Производная как предел функции

Краткое содержание

В этом занятии производная функции в точке определяется как предел: предел угловых коэффициентов секущих, который есть угловой коэффициент касательной, и предел средних скоростей, который есть мгновенная скорость. Уточняется, в каких точках определение имеет смысл, вводятся односторонние производные, касательная и нормаль, производная функция и обозначение Лейбница, и доказывается, что производная допускает три равносильные формулировки: предел разностного отношения, приближение прямой с пренебрежимо малой погрешностью и разложение Каратеодори. Из последней следует, что всякая дифференцируемая функция непрерывна; модуль и кубический корень показывают, что обратное утверждение неверно.

Цели обучения

Определить производную функции в точке как предел разностного отношения и истолковать её как угловой коэффициент касательной и как мгновенную скорость.
Вычислять односторонние производные и с их помощью решать, дифференцируема ли функция в точке.
Доказать равносильность разностного отношения, линейного приближения и критерия Каратеодори.
Доказать, что всякая функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в ней, и распознавать непрерывные функции, которые не являются дифференцируемыми.

Касательная и скорость

На занятии об уравнении параболы прямая является касательной к кривой в точке, если встречает её только в этой точке, не пересекая её. Этой идеи достаточно для конических сечений, но не для любой кривой. В начале координат кривая $y = x^3$ лежит ниже горизонтальной оси слева и выше неё справа: всякая прямая, проходящая через начало координат, пересекает её, а прямые $y = mx$ при $m < 0$ встречают её только в этой точке, поскольку равенство $x^3 = mx$ требует $x = 0$ или $x^2 = m$ . Ни одна прямая не удовлетворяет условию, и тем не менее горизонтальная ось на глаз есть прямая, которая лучше всего следует за кривой вблизи начала координат. Поэтому нужно другое определение, которое зависело бы не от формы кривой в целом, а только от того, что происходит вблизи точки.

Идея давняя: касательная есть предельное положение секущих. Рассмотрим функцию $f$ и точку $(a, f(a))$ её графика. При $h \neq 0$ секущая, проходящая через $(a, f(a))$ и через $(a + h, f(a + h))$ , имеет угловой коэффициент

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Когда $h$ приближается к $0$ , вторая точка приближается к первой, и если угловые коэффициенты имеют предел, то прямая, проходящая через $(a, f(a))$ с этим угловым коэффициентом, есть кандидат в касательные.

ПримерСекущие параболы

Пусть $f(x) = x^2$ и $a = 1$ . Вычислим угловые коэффициенты нескольких секущих, проходящих через точку $(1, 1)$ , а затем их предел. На рисунке показана каждая секущая и, в конце, касательная.

Доказательство

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
При $h = 1$ секущая проходит через $(1, 1)$ и $(2, 4)$ .
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
При $h = \frac{1}{2}$ вторая точка есть $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ , и угловой коэффициент уменьшается.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
В общем случае, для всякого $h \neq 0$ , положительного или отрицательного, угловой коэффициент упрощается; при $h = \frac{1}{4}$ он равен $\frac{9}{4}$ .
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
Когда $h$ стремится к $0$ , угловой коэффициент стремится к $2$ . Прямая, проходящая через $(1, 1)$ с угловым коэффициентом $2$ , есть касательная; это та же прямая, которую дала лемма о касательной в точке параболы на занятии о параболе, при $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ .

Тот же предел возникает при изучении движения. Если $s(t)$ есть положение в момент $t$ точки, движущейся по прямой, то отношение $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ есть её средняя скорость между моментами $t_0$ и $t_0 + h$ : перемещение, делённое на затраченное время. Скорость в момент $t_0$ , которую показал бы спидометр, есть предел средних скоростей, когда $h$ стремится к $0$ . Например, если $s(t) = t^2 - 4t$ , то средняя скорость между $1$ и $1 + h$ равна $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ и стремится к $-2$ : в момент $1$ точка движется влево со скоростью две единицы длины за единицу времени. Оба вопроса, о касательной и о скорости, ведут к одному и тому же пределу, и именно этот предел определяется ниже.

Производная в точке

Как и на занятии о пределе функции, сначала нужно уточнить, где предел имеет смысл. Отношению нужно значение $f(a)$ , так что $a$ должно принадлежать области определения; а предел при стремлении $x$ к $a$ требует, чтобы $a$ было предельной точкой области определения.

