Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Векторы в пространстве и скалярное произведение

Краткое содержание

Этот урок переносит в трёхмерное пространство векторы, которые урок о векторах на плоскости изучал с двумя координатами. Он фиксирует систему трёх перпендикулярных осей с положительной ориентацией, объявляет, какие факты евклидовой геометрии пространства принимаются, и, дважды применяя теорему Пифагора, получает расстояние между двумя точками. Он определяет векторы как тройки действительных чисел, с их сложением, умножением на число, стандартным базисом и единственностью координат; определяет длину и скалярное произведение, доказывает их свойства, неравенство Коши-Шварца через дискриминант и неравенство треугольника, и с их помощью определяет угол между векторами, который совпадает с углом элементарной геометрии. Затем изучаются ортогональность, ортогональная проекция, направляющие косинусы и запись скалярного произведения как произведения строки на столбец, из которой следует, что матрицы с единичными и перпендикулярными столбцами сохраняют длины и углы. Приложения: работа силы, теорема косинусов в пространстве и угол молекулы метана; задачи посвящены диагоналям куба и параллелепипеда, векторам, перпендикулярным двум данным, натяжениям трёх тросов и тетраэдрам с перпендикулярными противоположными рёбрами.

Цели обучения

  1. Строить точки в декартовой системе координат в пространстве, определять их октант и вычислять расстояния, обосновывая формулу теоремой Пифагора.
  2. Выполнять действия с векторами пространства, раскладывать их по стандартному базису и доказывать с их помощью свойства параллелограммов, параллелепипедов и тетраэдров.
  3. Вычислять длины, скалярные произведения, углы, ортогональные проекции и направляющие косинусы и доказывать неравенство Коши-Шварца и неравенство треугольника в пространстве.
  4. Записывать скалярное произведение как произведение матриц и решать с его помощью, сохраняет ли матрица длины и углы.
  5. Моделировать с помощью скалярного произведения работу силы, равновесие сходящихся сил и углы молекулы.

Система координат в пространстве

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о векторах на плоскости каждая точка плоскости отождествлялась с парой чисел и каждое перемещение с другой парой, и геометрия прямых, углов и расстояний переводилась в вычисления с этими парами. Физический мир, однако, трёхмерен: положение самолёта, атома в молекуле или лампы, подвешенной к потолку, требует трёх чисел. Если это так, разумно повторить построение с тройками. Большинство результатов, доказанных на плоскости, переносится без изменений, потому что доказательства действовали покоординатно или использовали только алгебраические свойства скалярного произведения; в таких случаях этот урок ссылается на урок о плоскости. Осторожности требует геометрия: в пространстве нет плоского рисунка, который содержал бы всё, и угол между двумя векторами, например, нужно определить прежде, чем вычислять.

Принимаемые факты евклидовой геометрии пространства

Аналитическая геометрия пространства переводит на свой язык стереометрию, которую Евклид изложил в книгах с XI по XIII Начал. Её аксиоматическое построение выходит за рамки этого курса, как это было и с построением планиметрии в уроке об уравнении прямой, где принимаемые факты геометрии на плоскости были собраны в список. Точно так же факты о пространстве, которые использует этот раздел, принимаются без доказательства и собраны в приведённом ниже списке; всякий раз, когда урок раздела опирается на один из них, он ссылается на этот список.

  1. Плоскости. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней. В каждой плоскости пространства верны факты геометрии на плоскости, принятые в уроке об уравнении прямой; в частности, теорема Пифагора и обратная к ней, а также свобода выбрать в этой плоскости систему осей.
  2. Перпендикулярные прямые и плоскости. Через каждую точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, и эта плоскость пересекает прямую в единственной точке. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через точку их пересечения.
  3. Оси. Три прямые, проходящие через точку OO и попарно перпендикулярные, с положительным направлением на каждой и одной и той же единицей длины, образуют систему осей. Расстояния, углы и фигуры не зависят от этого выбора.
  4. Координаты. Если система осей зафиксирована, то плоскости, перпендикулярные трём осям и проведённые через точку PP, пересекают их в точках с абсциссами xx, yy и zz, и обратно, для каждой тройки чисел эти три плоскости пересекаются в единственной точке. Точки с третьей координатой, равной cc, образуют плоскость, перпендикулярную оси zz, в которой первые две координаты являются декартовыми координатами плоскости с той же единицей; точки с фиксированными первыми двумя координатами образуют прямую, параллельную оси zz и перпендикулярную этой плоскости, на которой третья координата измеряет положение с той же единицей. То же верно при переставленных осях.

Четвёртый факт есть следствие трёх первых, которое стереометрия доказывает с помощью свойств параллельных прямых и параллельных плоскостей; он сформулирован отдельно, потому что именно в этой форме он будет использоваться.

