Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Числовые множества: итоги и задачи повышенной трудности

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о числовых множествах. Он соединяет в одну дедуктивную цепь то, что доказали уроки раздела: построение целых, рациональных и комплексных чисел из предыдущего множества, аксиомы полного упорядоченного поля, которые принимаются для действительных чисел, с полнотой как их собственной чертой, и следствия каждого свойства для вычислений с неравенствами, десятичными дробями, радикалами, уравнениями и комплексными числами. Он объясняет, как эта цепь опирается на арифметику натуральных чисел из предыдущего раздела и как она готовит изучение функций и многочленов в следующем разделе. В конце даны итоговая проверка, параллельная входной, и десять задач повышенной трудности, более сложных, чем задачи уроков, каждая из которых сочетает результаты нескольких из них.

Цели обучения

  1. Изложить в логическом порядке определения и основные теоремы раздела, указывая, от каких предыдущих результатов зависит каждая из них.
  2. Объяснить, какое свойство приобретает и какое теряет каждое числовое расширение и почему полноту нельзя получить алгебраическими средствами.
  3. Связать результаты раздела с арифметикой натуральных чисел и с изучением алгебраических функций и многочленов.
  4. Решать нестандартные задачи, требующие сочетать арифметику дробей, порядок действительных чисел, вычисления с радикалами, линейные системы и комплексные числа.

Чего достиг раздел

Раздел начался с недостатка и с принципа. Недостаток: в натуральных числах не всегда можно вычитать, делить и извлекать корни. Принцип, сформулированный в уроке о числовых множествах: каждое новое множество сохраняет операции и свойства предыдущего и добавляет элементы, необходимые для того, чтобы обратная операция, прежде ограниченная, стала определённой. Результатом является цепочка включений, которая организует весь раздел:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Построения

Три из четырёх расширений были выполнены с помощью пар элементов предыдущего множества, а два из них, расширение до целых и до рациональных чисел, одной и той же процедурой, которую стоит узнавать как таковую. Объявляется, когда две пары представляют одно и то же число, и доказывается, что это объявление ведёт себя как равенство, то есть является отношением эквивалентности; тогда его классы образуют разбиение, как было доказано в уроке о множествах, отношениях и функциях, и новое множество есть фактормножество; затем операции определяются через представителей и доказывается, что результат не зависит от выбранных представителей. В уроке о целых числах пара натуральных чисел (a,b)(a, b) представляет разность a−ba - b, и две пары эквивалентны, когда a+d=b+ca + d = b + c; в уроке о рациональных числах дробь pq\frac{p}{q} представляет частное, и две дроби эквивалентны, когда ps=qrps = qr; в уроке о комплексных числах пара действительных чисел (a,b)(a, b) уже есть само число, с произведением, определённым так, что (0,1)2=(−1,0)(0, 1)^2 = (-1, 0). Во всех трёх случаях предыдущее множество снова появляется внутри нового через соответствие, сохраняющее операции, и то, что в наглядном изложении было соглашениями, становится теоремами: правило знаков, отсутствие делителей нуля, закон сокращения для произведения, единственность несократимой дроби и равенство i2=−1i^2 = -1.

Порядок и полнота

Четвёртое расширение имеет другую природу, и оно не было выполнено построением. Рациональные числа уже позволяют складывать, вычитать, умножать и делить и имеют порядок, согласованный с этими операциями, плотный и архимедов; но множество рациональных чисел, квадрат которых меньше 22, ограничено и не имеет рациональной точной верхней грани. Поскольку построение действительных чисел из рациональных выходит за рамки курса, урок о числовых множествах принял их как полное упорядоченное поле: множество, которое содержит рациональные числа и удовлетворяет аксиомам поля, аксиомам порядка и аксиоме полноты, согласно которой всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Первым двум группам удовлетворяют и рациональные числа; третья и характеризует действительные. Из полноты были выведены, в уроке о десятичной записи, свойство Архимеда для действительных чисел и значение всякой бесконечной десятичной записи, вместе с характеризацией рациональных чисел как чисел с конечной или периодической записью; а в уроке о числовой прямой существование корня nn-й степени из всякого неотрицательного действительного числа, плотность рациональных чисел на прямой и характеризация промежутков как множеств без пробелов. Ни одно из этих свойств не получается с помощью сумм и произведений: полнота есть свойство порядка, и поэтому действительные числа нельзя построить, добавляя к рациональным решения тех или иных уравнений.