ОпределениеПроизводная функции в точке

Пусть $f$ есть действительная функция, определённая на множестве $A$ действительных чисел, и $a$ есть элемент $A$ , являющийся предельной точкой $A$ . Разностным отношением функции $f$ в точке $a$ называется функция $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , определённая для тех $x$ из $A$ , которые отличны от $a$ . Говорят, что $f$ дифференцируема в точке $a$ , если разностное отношение имеет действительный предел $L$ при стремлении $x$ к $a$ ; это число называется производной функции $f$ в точке $a$ и обозначается $f'(a)$ :

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Отношение определено на $A \setminus \{a\}$ , и $a$ является предельной точкой этого множества, поскольку определение предельной точки учитывает только элементы, отличные от $a$ . В силу единственности предела производная, если она существует, единственна. В изолированной точке области определения производная не определяется, хотя всякая функция в ней непрерывна. А если отношение стремится к $\infty$ или к $-\infty$ , то функция не дифференцируема в $a$ : производная есть действительное число. Определение часто записывают через приращение $h = x - a$ вместо точки $x$ , как в примере.

УтверждениеПроизводная через приращение аргумента

При условиях определения, если рассматривать $f(a + h)$ только там, где это выражение определено:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

Это замена переменной $x = a + h$ , которую предложение о сдвиге и отражении на занятии об односторонних пределах выполнило для одной стороны, а теперь она делается для обеих сторон сразу.

Доказательство

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
Пусть $Q(x)$ есть разностное отношение. Функция $g(h) = a + h$ , рассматриваемая для тех $h \neq 0$ , при которых $a + h$ лежит в $A$ , стремится к $a$ , не принимает значения $a$ , и её значения лежат в области определения $Q$ . По теореме о пределе композиции из занятия об арифметических свойствах пределов, если $Q$ стремится к $L$ в точке $a$ , то и $Q(a + h)$ стремится к $L$ в точке $0$ .
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
Обратно, функция $x - a$ , рассматриваемая для тех $x$ из $A$ , которые отличны от $a$ , стремится к $0$ и не принимает значения $0$ ; в композиции с $h \mapsto Q(a + h)$ она даёт отношение $Q(x)$ , которое стремится к тому же пределу.

Первые производные вычисляются непосредственно. Если $f(x) = mx + b$ , то разностное отношение равно $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ при всяком $h \neq 0$ , и его предел равен $m$ : производная линейной функции в каждой точке есть её угловой коэффициент, а её касательная есть сама эта прямая. В частности, производная постоянной равна $0$ , а производная тождественной функции $f(x) = x$ равна $1$ . Для $f(x) = x^2$ вычисление из примера, с $a$ вместо $1$ , даёт $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , и производная равна $2a$ .

Односторонние производные

На концах промежутка или в точке, где функция меняет формулу, разностное отношение полезно рассматривать с каждой стороны отдельно.

ОпределениеОдносторонние производные

Пусть $a$ есть элемент $A$ , являющийся предельной точкой $A \cap \ioo{a}{\infty}$ . Говорят, что $f$ дифференцируема справа в точке $a$ , если разностное отношение имеет действительный предел справа в $a$ ; этот предел называется производной справа и обозначается $f'_+(a)$ :

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Аналогично, если $a$ есть предельная точка $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , то производная слева $f'_-(a)$ есть предел слева разностного отношения, с условием $a - \delta < x < a$ .

УтверждениеПроизводная и односторонние производные

Пусть $a$ есть элемент $A$ .

Если $a$ является предельной точкой и $A \cap \ioo{a}{\infty}$ , и $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , то $f$ дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда обе односторонние производные существуют и равны; в этом случае $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ .
Если $a$ является предельной точкой точек $A$ , лежащих только с одной стороны, то $f$ дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда она дифференцируема с этой стороны, и производная равна односторонней производной.

Никакого нового рассуждения не нужно: односторонние производные суть односторонние пределы разностного отношения, а занятие об односторонних пределах уже связало их с пределом.

Доказательство

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
В первом случае теорема о пределе и односторонних пределах, применённая к разностному отношению, даёт равносильность.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
Во втором случае на том же занятии было замечено, что если $a$ является предельной точкой точек области определения, лежащих только с одной стороны, то предел и односторонний предел с этой стороны совпадают: существует такое $r > 0$ , что все $x$ из $A$ с $0 < \abs{x - a} < r$ лежат с этой стороны.