Декартова система координат в пространстве есть система осей, называемых осью xx, осью yy и осью zz, которые пересекаются в начале координат OO. Каждая точка PP отождествляется с тройкой своих координат, P=(x,y,z)P = (x, y, z), которые называются абсциссой, ординатой и аппликатой. Три координатные плоскости: плоскость xyxy, с уравнением z=0z = 0; плоскость yzyz, с уравнением x=0x = 0; и плоскость xzxz, с уравнением y=0y = 0.

Координатные плоскости делят пространство на восемь областей, называемых октантами, по знаку каждой координаты; первый октант состоит из точек с тремя положительными координатами, а остальные называются по тройке своих знаков, например октант (+,−,+)(+, -, +). На плоскости две перпендикулярные оси можно расположить двумя существенно разными способами: вторая ось получается поворотом первой на четверть оборота против часовой стрелки или по часовой стрелке. В пространстве то же самое происходит с тремя осями, и это различие имеет название.

Система координат в пространстве имеет положительную ориентацию, если при взгляде с положительного направления оси zz поворот на четверть оборота, переводящий положительную полуось xx в положительную полуось yy, виден против часовой стрелки. Равносильно, выполняется правило правой руки: если пальцы правой руки сгибаются от положительной полуоси xx к положительной полуоси yy, то большой палец указывает на положительную полуось zz.

Если изменить направление одной из осей, ориентация меняется; если изменить направление двух, она сохраняется. При циклической перестановке осей, от xx, yy, zz к yy, zz, xx, ориентация тоже не меняется, так что в положительной системе при взгляде с положительной полуоси xx поворот от yy к zz тоже идёт против часовой стрелки. В дальнейшем все системы имеют положительную ориентацию. На рисунках они изображаются в косоугольной проекции: ось yy вправо, ось zz вверх и ось xx к наблюдателю, проведённая по диагонали и с длинами, уменьшенными вдвое. Ориентация не играет роли в этом уроке; она будет существенной в ближайшем уроке, о векторном и смешанном произведениях.

ПримерПостроение точки в пространстве

Построить точку P=(3,4,2)P = (3, 4, 2), проходя вдоль осей, указать её октант и построить точку P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2).

Доказательство

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    Рисуем три оси с положительной ориентацией: при взгляде сверху поворот на четверть оборота от положительной полуоси xx к положительной полуоси yy идёт против часовой стрелки.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    Продвигаемся на 33 единицы по оси xx.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    Из AA продвигаемся на 44 единицы в направлении оси yy, не выходя из плоскости xyxy.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    Из BB поднимаемся на 22 единицы в направлении оси zz. Все три координаты положительны: PP лежит в первом октанте и является вершиной, противоположной OO, прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 33, 44 и 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Если из BB опуститься на 22 единицы, получим P1P_1, в октанте (+,+,−)(+, +, -). Плоскость xyxy перпендикулярно пересекает отрезок PP1P P_1 в его середине, BB: P1P_1 симметрична PP относительно этой плоскости.

Расстояние между двумя точками

На плоскости расстояние между двумя точками было получено однократным применением теоремы Пифагора к треугольнику с катетами, параллельными осям. В пространстве её нужно применить дважды: сначала в горизонтальной плоскости, затем в вертикальной.

ТеоремаРасстояние между двумя точками

Расстояние между точками P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) и Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) даётся приведённой ниже формулой.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

Вводится вспомогательная точка RR, на высоте PP и на вертикали QQ. На рисунке используются P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) и Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Доказательство

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Пусть RR есть точка с двумя первыми координатами точки QQ и аппликатой точки PP. Точки PP и RR лежат в плоскости с аппликатой z1z_1, а RR и QQ на прямой, параллельной оси zz и образованной точками с первыми координатами x2x_2 и y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    По факту о координатах, в плоскости с аппликатой z1z_1 первые две координаты декартовы, и формула расстояния на плоскости из урока об уравнении прямой даёт длину PRPR. На рисунке 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    На вертикальной прямой, содержащей RR и QQ, аппликата измеряет положение: длина RQRQ равна модулю разности аппликат. На рисунке 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    Прямая RQRQ перпендикулярна плоскости с аппликатой z1z_1 и, по второму принимаемому факту, прямой PRPR, которая лежит в этой плоскости и проходит через RR. Треугольник PRQPRQ прямоугольный с прямым углом при RR, и, по первому факту, теорема Пифагора верна в содержащей его плоскости.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    Подставляем и извлекаем квадратный корень. Если P=RP = R или R=QR = Q, треугольника нет, но формула сводится к формуле лишь одного из двух расстояний и остаётся верной. На рисунке расстояние равно 77.

В частности, расстояние от P=(x,y,z)P = (x, y, z) до начала координат равно x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, длине диагонали прямоугольного параллелепипеда с рёбрами ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} и ∣z∣\abs{z}. Например, диагональ куба с ребром aa равна a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.