Вычисления

На этих основаниях покоятся вычислительные приёмы раздела. Урок о степенях с рациональным показателем использовал единственность арифметического корня, чтобы доказать, что apqa^{\frac{p}{q}} не зависит от выбранной дроби и что выполняются свойства степеней, и установил свойства корней с их условиями на знак, среди них a2=∣a∣\sqrt{a^2} = \abs{a}. Урок об уравнениях и неравенствах первой степени превратил свойства полей и порядка в правила преобразования уравнений и неравенств без потери и без приобретения решений и классифицировал системы двух уравнений с помощью их определителя. Наконец, комплексные числа завершили алгебру: всякое уравнение второй степени с действительными коэффициентами имеет в них решение, а когда его дискриминант отрицателен, оно имеет ровно два решения, сопряжённых между собой; и геометрия плоскости была переведена в операции с сопряжённым и модулем. Ценой стал порядок: в C\mathbb{C} нет ни одного порядка, согласованного с операциями, и величина числа измеряется его модулем.

Что приобретается и что теряется

Итог раздела можно резюмировать так:

  • При переходе от N\mathbb{N} к Z\mathbb{Z} приобретается противоположное число, а с ним вычитание; теряется полная упорядоченность, поскольку у целых чисел нет наименьшего элемента.
  • При переходе от Z\mathbb{Z} к Q\mathbb{Q} приобретается обратное ко всякому ненулевому числу, а с ним деление; теряется последователь, поскольку между двумя рациональными числами всегда есть ещё одно.
  • При переходе от Q\mathbb{Q} к R\mathbb{R} приобретается полнота, а с ней корни из неотрицательных чисел и длина всякого отрезка; теряется конечная или периодическая запись всех чисел.
  • При переходе от R\mathbb{R} к C\mathbb{C} приобретается решение всякого уравнения второй степени и, согласно основной теореме алгебры, всякого непостоянного полиномиального уравнения; теряется порядок, согласованный с операциями.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, которые принимаются без доказательства или взяты из предыдущего раздела: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AПринцип расширений. Каждое новое числовое множество сохраняет операции и свойства предыдущего и добавляет элементы, необходимые для того, чтобы обратная операция, прежде ограниченная, стала определённой; он принимается как руководство для всего раздела. В этом модуле принимается без доказательства.
  • BАрифметика натуральных чисел. Свойства сложения, умножения и порядка натуральных чисел, индукция, полная упорядоченность и сумма прогрессий, доказанные в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • CДеление с остатком. Для всякого целого aa и всякого натурального bb существуют единственное неполное частное qq и единственный остаток rr, такие что a=bq+ra = bq + r и 0≤r<b0 \leq r < b; доказано в разделе о натуральных числах, с правилами для целых чисел, которые доказывает урок о целых числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • DБезу и Евклид. Если НОД⁡(a,b)=1\operatorname{\text{НОД}}(a, b) = 1, то существуют целые xx и yy, для которых ax+by=1ax + by = 1, и простое число, делящее произведение, делит один из множителей; доказано в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • EПостроение через классы. Берутся пары из предыдущего множества, доказывается, что условие, отождествляющее две пары, является отношением эквивалентности, в качестве нового множества берётся фактормножество, классы которого образуют разбиение множества пар, и операции определяются через представителей с доказательством того, что результат не зависит от выбранных. Устанавливается в: 2. Построение целых чисел.
  • FАксиомы полного упорядоченного поля. Принимается, что действительные числа образуют полное упорядоченное поле, содержащее рациональные: сложение и умножение удовлетворяют аксиомам поля; положительные числа удовлетворяют трихотомии и замкнуты относительно сложения и умножения; и всякое непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, и это аксиома, которая характеризует действительные числа. В этом модуле принимается без доказательства.
  • GЕдинственность корня. Два неотрицательных действительных числа с одинаковой степенью nn равны; поэтому достаточно предъявить неотрицательное число, степень которого равна данной, чтобы знать, что оно есть арифметический корень. Устанавливается в: 11. Единственность арифметического корня.
  • HСвойство Архимеда. Для всякого действительного числа существует натуральное, большее его; следовательно, действительное число dd, для которого 0≤d≤110n0 \leq d \leq \frac{1}{10^n} при всяком натуральном nn, равно нулю. Устанавливается в: 13. Свойство Архимеда.

