Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари

Краткое содержание

В этом уроке изучаются полиномиальные уравнения в поле комплексных чисел. Из основной теоремы алгебры, которая принимается без доказательства, по индукции выводится, что всякий многочлен степени nn есть произведение nn линейных множителей и имеет ровно nn корней с учётом кратности; доказываются формулы Виета для любой степени и формулы для сумм квадратов и кубов корней. Двучленные, трёхчленные и возвратные уравнения решаются сведением к другим уравнениям меньшей степени. Затем кубическое уравнение приводится к неполному виду, выводится формула Кардано, корни классифицируются с помощью дискриминанта, на уравнении Бомбелли показывается, почему эта формула вынудила принять комплексные числа даже тогда, когда все корни действительны, и этот случай решается с помощью формулы тройного угла. Наконец, уравнение четвёртой степени приводится к неполному виду, доказывается метод Феррари, который разлагает его на два квадратных уравнения с помощью корня его кубической резольвенты, и объясняется, почему начиная с пятой степени подобной формулы не существует.

Цели обучения

  1. Вывести из основной теоремы алгебры разложение всякого комплексного многочлена на линейные множители и связать корни с коэффициентами с помощью формул Виета и степенных сумм.
  2. Решать двучленные, трёхчленные и возвратные уравнения, сводя их к уравнениям меньшей степени.
  3. Приводить кубическое уравнение к неполному виду, выводить формулу Кардано и классифицировать корни действительного кубического уравнения по знаку его дискриминанта.
  4. Решать тригонометрическим методом кубическое уравнение с тремя действительными корнями и объяснять на примере Бомбелли историческую роль формулы Кардано в признании комплексных чисел.
  5. Решать уравнения четвёртой степени методом Феррари, приводя их к неполному виду и разлагая на множители с помощью корня кубической резольвенты.

Основная теорема алгебры в комплексных числах

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о корнях многочленов высших степеней была сформулирована основная теорема алгебры, было намечено её следствие о том, что всякий комплексный многочлен степени nn есть произведение nn линейных множителей, и из неё было выведено, что всякий действительный многочлен есть произведение линейных и неприводимых квадратных множителей; здесь даётся полное доказательство, по индукции, этого разложения над полем комплексных чисел. Этот урок принимает комплексную точку зрения: коэффициенты и корни могут быть комплексными, и вопрос уже не в том, имеет ли уравнение решение, а в том, как найти все его решения. Многочленом с комплексными коэффициентами степени nn называется выражение P(z)=anzn+⋯+a1z+a0P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, где aka_k комплексные и an≠0a_n \neq 0; комплексное число z0z_0 называется корнем многочлена PP, если P(z0)=0P(z_0) = 0.

Доказательства теоремы о делении многочленов с остатком, теоремы Безу (об остатке) и теоремы о множителе, проведённые в уроке курса I об алгебре многочленов, используют только свойства сложения, умножения и деления коэффициентов, которые у C\mathbb{C} те же, что и у R\mathbb{R}, согласно уроку о комплексных числах. Поэтому они остаются верными без изменений для многочленов с комплексными коэффициентами; то же относится к лемме о различных корнях и к принципу равенства многочленов из того же урока (два многочлена, принимающие одинаковые значения при всяком комплексном значении переменной, имеют одинаковые коэффициенты), а также к определению кратности корня из урока о корнях многочленов высших степеней. Отличает C\mathbb{C} приведённая ниже теорема.

Факт, принимаемый без доказательства (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени n≥1n \geq 1 с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Как и в уроке курса I о корнях многочленов, эта теорема принимается без доказательства: все известные её доказательства используют средства, выходящие за рамки этого курса, например непрерывность функций двух действительных переменных или изучение функций комплексного переменного. Карл Фридрих Гаусс дал в 1799 году первое почти полное доказательство после попыток Д'Аламбера и Эйлера. Главное её следствие состоит в том, что полиномиальные уравнения не вынуждают расширять C\mathbb{C}, как уравнение x2=2x^2 = 2 вынудило расширить Q\mathbb{Q}, а уравнение x2=−1x^2 = -1 вынудило расширить R\mathbb{R}: всякий комплексный многочлен полностью раскладывается над C\mathbb{C}.

