Углы и их измерение: градусы и радианы

Ориентированные углы

В элементарной геометрии угол есть фигура, образованная двумя лучами с общим началом, и его мера заключена между $0^\circ$ и $180^\circ$. Для изучения поворотов, таких как вращение колеса, стрелок часов или Земли вокруг своей оси, этого понятия недостаточно: важно, на сколько повернулось тело и в каком направлении, а поворот может состоять из нескольких оборотов. Поэтому угол рассматривается как результат поворота.

Ориентированный угол задаётся лучом, называемым начальной стороной, который поворачивается вокруг своего начала, называемого вершиной, до некоторого конечного положения, называемого конечной стороной, вместе с совершённым поворотом. Угол положителен, если поворот совершается в направлении, противоположном движению часовых стрелок (против часовой стрелки), и отрицателен, если он совершается в направлении движения часовых стрелок (по часовой стрелке). Нулевой угол есть тот, при котором поворота нет.

Одной и той же паре сторон может соответствовать много ориентированных углов: конечная сторона займёт одно и то же положение при повороте на четверть оборота против часовой стрелки, на три четверти оборота по часовой стрелке или на четверть оборота плюс полный оборот. Эти углы различны, так как описывают различные повороты, хотя и заканчиваются на одной и той же стороне; как они связаны, уточняет третий пункт урока.

Шестидесятеричная система

Самая древняя мера углов делит полный оборот на $360$ равных дуг и называет градусом угол, опирающийся на каждую из них: угол равен $g$ градусам, если его дуга в $g$ раз больше дуги одного градуса, так что мера в градусах пропорциональна длине дуги. Каждый градус делится на $60$ минут, а каждая минута на $60$ секунд. Эта система восходит к вавилонской астрономии, которая вела счёт по основанию шестьдесят, как объясняется в уроке курса I о позиционных системах счисления; число $360$ имеет то преимущество, что делится на $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ и $12$, среди прочих. Прямой угол равен $90^\circ$, развёрнутый угол равен $180^\circ$, а полный оборот $360^\circ$; отрицательный угол измеряется со знаком минус, так что четверть оборота по часовой стрелке равна $-90^\circ$. Угол в 40 градусов, 15 минут и 36 секунд, который записывают сокращённо, ставя после каждого числа знак градуса, один штрих для минут и два для секунд, в градусах равен приведённой ниже величине, то есть 40,26 градуса:

Однако число $360$ есть лишь соглашение: ничто в геометрии круга не выделяет его среди других чисел. Формулы длины дуги и площади сектора, а позднее и формулы тригонометрических функций, упрощаются, если измерять углы способом, который рождается из самой окружности.

Радиан

Идея состоит в том, чтобы измерять угол длиной дуги, на которую он опирается в окружности радиуса $1$ с центром в его вершине. Для этого нужно знать, что такое длина дуги, и здесь возникает трудность: дуга не является объединением отрезков, и её длина определяется как значение, к которому приближаются длины вписанных в неё ломаных, когда их стороны становятся всё короче, то есть с помощью предела. Её изучение относится к курсу «Математический анализ II», где вычисляются длины кривых и площади областей, ограниченных кривыми. Здесь принимаются приведённые ниже факты.

Факт, принимаемый без доказательства (длины и площади в круге). Всякая дуга окружности имеет длину, а всякая область, ограниченная отрезками и дугами, имеет площадь. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковую длину или одинаковую площадь; если фигура разбивается на две неперекрывающиеся, её мера равна сумме мер этих частей; и если одна область содержит другую, её площадь не меньше, а если разность содержит какой-нибудь круг, то больше. Кроме того, если две окружности имеют радиусы $r$ и $R$, дуги, на которые опирается в них один и тот же центральный угол, пропорциональны радиусам, и площадь круга радиуса $r$ равна $\pi r^2$.