  1. Участок 1 Построения

    • Построить целые числа как классы пар натуральных чисел и рациональные как классы дробей, с корректно определёнными операциями.
    • Превратить в теоремы правило знаков, отсутствие делителей нуля и закон сокращения для произведения.
    • Доказать, что всякое рациональное число имеет единственную несократимую дробь и что порядок рациональных чисел плотный и архимедов.
    • Построить комплексные числа как пары действительных чисел, с произведением, которое даёт i2=−1i^2 = -1.

    1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа. Нейтральный элемент по сложению единствен, и каждое число имеет единственное противоположное, так что −(−c)=c-(-c) = c; точно так же каждое ненулевое число имеет единственное обратное.

      Доказывается в уроке: Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.

    2. Построение целых чисел. Отношение, при котором пары натуральных чисел (a,b)(a, b) и (c,d)(c, d) эквивалентны, когда a+d=b+ca + d = b + c, является отношением эквивалентности; его классы суть целые числа, с корректно определёнными сложением и умножением, коммутативными, ассоциативными и дистрибутивными, с нейтральными элементами C(1,1)C(1, 1) и C(2,1)C(2, 1) и противоположным −C(a,b)=C(b,a)-C(a, b) = C(b, a).

      Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел). Доказывается в уроке: Целые числа: построение, знаки и порядок.

    3. Трихотомия целых чисел. При отождествлении натурального числа nn с классом C(n+1,1)C(n + 1, 1) сохраняются сложение и умножение, и всякое целое число есть ровно одно из следующего: натуральное число, нуль или число, противоположное натуральному.

      Использует: 2. Построение целых чисел. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел), A (Принцип расширений). Доказывается в уроке: Целые числа: построение, знаки и порядок.

    4. Правило знаков. Для всех целых чисел выполняются a⋅0=0a \cdot 0 = 0, (−a)b=−(ab)(-a) b = -(ab) и (−a)(−b)=ab(-a)(-b) = ab; кроме того, если ab=0ab = 0, то один из множителей равен нулю, а ненулевой множитель, общий для двух равных произведений, можно сократить.

      Использует: 1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа, 2. Построение целых чисел, 3. Трихотомия целых чисел. Доказывается в уроке: Целые числа: построение, знаки и порядок.

    5. Порядок целых чисел. Если a<ba < b означает, что b−ab - a натуральное, то прибавление одного и того же целого числа сохраняет порядок, умножение на положительное сохраняет его, а на отрицательное меняет на противоположный; и деление с остатком отрицательного делимого сводится к делению натурального делимого.

      Использует: 1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа, 3. Трихотомия целых чисел, 4. Правило знаков. Опирается на: C (Деление с остатком). Доказывается в уроке: Целые числа: построение, знаки и порядок.

    6. Построение рациональных чисел. Отношение, при котором дроби pq\frac{p}{q} и rs\frac{r}{s} эквивалентны, когда ps=qrps = qr, является отношением эквивалентности; его классы суть рациональные числа, с корректно определёнными сложением и умножением, и всякое ненулевое рациональное число pq\frac{p}{q} имеет обратным qp\frac{q}{p}.

