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Topos Uranos
中文 (中国)

凹凸性与拐点

摘要

本课研究函数的图像如何弯曲：若在其两点之间图像位于连接这两点的弦的下方，则函数是下凸的；若位于弦的上方，则是上凸的。本课把定义转化为弦的斜率之间的比较，并借助中值定理与单调性证明：可导函数下凸，当且仅当其导数递增，当且仅当其图像位于其所有切线的上方；二阶可导函数下凸，当且仅当其二阶导数非负。本课定义拐点，即函数由下凸变为上凸之处，并给出求拐点的判别法：二阶导数的变号、必要条件 f′′(a)=0f''(a) = 0 以及三阶导数判别法；后者把图像与其切线比较，正如高阶导数判别法曾把图像与水平直线比较那样。利用正弦的弦，本课得到若尔当不等式；利用琴生不等式，本课把对数的上凸性转化为任意多个数的几何平均数与算术平均数之间的不等式。

学习目标

  1. 用量词通过弦给出下凸函数与上凸函数的定义，区分文献中的两种约定，并把定义转化为弦的斜率的比较。
  2. 证明可导函数下凸当且仅当其导数递增，也当且仅当其图像位于其切线的上方，并借助二阶导数判定函数在哪些区间上是下凸的或上凸的。
  3. 利用二阶导数的变号和三阶导数求函数的拐点，并识别二阶导数为零却不是拐点的点。
  4. 利用凹凸性证明不等式：用弦证明若尔当不等式，以及琴生不等式和均值不等式。

下凸函数与上凸函数

关于单调性的那一课研究了函数是上升还是下降；本课研究它如何上升或下降。函数 x2x^2 与 x\sqrt{x} 在 [0,∞)\ico{0}{\infty} 上都严格递增，但前者向上弯曲，后者向下弯曲：连接 x2x^2 的图像上两点的线段，即它的弦，位于这两点之间图像之弧的上方，而 x\sqrt{x} 的弦位于弧的下方。若 tt 属于 [0,1]\icc{0}{1}，则连接 (x,f(x))(x, f(x)) 与 (y,f(y))(y, f(y)) 的弦上横坐标为 tx+(1−t)ytx + (1 - t)y 的点，其纵坐标为 tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y)：纵坐标的同一组合。

定义下凸函数与上凸函数

设 ff 是定义在区间 II 上的函数。称 ff 在 II 上是下凸的，如果其图像上没有任何点位于这样一条弦的上方：该弦连接图像上的两点，而该点的横坐标位于这两点的横坐标之间：

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

若只要 x≠yx \neq y 且 0<t<10 < t < 1，不等式就是严格的，则称其为严格下凸的。称 ff 在 II 上是上凸的（或严格上凸的），如果 −f-f 是下凸的（或严格下凸的），即相反的不等式成立：图像上没有任何点位于这些弦的下方。

线性函数 mx+nmx + n 既是下凸的又是上凸的：其图像与其弦重合。函数 x2x^2 在 R\mathbb{R} 上严格下凸，因为不等式两边之差为 t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2，当 x≠yx \neq y 且 0<t<10 < t < 1 时为正。绝对值函数是下凸的，这由三角不等式 ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y} 得出，尽管它在 00 处不可导；它不是严格下凸的，因为在 [0,∞)\ico{0}{\infty} 上它与其弦重合。

两种约定。在本课程中，“下凸”指图像不越过其弦上方的函数，如 x2x^2；“上凸”指图像不落到其弦下方的函数，如 x\sqrt{x}。这正是大多数分析学与最优化文献所说的“凸函数”与“凹函数”，也是《代数与几何 II》中关于三角函数及其图像的那一课里关于正弦上凸性的那个不加证明的事实所用的约定。但是单独的“凹”与“凸”在不同文献中意义相反：流传最广的大学教材（同济版）从上方看图像，称 x2x^2 为凹的（“曲线是向上凹的”），而凸分析与最优化文献把同一个函数称为凸函数；因此本课程总是使用“下凸”“上凸”这种不会引起歧义的说法。遇到新的文献时，最好查找它的定义，或者留意它怎样称呼 x2x^2：不等式不变，变的只是名称。

定义把图像上的一点与一条弦比较。若 x<z<yx < z < y，则把 (z,f(z))(z, f(z)) 与从 xx 到 yy 的弦比较，等价于比较三条弦的斜率：沿下凸函数的图像从左到右移动时，弦越来越陡。图中以 f(x)=x24−0.3x+0.6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0.3x + 0.6 展示这一点。

引理弦的斜率

设 ff 是定义在区间 II 上的函数，并设 S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} 为弦的斜率（该弦位于两个不同的横坐标 uu 与 vv 之间，二者都属于 II）。若 x<z<yx < z < y 是 II 中的点，则下列不等式中的每一个

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

等价于点 (z,f(z))(z, f(z)) 不位于连接 (x,f(x))(x, f(x)) 与 (y,f(y))(y, f(y)) 的弦的上方，而每个严格不等式等价于该点严格位于弦的下方。因此，ff 在 II 上下凸，当且仅当这三个不等式对所有 x<z<yx < z < y（属于 II）都成立；严格下凸，当且仅当它们都严格成立。

证明

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    设 t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x}，它属于 (0,1)\ioo{0}{1}；于是 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} 且 z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y。弦上横坐标为 zz 的点的纵坐标为 tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y)，把这一比较乘以 y−x>0y - x > 0 后，可写成不含分式的形式：

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    两边同时减去 (y−x)f(x)(y - x) f(x)；由于 y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x)，右边变为 (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right)，只需再除以 (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0。同样地，减去 (y−x)f(y)(y - x) f(y) 并除以 (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0，便得到第二个不等式。

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    从 xx 到 yy 的增量是从 xx 到 zz 与从 zz 到 yy 的增量之和：长弦的斜率是两条短弦斜率的平均，权为正且和为 11，它与 S(x,z)S(x, z) 之差与 S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z) 同号。因此这三个不等式等价，严格不等式亦然。至于定义，若 x=yx = y，或 tt 等于 00 或 11，则不等式以等式成立；若 x>yx > y，则交换 xx 与 yy 的角色，并交换 tt 与 1−t1 - t 的角色。