Этот факт принимается без доказательства, потому что длины дуг и площади криволинейных областей определяются с помощью пределов и вычисляются с помощью интеграла в курсе «Математический анализ II». Его последняя часть предполагает известным число $\pi$, которое определяется сейчас: число $\pi$ есть половина длины единичной окружности, то есть окружности радиуса $1$. По пропорциональности дуг радиусам, применённой к углу в полный оборот, окружность радиуса $r$ имеет длину $2\pi r$, и отношение длины любой окружности к её диаметру всегда равно $\pi$. Принимается также, что число $\pi$ иррационально и что его десятичная запись начинается с 3,14159; в частности, $3 < \pi < 4$.

Чтобы измерять углы, нужно, кроме того, обходить окружность по длине дуги: выйти из некоторой точки, пройти по окружности заданную длину в одном или в другом направлении и знать, в какую точку придёшь. Всё, что этот раздел говорит об углах и о тригонометрических функциях, опирается на этот обход, поэтому стоит точно сформулировать, что о нём принимается. Формулировка дана на декартовой плоскости, для единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ и её точки $A = (1, 0)$; так как длины не меняются при перемещении фигур, она так же верна для любой окружности радиуса $1$ и любой начальной точки.

Аксиома (обход по длине дуги). Для каждого действительного числа $s$ существует единственная точка $P(s)$ единичной окружности, в которую приходят, выйдя из $A = (1, 0)$ и пройдя по окружности длину $\abs{s}$, против часовой стрелки, если $s > 0$, и по часовой стрелке, если $s < 0$, делая столько оборотов, сколько нужно; при $s = 0$ имеем $P(0) = A$. Этот обход обладает четырьмя приведёнными ниже свойствами.

1. Сцепление: если из точки $P(s)$ пройти длину $t \geq 0$ против часовой стрелки, то придёшь в $P(s + t)$; если пройти её по часовой стрелке, то придёшь в $P(s - t)$.
2. Периодичность: полный оборот в любом направлении проходит длину $2\pi$ окружности и возвращает в начальную точку; то есть $P(s + 2\pi) = P(s)$ для всякого действительного числа $s$.
3. Пол-оборота: обход против часовой стрелки сначала проходит верхнюю полуокружность справа налево. Точнее, $P(\pi) = (-1, 0)$, и если $0 \leq s < t \leq \pi$, то точки $P(s)$ и $P(t)$ имеют неотрицательную ординату, а абсцисса точки $P(s)$ больше абсциссы точки $P(t)$.
4. Покрытие: всякая точка единичной окружности есть $P(s)$ для некоторого действительного числа $s$.

Аксиома принимается без доказательства по той же причине, что и факт, принятый выше: длина дуги определяется с помощью предела, и её свойства доказываются в курсе «Математический анализ II»; покрытие, утверждающее, что при обходе окружности не пропускается ни одна точка, опирается, кроме того, на свойство промежуточного значения непрерывных функций, которое доказывается в курсе «Математический анализ I». Свойство пол-оборота имеет простое геометрическое истолкование. Если точка $(x, y)$ лежит на единичной окружности, квадрат её расстояния до точки $A$ таков:

Отсюда сказать, что абсцисса строго убывает вдоль верхней полуокружности, равносильно тому, чтобы сказать, что хорда, соединяющая $A$ с пройденной точкой, строго растёт вместе с дугой, пока не станет диаметром в конце пол-оборота. Когда в уроке о тригонометрических отношениях косинус числа $s$ будет определён как абсцисса точки $P(s)$, это свойство будет означать, что косинус строго убывает на $\icc{0}{\pi}$: эта монотонность не выводится, а есть само условие пол-оборота, прочитанное в координатах. Вместе с тем из этой аксиомы, из фактов о длинах и площадях и из принимаемого сразу ниже факта об отражениях выводится всё остальное, что используется об обходе: в этом уроке поведение на втором пол-обороте и то, что один оборот не проходит дважды через одну и ту же точку; в уроке об обратных тригонометрических функциях монотонность синуса и тангенса.