      Использует: 1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа, 4. Правило знаков. Опирается на: E (Построение через классы), A (Принцип расширений). Доказывается в уроке: Рациональные числа: дроби и действия с ними.

    7. Несократимая дробь. Всякое рациональное число представляется несократимой дробью с натуральным знаменателем, и только одной.

      Использует: 4. Правило знаков, 6. Построение рациональных чисел. Опирается на: D (Безу и Евклид). Доказывается в уроке: Рациональные числа: дроби и действия с ними.

    8. Порядок рациональных чисел. При натуральных знаменателях pq<rs\frac{p}{q} < \frac{r}{s}, когда ps<qrps < qr; этот порядок не зависит от выбранных дробей, продолжает порядок целых чисел и согласован с операциями, и он плотный и архимедов: между двумя рациональными числами их бесконечно много, и всякое рациональное число меньше некоторого натурального.

      Использует: 5. Порядок целых чисел, 6. Построение рациональных чисел. Доказывается в уроке: Рациональные числа: дроби и действия с ними.

    9. Построение комплексных чисел. При (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) и (a,b)(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) пары действительных чисел образуют комплексные числа: их операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, пары (a,0)(a, 0) действуют как действительные числа, i=(0,1)i = (0, 1) удовлетворяет i2=−1i^2 = -1 и каждое комплексное число единственным образом записывается в виде a+bia + bi.

      Опирается на: A (Принцип расширений), F (Аксиомы полного упорядоченного поля). Доказывается в уроке: Комплексные числа: действия и уравнения.

  2. Участок 2 Порядок и полнота

    • Вывести из аксиом порядка правила действий с неравенствами и единственность арифметического корня.
    • Доказать, что рациональные числа не полны, поскольку множество рациональных чисел с квадратом меньше 22 не имеет рациональной точной верхней грани.
    • Вывести из полноты свойство Архимеда, значение всякой бесконечной десятичной записи и характеризацию рациональных чисел их конечными или периодическими записями.
    • Вывести из полноты плотность рациональных чисел на прямой, существование корней и характеризацию промежутков, и выполнять действия с модулем.

    1. Порядок действительных чисел. Если положительные числа удовлетворяют трихотомии и замкнуты относительно сложения и умножения, то порядок действительных чисел транзитивен, сохраняется при сложении и при умножении на положительное число, меняется на противоположный при умножении на отрицательное, а переход к обратным для двух положительных чисел меняет их порядок на противоположный.

      Использует: 4. Правило знаков. Опирается на: F (Аксиомы полного упорядоченного поля). Доказывается в уроке: Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.

    2. Единственность арифметического корня. Если pp и rr неотрицательны и pn=rnp^n = r^n, то p=rp = r; если nn нечётно, то каждое действительное число имеет не более одного корня nn-й степени, который отрицателен, когда отрицательно само число.

      Использует: 4. Правило знаков, 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел). Доказывается в уроке: Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.

    3. Рациональные числа не полны. Квадратный корень из 22 не рационален; поэтому множество рациональных чисел, квадрат которых меньше 22, ограничено сверху, но ни одна из его рациональных верхних границ не является наименьшей.

      Использует: 8. Порядок рациональных чисел, 11. Единственность арифметического корня. Опирается на: D (Безу и Евклид). Доказывается в уроке: Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.

    4. Свойство Архимеда. Для всякого действительного xx существует натуральное число, большее xx; следовательно, если 0≤d≤110n0 \leq d \leq \frac{1}{10^n} при всяком натуральном nn, то d=0d = 0.

      Использует: 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: F (Аксиомы полного упорядоченного поля), B (Арифметика натуральных чисел). Доказывается в уроке: Десятичная запись рациональных чисел.

    5. Значение десятичной записи. Деление столбиком pp на qq даёт цифры, усечения которых отстоят от pq\frac{p}{q} меньше чем на 110n\frac{1}{10^n}; и всякая бесконечная десятичная запись представляет единственное действительное число, которое для деления столбиком равно pq\frac{p}{q}; положительное действительное число имеет две записи, только когда одна из них конечна, а другая оканчивается девятками.