Например, модуль имеет в точке $0$ разностное отношение $\frac{\abs{x}}{x}$ , равное $1$ при $x > 0$ и $-1$ при $x < 0$ : его односторонние производные равны $f'_+(0) = 1$ и $f'_-(0) = -1$ , они различны, и $\abs{x}$ не дифференцируема в $0$ . Напротив, если функция определена на $\icc{0}{1}$ , то её производная в $0$ есть её производная справа, а в $1$ есть её производная слева: определение уже рассматривает концы области определения как единственные стороны. Например, функция $f(x) = x$ , суженная на $\icc{0}{1}$ , дифференцируема в $0$ , причём $f'(0) = 1$ .

Касательная и нормаль

С появлением производной касательная перестаёт быть фигурой, которую узнают на глаз, и становится прямой, которую вычисляют.

ОпределениеКасательная и нормаль

Пусть $f$ дифференцируема в $a$ . Касательной к графику функции $f$ в точке $(a, f(a))$ называется прямая, проходящая через эту точку с угловым коэффициентом $f'(a)$ :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Нормалью в той же точке называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через эту точку: если $f'(a) \neq 0$ , то это прямая $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ , а если $f'(a) = 0$ , то это вертикальная прямая $x = a$ .

Угловой коэффициент нормали получается из теоремы о перпендикулярных прямых из занятия об уравнении прямой: две невертикальные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ . Вернёмся к кривой $y = x^3$ : её разностное отношение в точке $0$ равно $x^2$ и стремится к $0$ , так что касательная в начале координат есть горизонтальная ось, хотя она и пересекает кривую. Когда $f$ непрерывна в $a$ , а разностное отношение стремится к $\infty$ или к $-\infty$ , секущие приближаются к вертикали; тогда говорят, что график имеет в точке $(a, f(a))$ вертикальную касательную, прямую $x = a$ , хотя $f$ не дифференцируема в $a$ .

Аналогично, если $s(t)$ есть положение точки, движущейся по прямой, то её скорость в момент $t_0$ есть $s'(t_0)$ , если эта производная существует. Знак скорости указывает направление движения, а её абсолютная величина есть модуль скорости. Занятие о скорости изменения разовьёт это истолкование.

Производная функция и обозначение Лейбница

Каждая точка, в которой $f$ дифференцируема, даёт число, производную в этой точке. Из всех этих чисел составляется новая функция.

ОпределениеПроизводная функция

Пусть $f$ есть функция, определённая на $A$ . Производной функцией для $f$ называется функция $f'$ , которая каждой точке $x$ из $A$ , где $f$ дифференцируема, ставит в соответствие число $f'(x)$ ; её область определения есть множество этих точек. Если $f$ дифференцируема во всех точках множества $S$ , содержащегося в $A$ , то говорят, что она дифференцируема на $S$ ; а если она дифференцируема во всей своей области определения, то говорят просто, что она дифференцируема.

Например, производная функции $x^2$ есть функция $2x$ , определённая на всём $\mathbb{R}$ ; производная модуля равна $1$ на $\ioo{0}{\infty}$ и $-1$ на $\ioo{-\infty}{0}$ , и её область определения не содержит $0$ . Обозначение $f'$ , со штрихом, принадлежит Лагранжу. Другое употребительное обозначение принадлежит Лейбницу: если $y = f(x)$ , то производная записывается как $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ или $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , а операция дифференцирования по $x$ записывается как $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ перед дифференцируемым выражением:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

Обозначение напоминает, откуда берётся производная. Если $\Delta x$ есть приращение переменной, а $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ есть соответствующее приращение функции, то разностное отношение есть $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , а производная есть его предел:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Следует подчеркнуть, что пока $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ есть единый символ, а не отношение: $\mathrm{d}y$ и $\mathrm{d}x$ по отдельности ещё не имеют смысла; они его получат на занятии о производных высших порядков и дифференциале. Обозначение явно указывает переменную, по которой дифференцируют: если положение зависит от времени, скорость записывается как $s'(t)$ или $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ .

Три критерия дифференцируемости

Определение говорит, что разностное отношение стремится к $f'(a)$ . Есть ещё два способа сказать то же самое, каждый полезен для своей цели: второй сравнивает функцию с её касательной; третий обходится без деления.