Факт, принимаемый без доказательства (отражения и поворот на пол-оборота). Отражение относительно прямой сохраняет расстояния, а вместе с ними и длины дуг, но меняет направление поворота на противоположное: оно переводит обход против часовой стрелки окружности с центром в точке этой прямой в обход по часовой стрелке той же длины, и наоборот. Поворот на пол-оборота вокруг точки, который есть композиция отражений относительно двух перпендикулярных прямых, проходящих через неё, сохраняет расстояния, длины и также направление поворота.

Этот факт относится к элементарной геометрии движений плоскости, которую этот курс не излагает. В координатах отражение относительно оси $x$ есть преобразование $(x, y) \mapsto (x, -y)$; оно переводит единичную окружность в себя, так как $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, и оставляет неподвижной точку $A = (1, 0)$. С его помощью второй пол-оборота обхода получается из первого.

Пусть дан ориентированный угол с вершиной в центре $O$ единичной окружности, и пусть $A$ есть точка, в которой начальная сторона пересекает эту окружность. Когда сторона поворачивается, точка $A$ проходит дугу окружности, как в аксиоме выше. Радианная мера угла есть длина этой дуги, взятая со знаком плюс, если поворот совершается против часовой стрелки, и со знаком минус, если по часовой стрелке; если поворот состоит из нескольких оборотов, каждый полный оборот добавляет длину $2\pi$ окружности.

Угол, измеренный в радианах, есть безразмерное действительное число: это отношение длины дуги к длине радиуса, равной $1$. Поэтому для угла в два радиана пишут просто $\theta = 2$; когда хотят подчеркнуть единицу измерения, пишут 2 рад. Напротив, мера в градусах всегда указывается своим знаком, как в $30^\circ$. Обратно, всякое действительное число есть мера некоторого ориентированного угла: по аксиоме обхода для каждого $\theta$ точка $A$ может пройти по окружности длину $\abs{\theta}$ в направлении, указанном знаком числа $\theta$, делая столько полных оборотов, сколько нужно, и луч, идущий из вершины в достигнутую точку, есть конечная сторона.

Перевод градусов в радианы и обратно

Так как полный оборот равен $360^\circ$ и одновременно $2\pi$ радиан, и так как обе меры пропорциональны длине дуги, на которую угол опирается на единичной окружности (градусная по определению градуса, радианная потому, что она и есть эта длина), две меры угла пропорциональны.

На практике для перевода из градусов в радианы умножают на $\frac{\pi}{180}$, а для перевода из радианов в градусы на $\frac{180}{\pi}$. Так, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$; угол в $2$ радиана равен $\frac{360}{\pi}$ градусам, приблизительно 114,6 градуса.

Длина дуги и площадь сектора

В окружности радиуса $r$ центральный угол $\theta$ опирается на дугу, и две стороны угла вместе с этой дугой ограничивают круговой сектор. Радианная мера придаёт его формулам особенно простой вид.

Если бы угол измерялся в градусах, формулы содержали бы множитель перевода: дуга была бы равна $\frac{\pi r g}{180}$, а площадь сектора $\frac{\pi r^2 g}{360}$. Простота формулы $s = r\theta$ есть главная причина, по которой предпочитают радиан. Кроме того, формула даёт меру угла в любой окружности, а не только в единичной: $\theta = \frac{s}{r}$ есть отношение дуги к радиусу и не зависит от выбранного радиуса.

Вписанный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Если $A$, $B$ и $C$ суть три различные точки окружности, то угол, образованный в $C$ хордами $CA$ и $CB$, называется вписанным углом, и говорят, что он опирается на дугу с концами $A$ и $B$, не содержащую $C$. По теореме, доказанной выше, дуге длины $s$ окружности радиуса $r$ соответствует центральный угол в $\frac{s}{r}$ радиан, даже если это число больше $\pi$. Чтобы сравнить вписанный угол с центральным, принимаются приведённые ниже факты элементарной геометрии, которые этот курс не доказывает, так как не излагает синтетическую геометрию. Первые два измеряют углы треугольника; последние два суть факты о расположении, которые говорят, как распределяются углы и дуги, когда луч проходит через внутренность угла.