      Использует: 6. Построение рациональных чисел, 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел), C (Деление с остатком), F (Аксиомы полного упорядоченного поля), H (Свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Десятичная запись рациональных чисел.

    6. Конечные записи. Десятичная запись несократимой дроби pq\frac{p}{q} конечна тогда и только тогда, когда q=2a5bq = 2^a 5^b, где aa и bb суть целые неотрицательные числа.

      Использует: 7. Несократимая дробь, 14. Значение десятичной записи. Опирается на: D (Безу и Евклид). Доказывается в уроке: Десятичная запись рациональных чисел.

    7. Записи рациональных чисел. Десятичная запись всякого положительного рационального числа pq\frac{p}{q} конечна или периодична, и длина её периода не превосходит q−1q - 1.

      Использует: 14. Значение десятичной записи. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел), C (Деление с остатком). Доказывается в уроке: Десятичная запись рациональных чисел.

    8. Порождающая дробь. Всякая периодическая десятичная запись представляет рациональное число, и чистая периодическая запись с периодом AA из kk цифр представляет A10k−1\frac{A}{10^k - 1}; откуда действительное число рационально тогда и только тогда, когда его запись конечна или периодична.

      Использует: 14. Значение десятичной записи, 16. Записи рациональных чисел. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел), H (Свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Десятичная запись рациональных чисел.

    9. Плотность рациональных чисел. Между двумя различными действительными числами всегда есть рациональное число, а потому бесконечно много рациональных.

      Использует: 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: B (Арифметика натуральных чисел), H (Свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль.

    10. Существование корня. Для всякого натурального n≥2n \geq 2 и всякого действительного a≥0a \geq 0 существует действительное s≥0s \geq 0, такое что sn=as^n = a; оно есть арифметический корень nn-й степени из aa.

      Использует: 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: F (Аксиомы полного упорядоченного поля), G (Единственность корня). Доказывается в уроке: Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль.

    11. Характеризация промежутков. Множество действительных чисел, имеющее не менее двух элементов, является промежутком тогда и только тогда, когда оно содержит все числа, заключённые между любыми двумя его элементами.

      Использует: 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: F (Аксиомы полного упорядоченного поля). Доказывается в уроке: Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль.

    12. Модуль. Выполняются x2=∣x∣\sqrt{x^2} = \abs{x} и ∣xy∣=∣x∣∣y∣\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}; условие ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r равносильно a−r<x<a+ra - r < x < a + r, и верно неравенство треугольника ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}.

      Использует: 4. Правило знаков, 10. Порядок действительных чисел. Опирается на: G (Единственность корня). Доказывается в уроке: Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль.

  3. Участок 3 Вычисления

    • Определить степени с рациональным показателем, доказать, что они не зависят от выбранной дроби, и вывести свойства степеней.
    • Установить свойства корней с их условиями на знак, среди них a2=∣a∣\sqrt{a^2} = \abs{a}.
    • Преобразовывать уравнения и неравенства без потери и без приобретения решений и классифицировать системы двух уравнений с помощью их определителя.
    • Выполнять действия с сопряжённым и модулем, решать в C\mathbb{C} всякое уравнение второй степени с действительными коэффициентами и понимать, что C\mathbb{C} не допускает порядка, согласованного с его операциями.

    1. Свойства степеней. При a>0a > 0 степень apqa^{\frac{p}{q}}, арифметический корень qq-й степени из apa^p, не зависит от выбранной дроби, и выполняются axay=ax+ya^x a^y = a^{x + y}, (ax)y=axy(a^x)^y = a^{xy} и (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x; если a>1a > 1, она возрастает вместе с показателем.

      Использует: 6. Построение рациональных чисел, 19. Существование корня. Опирается на: G (Единственность корня). Доказывается в уроке: Степени с рациональным показателем и радикалы.