ТеоремаКритерии дифференцируемости

Пусть $f$ есть функция, определённая на $A$ , $a$ есть элемент $A$ , являющийся предельной точкой $A$ , и $L$ есть действительное число. Следующие три утверждения равносильны:

Разностное отношение. Функция $f$ дифференцируема в $a$ , и $f'(a) = L$ .
Линейное приближение. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ при стремлении $h$ к $0$ ; иначе говоря, остаток $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ удовлетворяет условию $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ .
Каратеодори. Существует функция $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ , непрерывная в $a$ , с $\varphi(a) = L$ , такая что $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ для всякого $x$ из $A$ .

Здесь $\operatorname{o}$ малое понимается так же, как на занятии об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, причём $f(a + h)$ рассматривается только там, где это выражение определено. Функция $\varphi$ есть угловой коэффициент секущей, доопределённый в $a$ производной. На рисунке для $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ и $a = 1$ показаны остаток между кривой и касательной, секущая и, в конце, график $\varphi$ , который в этом случае есть прямая $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ .

Доказательство

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
Первое и второе: частное от деления остатка на $h$ есть разностное отношение минус $L$ . По лемме о пределе как расстоянии, стремящемся к нулю, из занятия об арифметических свойствах пределов, оно стремится к $0$ тогда и только тогда, когда разностное отношение стремится к $L$ , а по выражению производной через приращение аргумента это равносильно $f'(a) = L$ .
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
От первого к третьему: определим $\varphi$ как разностное отношение вне $a$ и как $L$ в $a$ . Равенство выполняется при всяком $x \neq a$ по определению, а при $x = a$ потому, что обе его части равны $0$ . Так как $a$ есть предельная точка $A$ и предел $\varphi$ в $a$ равен $L = \varphi(a)$ , предложение о непрерывности и пределе из занятия о пределе и непрерывности даёт непрерывность $\varphi$ в $a$ .
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
От третьего к первому: при $x \neq a$ делим на $x - a$ , и разностное отношение оказывается сужением $\varphi$ на $A \setminus \{a\}$ . Так как $\varphi$ непрерывна в $a$ , по тому же предложению она стремится к $\varphi(a) = L$ , а по лемме о пределе сужения из занятия об арифметических свойствах пределов туда же стремится и отношение.

Функция $\varphi$ из третьего критерия, если она существует, единственна: вне $a$ она есть разностное отношение, а в $a$ её значение есть предел этого отношения. Второй критерий объясняет, в каком смысле касательная есть прямая, лучше всего следующая за кривой. Если заменить $f(a + h)$ на $f(a) + mh$ с угловым коэффициентом $m$ , отличным от $f'(a)$ , то погрешность равна $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ , и её частное от деления на $h$ стремится к $f'(a) - m \neq 0$ : она того же порядка, что и $h$ . Только при угловом коэффициенте $f'(a)$ погрешность пренебрежимо мала по сравнению с $h$ . Третий критерий даёт техническое преимущество: это равенство между произведениями, без делений. Занятия о правилах дифференцирования и о правиле дифференцирования сложной функции будут пользоваться им, чтобы не делить на величины, которые могут обращаться в нуль. Первое следствие получается сразу.

ТеоремаИз дифференцируемости следует непрерывность

Если $f$ дифференцируема в $a$ , то $f$ непрерывна в $a$ . Разложение Каратеодори записывает $f$ с помощью операций над функциями, непрерывными в $a$ .

Доказательство

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
По теореме о критериях дифференцируемости существует $\varphi$ , непрерывная в $a$ , такая что $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ для всякого $x$ из $A$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
Постоянная $f(a)$ и многочлен $x - a$ непрерывны в $a$ , и $\varphi$ тоже. По теореме об операциях над непрерывными функциями из занятия о пределе и непрерывности сумма постоянной и произведения непрерывна в $a$ .

Обратное утверждение неверно. Непрерывность требует, чтобы разность $f(x) - f(a)$ стремилась к $0$ ; дифференцируемость требует большего: чтобы частное от деления этой разности на $x - a$ имело предел, то есть чтобы разность стремилась к $0$ по меньшей мере так же быстро, как $x - a$ , и не колебалась между различными угловыми коэффициентами.