Факт, принимаемый без доказательства (углы треугольника и расположение на окружности). Принимаются четыре приведённых ниже утверждения, в которых неориентированные углы измеряются в радианах, от $0$ до $\pi$.

1. Сумма углов: три угла треугольника в сумме дают развёрнутый угол, то есть $\pi$ радиан.
2. Равнобедренный треугольник: в треугольнике с двумя равными сторонами углы, противолежащие этим сторонам, равны.
3. Сумма смежных углов: если луч, выходящий из вершины угла, проходит через его внутренность, то он делит угол на два угла, меры которых в сумме дают меру данного угла.
4. Положение центра: пусть $A$, $B$ и $C$ суть три различные точки окружности с центром $O$, и пусть $D$ есть другой конец диаметра, выходящего из $C$. Если $O$ не лежит ни на хорде $CA$, ни на хорде $CB$, то возможно одно из двух. Либо $O$ лежит внутри угла, образованного в $C$ этими хордами, и тогда луч, идущий из $C$ в $D$, проходит через эту внутренность, а $D$ лежит на дуге с концами $A$ и $B$, не содержащей $C$. Либо $O$ лежит вне этого угла, и тогда одна из точек $A$ и $B$, которую можно назвать $A$, лежит на дуге с концами $D$ и $B$, не содержащей $C$, а луч, идущий из $C$ в $A$, проходит через внутренность угла, образованного в $C$ хордами $CD$ и $CB$.

Точки, не лежащие на окружности, видят хорду под другими углами. Приведённый ниже результат также принимается из элементарной геометрии: он получается из теоремы, доказанной выше, и из предложения 21 книги I «Начал» Евклида, согласно которому точка внутри треугольника видит одну из его сторон под большим углом, чем противолежащая вершина; но его доказательство требует знать, где отрезки, выходящие из точки, пересекают окружность, а это вопрос о расположении, который этот курс не излагает. Он будет использован в последней решённой задаче урока об обратных тригонометрических функциях.

Факт, принимаемый без доказательства (углы из внутренних и внешних точек). Пусть $A$ и $B$ суть две точки окружности, а $\gamma$ есть общая мера вписанных углов с концами $A$ и $B$, вершина которых лежит на одной из двух определяемых ими дуг. Если $Q$ есть точка, не лежащая на окружности и расположенная по ту же сторону от прямой $AB$, что и эта дуга, то угол, образованный в $Q$ отрезками $QA$ и $QB$, меньше $\gamma$, если $Q$ лежит вне круга, и больше $\gamma$, если внутри.

Стандартное положение и углы с общей конечной стороной

На декартовой плоскости, изученной в уроке курса I об уравнении прямой, у каждого угла есть привилегированное положение.

Ориентированный угол находится в стандартном положении, если его вершина есть начало координат, а начальная сторона есть положительная полуось $x$. Тогда его конечная сторона есть луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $P(\theta)$ аксиомы обхода, то есть через ту точку единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$, в которую приходят, пройдя от $(1, 0)$ дугу длины $\abs{\theta}$ в направлении, указанном знаком числа $\theta$. Два угла называются углами с общей конечной стороной, если в стандартном положении у них одна и та же конечная сторона.

Оси делят плоскость на четыре четверти, занумерованные против часовой стрелки начиная с той, которая содержит точки с положительными координатами. Угол в стандартном положении лежит в той четверти, которая содержит его конечную сторону; если она попадает на ось, угол называется углом, кратным прямому. Координаты точки $P(\theta)$ суть косинус и синус числа $\theta$, которые будут изучаться в уроке, идущем сразу за этим, о тригонометрических отношениях.

Полный оборот в любом направлении возвращает сторону в её положение по периодичности обхода: угол $\theta + 2\pi$ имеет общую конечную сторону с $\theta$, и то же верно для $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ и вообще для $\theta + 2k\pi$, где $k$ целое. Поэтому, чтобы узнать, где заканчивается произвольный угол, достаточно отбросить полные обороты, как отбрасываются кратные делителя в уроке курса I о делимости и делении с остатком. Теорема, которая приводится ниже, есть вещественный вариант того деления: делитель равен $2\pi$, частное есть число оборотов, а остаток есть оставшийся угол.