ТеоремаРазложение над полем комплексных чисел

Всякий многочлен PP степени n≥1n \geq 1 с комплексными коэффициентами и старшим коэффициентом ana_n есть произведение ana_n на nn линейных множителей, как в формуле ниже, где z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n комплексные числа, не обязательно различные. Корнями PP являются в точности числа zkz_k, и каждое из них входит в список столько раз, какова его кратность; следовательно, PP имеет ровно nn комплексных корней с учётом кратности.

P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)

Доказательство проводится индукцией по степени, как в уроке курса I о суммах, прогрессиях и индукции. Рисунок сопровождает его на комплексной плоскости многочленом P(z)=z5+2z4+2z3−4z2−11z+10P(z) = z^5 + 2z^4 + 2z^3 - 4z^2 - 11z + 10, корни которого суть 11 (двукратный), −2-2, −1+2i-1 + 2i и −1−2i-1 - 2i.

Доказательство

  1. a1z+a0=a1(z+a0a1)\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}

    База индукции: многочлен степени 11 есть его старший коэффициент, умноженный на единственный линейный множитель, корень которого равен −a0a1-\frac{a_0}{a_1}.

  2. P(z1)=0→P(z)=(z−z1)C(z),P(z)=(z−1)(z4+3z3+5z2+z−10)P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)

    Допустим, что теорема верна для многочленов степени nn, и пусть PP имеет степень n+1n + 1. По основной теореме алгебры PP имеет корень z1z_1; по теореме о множителе PP есть произведение z−z1z - z_1 на частное CC степени nn, старший коэффициент которого совпадает со старшим коэффициентом PP, как видно при сравнении членов высшей степени. В примере z1=1z_1 = 1, и синтетическое деление даёт частное из формулы.

  3. P(z)=(z−z1)an+1(z−z2)⋯(z−zn+1)=an+1(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn+1)P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}

    По предположению индукции CC есть его старший коэффициент an+1a_{n + 1}, умноженный на nn линейных множителей; после подстановки PP записывается так, как требовалось. По принципу индукции разложение существует для всякой степени n≥1n \geq 1.

  4. P(w)=an(w−z1)⋯(w−zn)=0↔w=z1∨⋯∨w=znP(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}

    Произведение комплексных чисел равно нулю, только если равен нулю один из сомножителей, и an≠0a_n \neq 0: число ww является корнем PP тогда и только тогда, когда оно совпадает с одним из zkz_k. Других корней, кроме перечисленных, нет.

  5. P(z)=an(z−r1)k1⋯(z−rs)ks,k1+k2+⋯+ks=nP(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}

    Сгруппируем одинаковые множители: если r1,…,rsr_1, \ldots, r_s суть различные корни и rjr_j встречается kjk_j раз, то частное от деления PP на (z−r1)k1(z - r_1)^{k_1} не обращается в нуль в r1r_1, поскольку оно есть произведение ненулевых множителей; значит, k1k_1 есть кратность r1r_1, и то же верно для остальных корней. Сумма кратностей равна nn; в примере 2+1+1+1=52 + 1 + 1 + 1 = 5.

Поскольку кратность каждого корня определена корректно, согласно уроку курса I о корнях многочленов, список z1,…,znz_1, \ldots, z_n определяется многочленом PP с точностью до порядка: разложение единственно. В дальнейшем корнями многочлена степени nn называется этот список из nn чисел с повторениями, которые указывает кратность. Если коэффициенты действительны, недействительные корни встречаются сопряжёнными парами по теореме о сопряжённых корнях из урока о комплексных числах; перемножив два множителя каждой пары, получаем действительный квадратный множитель и тем самым восстанавливаем разложение над полем действительных чисел из урока о корнях многочленов.