УтверждениеНепрерывность без дифференцируемости

Модуль и кубический корень непрерывны в $0$ и не дифференцируемы в $0$ : у первого односторонние производные различны, а разностное отношение второго стремится к $\infty$ , так что его график имеет в начале координат вертикальную касательную. Обе функции непрерывны по следствию об известных непрерывных функциях из занятия о пределе и непрерывности. На рисунке показаны для модуля два односторонних угловых коэффициента, а для кубического корня секущие, становящиеся всё круче.

Доказательство

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
Разностное отношение модуля в $0$ равно $1$ справа и $-1$ слева. Односторонние производные различны, и по предложению о производной и односторонних производных $\abs{x}$ не дифференцируема в $0$ .
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
Разностное отношение кубического корня в $0$ есть величина, обратная к выражению $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ , которое положительно при $x \neq 0$ и стремится к $0$ в силу непрерывности корня. По лемме об обратной величине из занятия о бесконечных пределах отношение стремится к $\infty$ и не имеет действительного предела.

Обе функции нарушают дифференцируемость лишь в одной точке, но существуют функции, непрерывные на всей прямой и не дифференцируемые ни в одной точке; Вейерштрасс в 1872 году предложил самый знаменитый пример, построение которого выходит за рамки этого курса.

Решённые задачи

Задачи расположены по возрастанию трудности: в первой вычисляется производная, которая перестаёт существовать на границе области определения; во второй касательная помогает обнаружить свойство гиперболы; третья показывает, что односторонние производные могут не существовать; четвёртая показывает, что функция может быть дифференцируема лишь в одной точке; а последняя сочетает разложение Каратеодори с односторонними производными.

Решённая задача 1Квадратный корень на границе области определения

Исследовать дифференцируемость функции $f(x) = \sqrt{x}$ , определённой на $\ico{0}{\infty}$ , и найти касательную в точке с абсциссой $4$ .

Решение

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
При $a > 0$ разностное отношение есть неопределённость вида $\frac{0}{0}$ ; умножаем и делим на сопряжённое выражение.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
В силу непрерывности корня знаменатель стремится к $2\sqrt{a} \neq 0$ , и по теореме о пределе обратной величины из занятия об арифметических свойствах пределов отношение стремится к $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . При $a = 4$ производная равна $\frac{1}{4}$ , и касательная проходит через $(4, 2)$ .
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
В точке $a = 0$ точки области определения есть только справа, и по предложению о производной и односторонних производных производная есть производная справа. Отношение равно $\frac{1}{\sqrt{h}}$ , и так как $\sqrt{h}$ положительно и стремится к $0$ , лемма об обратной величине даёт $\infty$ .
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
Итак, $\sqrt{x}$ дифференцируема на $\ioo{0}{\infty}$ и не дифференцируема в $0$ , где она непрерывна и её график имеет вертикальную касательную $x = 0$ . Производная функция имеет меньшую область определения, чем сама функция.

Решённая задача 2Касательная к гиперболе

Доказать, что касательная к $y = \frac{1}{x}$ в точке $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ , где $a > 0$ , образует с осями треугольник площади $2$ , каково бы ни было $a$ , и что точка касания есть середина отрезка, который оси отсекают на касательной.

Решение

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
Разностное отношение упрощается после вычитания дробей; по теореме о пределе обратной величины его предел равен $-\frac{1}{a^2}$ .
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
Касательная проходит через $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ с этим угловым коэффициентом.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
При $y = 0$ получается точка пересечения с горизонтальной осью, а при $x = 0$ точка пересечения с вертикальной. Середина между ними есть точка касания.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
Треугольник имеет катеты $2a$ и $\frac{2}{a}$ , лежащие на осях. Его площадь не зависит от $a$ : на рисунке показаны два таких треугольника, разной формы и одинаковой площади.

Решённая задача 3Непрерывная и без односторонних производных

Пусть $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ и $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ при $x \neq 0$ , и $f(0) = g(0) = 0$ . Доказать, что $f$ непрерывна в $0$ и не имеет в $0$ ни производной, ни односторонних производных, а $g$ дифференцируема в $0$ , причём $g'(0) = 0$ .

