Аналитическая геометрия в пространстве: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1Вычислите расстояние между точками $P = (1, -2, 3)$ и $Q = (3, 1, 9)$.

2. Вопрос 2Какой угол образуют векторы $\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right)$ и $\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)$?

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $\frac{\pi}{6}$

3. Вопрос 3Вычислите $\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right)$.

   $\left( 6, -3, 1 \right)$

   $\left( 6, 3, 1 \right)$

   $\left( -6, 3, -1 \right)$

   $\left( 0, 2, 0 \right)$

4. Вопрос 4Вычислите объём тетраэдра с вершинами $O = (0, 0, 0)$, $A = (1, 2, 0)$, $B = (0, 1, 3)$ и $C = (2, 0, 1)$.

5. Вопрос 5Каково уравнение плоскости, проходящей через $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$ и $C = (0, 0, 2)$?

   $2x + y + z = 2$

   $x + 2y + 2z = 1$

   $2x + y + z = 0$

   $\left( x, y, z \right) = \left( 1, 0, 0 \right) + t \left( -1, 2, 0 \right)$

6. Вопрос 6Каково взаимное расположение прямых $\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right)$ и $\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)$?

   Скрещиваются.

   Пересекаются в одной точке.

   Параллельны.

7. Вопрос 7Вычислите расстояние от точки $P = (1, 2, 3)$ до плоскости $2x - y + 2z = 1$.

8. Вопрос 8Какой угол образует прямая с направляющим вектором $\left( 1, 0, 1 \right)$ с плоскостью $x + y = 0$?

   $\frac{\pi}{6}$

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $0$

9. Вопрос 9Дрон взлетает из точки $O = (0, 0, 0)$ парка и поднимается по прямой в направлении вектора $\left( 2, 2, 1 \right)$; расстояния измеряются в метрах. В точке $P = (12, 6, 0)$ на земле сидит человек. На каком наименьшем расстоянии от этого человека пролетает дрон, в метрах?

10. Вопрос 10Из предыдущих разделовВычислите определитель матрицы со строками $\left( 1, 2, 0 \right)$, $\left( 3, 1, 2 \right)$ и $\left( 0, 1, 1 \right)$.

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовСистема трёх линейных уравнений с двумя неизвестными имеет матрицу коэффициентов ранга $2$ и расширенную матрицу ранга $3$. Сколько решений она имеет?

    Ни одного.

    Ровно одно.

    Бесконечно много.

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовПри каком значении $k$ векторы $\left( 3, -1 \right)$ и $\left( 2, k \right)$ плоскости перпендикулярны?