函数：它们分别等于 ff 与 gg（在 (a,b)\ioo{a}{b} 上），并且等于 00（在 aa 处）。设 xx 属于 (a,b)\ioo{a}{b}。二者在 [a,x]\icc{a}{x} 上连续：在 aa 处，因为它们的右极限是 00；在其余各点，则由关于作为极限的导数的那一课中可导必连续的定理。在 (a,x)\ioo{a}{x} 的每一点它们都可导，导数分别是 ff 与 gg 的导数，这由关于求导法则的那一课中导数的局部性引理得出。

  2. f(x)g(x)=F(x)−F(a)G(x)−G(a)=f′(c)g′(c),a<c<x\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \dato{c}{\frac{f'(c)}{g'(c)}}, \qquad a < c < x

    由柯西中值定理（在 [a,x]\icc{a}{x} 上），G(x)≠G(a)G(x) \neq G(a)，即 g(x)≠0g(x) \neq 0，并且存在 cc（在 aa 与 xx 之间），使得增量之比等于导数在 cc 处之比。

  3. a<x<a+δ→∣f(x)g(x)−L∣=∣f′(c)g′(c)−L∣<εa < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} = \abs{\frac{f'(c)}{g'(c)} - L} < \resaltar{\varepsilon}

    设 LL 为实数，并设 ε>0\varepsilon > 0。由关于单侧极限的那一课中右极限的定义，存在 δ>0\delta > 0（可取为小于或等于 b−ab - a），使得 ∣f′(t)g′(t)−L∣<ε\abs{\frac{f'(t)}{g'(t)} - L} < \varepsilon，只要 a<t<a+δa < t < a + \delta。若 a<x<a+δa < x < a + \delta，则上面得到的点 cc 满足 a<c<x<a+δa < c < x < a + \delta。若 L=∞L = \infty，同样的论证用挑战 NN 得到 f(x)g(x)>N\frac{f(x)}{g(x)} > N；若 L=−∞L = -\infty，则得到 f(x)g(x)<N\frac{f(x)}{g(x)} < N。

不必知道 cc 如何依赖于 xx，也不必知道它是否唯一：只要它在 aa 与 xx 之间就够了。条件 g′≠0g' \neq 0 要求在整个区间 (a,b)\ioo{a}{b} 上成立，因为柯西定理在每个 [a,x]\icc{a}{x} 上都要用到它；由于极限只依赖于附近的值，只要找到一个使它成立的区间 (a,b)\ioo{a}{b} 就够了，无论多小。反之，如果分母的导数只在一些孤立点处为零，而这些点在该点处聚集，或者在变量趋于无穷大时这些点无界，那就不够，例题 5 说明了这一点。若 ff 与 gg 定义在更大的集合上，就把定理应用于它们在 (a,b)\ioo{a}{b} 上的限制，这些限制在 aa 处有相同的右极限。

左侧的情形同样成立，此时用区间 (b,a)\ioo{b}{a}（b<ab < a）与 x→a−x \to a^-：只需由关于单侧极限的那一课中平移与翻折的命题，把定理应用于 f(−t)f(-t) 与 g(−t)g(-t) 在 −a-a 右侧附近的情形；链式法则改变两个导数的符号，而不改变它们之比。若条件在 aa 的两侧都成立，即在 (a−r,a)\ioo{a - r}{a} 与 (a,a+r)\ioo{a}{a + r} 上，则由那一课中极限与单侧极限的定理，得到 x→ax \to a 时的极限（若 LL 是无穷大，则用同样的论证，取两个半径中较小者）。函数在 aa 处可以有定义，也可以没有；它在那里的值不起作用。

例题连续三次应用

考虑 lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}。分子与分母趋于 00，分母的导数 3x23x^2 在 00 以外不为零。导数之比为 1−cos⁡x3x2\frac{1 - \cos x}{3x^2}，又是 00\frac{0}{0} 型，其分母的导数 6x6x 在 00 以外也不为零；新的商 sin⁡x6x\frac{\sin x}{6x} 由第一重要极限趋于 16\frac{1}{6}：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}

这一串等式要从右往左读：最后一个极限存在，而法则用了两次，把它的值往回传递。在知道第二个极限存在之前就写下第一个等号，只是记录计算的一种方式，到计算完成时才得到论证。第二个极限也可以由等价无穷小表得到，利用 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}；第一个则不能。