Решение

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
По решённой задаче 3 из занятия о пределе и непрерывности $f$ непрерывна в $0$ . Её разностное отношение в $0$ равно $\sin \frac{1}{x}$ .
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
В задаче 3 для самостоятельного решения из занятия о пределе было доказано, что $\sin \frac{1}{x}$ не имеет предела в $0$ , с помощью двух семейств положительных точек, в которых она равна $1$ и $-1$ . То же рассуждение исключает предел справа; с противоположными точками, в которых она равна $-1$ и $1$ , исключается предел слева.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
Напротив, разностное отношение $g$ равно $x \sin \frac{1}{x}$ , то есть произведению ограниченной функции на функцию, стремящуюся к $0$ ; по теореме из занятия о теореме о двух милиционерах оно стремится к $0$ .
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
Обе функции колеблются бесконечно много раз вблизи $0$ . Колебание $f$ ограничено величиной $\abs{x}$ , которая того же порядка, что и знаменатель $x - 0$ , и отношение продолжает колебаться; колебание $g$ ограничено величиной $x^2$ , которая пренебрежимо мала по сравнению с $x$ , и отношение затухает.

Решённая задача 4Дифференцируемая лишь в одной точке

Пусть $f$ есть функция, равная $x^2$ , если $x$ рационально, и $0$ , если $x$ иррационально. Доказать, что $f$ дифференцируема в $0$ , причём $f'(0) = 0$ , и не дифференцируема ни в какой другой точке.

Решение

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
Пусть $g$ есть функция из решённой задачи 5 из занятия о пределе и непрерывности, равная $x$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Тогда $f(x) = x \, g(x)$ для всякого $x$ , в обоих случаях.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
В $0$ разностное отношение равно $g(x)$ и стремится к $g(0) = 0$ , потому что в той задаче было доказано, что $g$ непрерывна в $0$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
Пусть $a \neq 0$ . Если бы $f$ была непрерывна в $a$ , то была бы непрерывна и $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ , по правилу частного из теоремы об операциях над непрерывными функциями, поскольку знаменатель в $a$ не равен нулю; но в той же задаче было доказано, что $g$ разрывна в $a$ . Следовательно, $f$ разрывна в $a$ , и по теореме о том, что из дифференцируемости следует непрерывность, она не дифференцируема в $a$ .

Решённая задача 5Модуль дифференцируемой функции

Пусть $f$ есть функция, определённая на открытом интервале, содержащем $a$ , дифференцируемая в $a$ , причём $f(a) = 0$ . Доказать, что $F = \abs{f}$ имеет в $a$ односторонние производные $\abs{f'(a)}$ и $-\abs{f'(a)}$ , так что она дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда $f'(a) = 0$ . Применить это к $\abs{\sin x}$ и к $\abs{x^3}$ в $0$ .

Решение

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
По критерию Каратеодори $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , где $\varphi$ непрерывна в $a$ и $\varphi(a) = f'(a)$ . При переходе к модулям множитель $\abs{x - a}$ равен $x - a$ справа и $a - x$ слева.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
Функция $\abs{\varphi}$ непрерывна в $a$ по теореме о композиции непрерывных функций и стремится к $\abs{f'(a)}$ . По предложению о производной и односторонних производных $F$ дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда обе односторонние производные совпадают, то есть когда $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ .
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
Синус удовлетворяет равенству $\sin 0 = 0$ , и его разностное отношение в $0$ есть $\frac{\sin x}{x}$ , которое стремится к $1$ по первому замечательному пределу: $\abs{\sin x}$ имеет в $0$ односторонние производные $1$ и $-1$ и не дифференцируема. Куб имеет в $0$ отношение $x^2$ , которое стремится к $0$ : $\abs{x^3}$ дифференцируема в $0$ , и её производная равна $0$ .

Задачи для самостоятельного решения

Задачи расположены по возрастанию трудности: в первой производная прочитывается в геометрии круга и шара; во второй ищутся нормали, проходящие через данную точку; третья показывает, что односторонняя производная может существовать там, где функция делает скачок; четвёртая сравнивает касательную, найденную через производную, с касательной к окружности; а в последней изучается отношение, похожее на производную, но ею не являющееся. У каждой есть подсказка, которую лучше открывать только после собственной попытки.

Задача для самостоятельного решения 1Площадь круга и объём шара

Пусть $A(r) = \pi r^2$ есть площадь круга радиуса $r$ , а $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ есть объём шара радиуса $r$ . Вычислить по определению $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ и $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ и узнать каждый результат.