Число $\theta_0$ называется приведением угла $\theta$ к первому обороту. В градусах то же рассуждение, с $360$ вместо $2\pi$, приводит любой угол к углу от $0^\circ$ до $360^\circ$, не включая последний: например, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. С помощью приведения распознаются все углы, заканчивающиеся на одной и той же стороне; прежде нужно знать, что один оборот не проходит дважды через одну и ту же точку, а это выводится из аксиомы обхода.

Отсюда следует, что углы, имеющие общую конечную сторону с $\theta$, это в точности углы вида $\theta + 2k\pi$, где $k$ целое, и что четверть угла определяется его приведением: угол лежит в первой четверти, если $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, во второй, если $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, в третьей, если $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$, и в четвёртой, если $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$; он кратен прямому, если $\theta_0$ равно $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ или $\frac{3\pi}{2}$. Так, угол $-\frac{23\pi}{6}$ лежит в первой четверти, а угол $1000^\circ$, приведение которого равно $280^\circ$, в четвёртой.

Наконец, всякая точка единичной окружности есть точка $P(\theta)$ некоторого угла: это свойство покрытия из аксиомы обхода, которое говорит, что, обходя окружность от $(1, 0)$, проходишь через все её точки. Если это так, то по приведению к первому обороту, периодичности и лемме об углах с общей конечной стороной каждая точка единичной окружности есть $P(\theta)$ для единственного $\theta$ из $\ico{0}{2\pi}$, а соответствующие ей углы суть в точности углы, имеющие общую конечную сторону с этим $\theta$.

Угловая скорость и линейная скорость

Когда тело вращается вокруг оси, все его точки описывают дуги окружностей с центрами на оси, и все они поворачиваются на один и тот же угол за одно и то же время. Если за время $t$ тело равномерно поворачивается на угол $\theta$, то его угловая скорость есть отношение $\omega = \frac{\theta}{t}$, которое измеряется в радианах в секунду; её выражают также в оборотах в минуту, и так как оборот составляет $2\pi$ радиан, а минута $60$ секунд, один оборот в минуту равен $\frac{\pi}{30}$ радиан в секунду.

Точка, находящаяся на расстоянии $r$ от оси, проходит за это время дугу длины $s = r\theta$ по теореме о длине дуги. Поэтому её линейная скорость, то есть отношение пройденного расстояния ко времени, равна произведению радиуса на угловую скорость:

Отсюда следует, что во вращающемся теле угловая скорость одинакова для всех точек, тогда как линейная растёт пропорционально расстоянию до оси: край вращающегося диска движется быстрее, чем точки вблизи центра. Это соотношение, верное лишь тогда, когда углы измеряются в радианах, служит отправной точкой изучения движения по окружности в курсе «Основы механики». Два колеса, соединённые ремнём или цепью, которые не проскальзывают, или находящиеся в зацеплении друг с другом, имеют в точке контакта одинаковую линейную скорость; поэтому $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, и меньшее колесо вращается быстрее, как будет видно в решённой задаче 3.

Решённые задачи

Задачи измеряют Землю по одному углу, вычисляют площадь кругового сегмента, передают вращение цепью, ищут сектор наибольшей площади при данном периметре и подсчитывают совпадения стрелок часов. Каждая требует собственной идеи, которую стоит поискать до того, как читать решение.

Эратосфен выразил расстояние в стадиях, точное значение которых обсуждается; при принятом здесь числе меридиан имеет длину 40000 км, и не случайно: в конце XVIII века метр был определён как одна десятимиллионная часть четверти меридиана. С другой стороны, Александрия лежит не точно к северу от Сиены, а примерно на три градуса западнее, так что соединяющая их дуга не вполне есть дуга меридиана.