    2. Свойства корней. При неотрицательных подкоренных выражениях корень из произведения равен произведению корней, а корень из корня равен корню с показателем, равным произведению показателей; ann\sqrt[n]{a^n} равно ∣a∣\abs{a}, если nn чётно, и a+b≤a+b\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}, причём равенство достигается, только если ab=0ab = 0.

      Использует: 19. Существование корня, 21. Модуль. Опирается на: G (Единственность корня). Доказывается в уроке: Степени с рациональным показателем и радикалы.

    3. Равносильные уравнения. Прибавление одного и того же выражения к обеим частям или их умножение на ненулевое число сохраняет решения уравнения; в неравенстве умножение на положительное число сохраняет знак неравенства, а на отрицательное меняет его на противоположный; а возведение в квадрат может добавить решения уравнения A=−BA = -B.

      Использует: 1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа, 10. Порядок действительных чисел. Доказывается в уроке: Уравнения и неравенства первой степени и линейные системы.

    4. Системы двух уравнений. Если определитель DD системы не равен нулю, то единственное решение есть x=DxDx = \frac{D_x}{D}, y=DyDy = \frac{D_y}{D}; если D=0D = 0 и каждое уравнение имеет хотя бы один ненулевой коэффициент, то система имеет бесконечно много решений, когда Dx=Dy=0D_x = D_y = 0, и ни одного в противном случае.

      Использует: 24. Равносильные уравнения. Доказывается в уроке: Уравнения и неравенства первой степени и линейные системы.

    5. Сопряжённое и модуль. Сопряжённое к сумме или к произведению равно сумме или произведению сопряжённых, zz‾=∣z∣2z \conj{z} = \abs{z}^2, ∣zw∣=∣z∣∣w∣\abs{zw} = \abs{z} \abs{w} и ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}.

      Использует: 9. Построение комплексных чисел, 21. Модуль. Опирается на: G (Единственность корня). Доказывается в уроке: Комплексные числа: действия и уравнения.

    6. Обратное к комплексному числу. Всякое ненулевое комплексное число zz имеет единственное обратное, z‾∣z∣2\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}; поэтому можно делить на всякое ненулевое комплексное число, а произведение комплексных чисел обращается в нуль, только если в нуль обращается один из множителей.

      Использует: 1. Единственность нейтрального элемента и противоположного числа, 26. Сопряжённое и модуль. Доказывается в уроке: Комплексные числа: действия и уравнения.

    7. Квадратное уравнение. Если aa, bb и cc действительны, a≠0a \neq 0 и Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2 - 4ac < 0, то уравнение az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 имеет в C\mathbb{C} ровно два решения, −b±i−Δ2a\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}, которые сопряжены и не действительны.

      Использует: 19. Существование корня, 27. Обратное к комплексному числу. Доказывается в уроке: Комплексные числа: действия и уравнения.

    8. Сопряжённые корни. Если многочлен с действительными коэффициентами обращается в нуль в z0z_0, то он обращается в нуль и в z0‾\conj{z_0}; так что его недействительные корни встречаются парами сопряжённых.

      Использует: 26. Сопряжённое и модуль. Доказывается в уроке: Комплексные числа: действия и уравнения.

    9. Комплексные числа не упорядочиваются. В C\mathbb{C} не существует порядка, согласованного с операциями: квадрат всякого ненулевого числа был бы положителен, и тогда 11 и i2=−1i^2 = -1 были бы положительны, а также их сумма, равная 00.

      Использует: 4. Правило знаков, 9. Построение комплексных чисел. Доказывается в уроке: Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным.

К алгебраическим функциям. Цепь останавливается там, где числа перестают изучаться по отдельности: следующий раздел изучает правила, сопоставляющие числам числа, с областями определения, которые являются промежутками, с неотрицательными подкоренными выражениями, таблицами знаков и теоремой о сопряжённых корнях для разложения на множители многочленов с действительными коэффициентами.