Подсказка

Раскрой $(r + h)^2$ и $(r + h)^3$ и упрости разностное отношение, прежде чем переходить к пределу. Приращение площади есть площадь кольца ширины $h$ .

Ответ

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

Это длина окружности и площадь сферы.

Задача для самостоятельного решения 2Нормали, проходящие через точку

Найти все точки параболы $y = x^2$ , нормаль в которых проходит через точку $(0, 1)$ , и записать эти нормали.

Подсказка

Нормаль в $(a, a^2)$ имеет угловой коэффициент $-\frac{1}{2a}$ при $a \neq 0$ ; потребуй, чтобы она проходила через $(0, 1)$ . Не забудь случай $a = 0$ , когда производная обращается в нуль и нормаль вертикальна.

Ответ

Три точки: $(0, 0)$ с нормалью $x = 0$ и $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ с нормалями $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

Задача для самостоятельного решения 3Односторонние производные целой части

Доказать, что целая часть $E(x) = \lfloor x \rfloor$ дифференцируема в каждом нецелом действительном числе, причём её производная равна $0$ , и что в каждом целом $n$ она имеет производную справа, равную $0$ , но не имеет производной слева. Противоречит ли это теореме о том, что из дифференцируемости следует непрерывность?

Подсказка

В целой точке $n$ справа функция равна $n$ , а слева $n - 1$ : разностное отношение равно $0$ справа и $\frac{-1}{x - n}$ слева. Для последнего вопроса сравни условие теоремы с тем, что происходит в $n$ .

Ответ

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

Противоречия нет: функция не дифференцируема в $n$ ; производная справа даёт лишь непрерывность справа (теорема, применённая к сужению $E$ на $\ico{n}{\infty}$ ), и эта непрерывность имеет место.

Задача для самостоятельного решения 4Касательная к окружности

Пусть $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ есть верхняя полуокружность с центром $(0, 0)$ и радиусом $1$ . Вычислить $f'(a)$ при $-1 < a < 1$ , доказать, что касательная перпендикулярна радиусу, соединяющему начало координат с $(a, f(a))$ , как на занятии об окружности, и исследовать, что происходит при $a = \pm 1$ .

Подсказка

Умножь и раздели разностное отношение на $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ . Если $a \neq 0$ , то радиус имеет угловой коэффициент $\frac{f(a)}{a}$ ; если $a = 0$ , то он вертикален. В $a = 1$ точки области определения есть только слева.

Ответ

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

При $a = 0$ касательная горизонтальна, а радиус вертикален. При $a = 1$ отношение стремится к $-\infty$ , а при $a = -1$ к $\infty$ : $f$ не дифференцируема в $\pm 1$ , и её график имеет там вертикальные касательные.

Задача для самостоятельного решения 5Симметричное разностное отношение

Пусть $f$ определена на открытом интервале, содержащем $a$ . Доказать, что если $f$ дифференцируема в $a$ , то $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ . Доказать на примере $f(x) = \abs{x}$ в $a = 0$ , что этот предел может существовать, хотя $f$ не дифференцируема.

Подсказка

Запиши линейное приближение для $h$ и для $-h$ и вычти одно из другого: остатки дают $\operatorname{o}(h)$ . Для модуля числитель равен $\abs{h} - \abs{-h}$ .

Ответ

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

У модуля симметричное разностное отношение равно $0$ в $0$ , и он там не дифференцируем.

Подробное решение

Решение

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
По линейному приближению с $L = f'(a)$ остаток $R$ удовлетворяет условию $\frac{R(h)}{h} \to 0$ . При замене $h$ на $-h$ по теореме о пределе композиции также $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ .
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
Вычитаем два равенства и делим на $2h$ ; по теореме о пределе линейной комбинации оба частных с остатками дают $0$ .
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Для модуля в $0$ числитель равен нулю при всяком $h$ , и симметричное разностное отношение стремится к $0$ ; однако односторонние производные равны $1$ и $-1$ . Симметричное разностное отношение усредняет два односторонних угловых коэффициента и скрывает излом.

Производная как предел функции

Краткое содержание

Цели обучения

Касательная и скорость

Производная в точке

Односторонние производные

Касательная и нормаль

Производная функция и обозначение Лейбница

Три критерия дифференцируемости

Решённые задачи

Задачи для самостоятельного решения

Ваш вопрос по этому уроку

Вопросы по этому уроку