Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Максимумы и минимумы функции

Краткое содержание

Этот урок объединяет результаты предшествующих уроков в метод нахождения экстремумов функции. Он называет абсолютными максимум и минимум функции на её области определения, чтобы отличить их от локальных, и определяет строгие экстремумы. Затем он доказывает два признака, которые решают, является ли точка с нулевой производной точкой локального экстремума, без исследования знака производной в её окрестности: признак экстремума по второй производной, который вытекает из признака по первой производной, и признак по производным высших порядков, который вытекает из правила Лопиталя: если первая производная, не обращающаяся в нуль в этой точке, имеет чётный порядок, экстремум есть, а если нечётный, его нет. Вторая половина урока посвящена абсолютным экстремумам. На отрезке они существуют по теореме Вейерштрасса, а теорема Ферма ограничивает их списком кандидатов, концами отрезка и критическими точками, среди которых достаточно сравнить значения. На интервале или неограниченном промежутке их может не быть, и вопрос решается с помощью монотонности или пределов на концах промежутка; в частности, если непрерывная на промежутке функция имеет единственную критическую точку и достигает в ней локального экстремума, этот экстремум абсолютный.

Цели обучения

  1. Различать с помощью кванторов абсолютные экстремумы и локальные, строгие и нестрогие, и распознавать каждый случай на примерах.
  2. Доказывать признаки экстремума по второй производной и по производным высших порядков и решать с их помощью, является ли точка с нулевой производной точкой локального максимума, локального минимума или ни того ни другого, даже когда вторая производная обращается в нуль.
  3. Находить абсолютные экстремумы непрерывной на отрезке функции, сравнивая её значения на концах отрезка и в критических точках.
  4. Решать, достигает ли функция своих абсолютных экстремумов на интервале или неограниченном промежутке, с помощью монотонности, единственной критической точки или пределов на концах промежутка.

Абсолютные, локальные и строгие экстремумы

Урок о теореме Вейерштрасса определил наибольшее и наименьшее значения функции на множестве, а урок о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши определил локальные экстремумы, которые сравнивают значение в точке лишь с близкими значениями. Теперь уместно дать первым название, отличающее их от вторых, и уточнить, когда значение в точке больше всех остальных значений, с которыми его сравнивают, а не только больше или равно им.

ОпределениеАбсолютные экстремумы и строгие экстремумы

Пусть ff есть функция, определённая на множестве AA, и x0x_0 есть элемент AA. Говорят, что ff имеет в точке x0x_0 абсолютный максимум, если она достигает в точке x0x_0 своего наибольшего значения на AA, и абсолютный минимум, если она достигает в точке x0x_0 своего наименьшего значения на AA, в смысле урока о теореме Вейерштрасса; абсолютный экстремум есть абсолютный максимум или абсолютный минимум. Абсолютный или локальный максимум называется строгим, если f(x0)f(x_0) больше каждого из остальных значений, с которыми его сравнивают:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

Первая формула определяет строгий абсолютный максимум, а вторая строгий локальный максимум; строгие минимумы определяются так же, с f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Абсолютные экстремумы называют также глобальными, а локальные относительными. Всякий абсолютный экстремум является локальным, при любом δ\delta, и всякий строгий экстремум является экстремумом; обратные утверждения неверны. Функция x3−3xx^3 - 3x имеет в точке −1-1 локальный максимум, который не является абсолютным, как было показано в уроке о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Косинус достигает своего абсолютного максимума на R\mathbb{R} в каждом кратном 2π2\pi; ни один из этих максимумов не является строгим абсолютным, так как значение 11 повторяется, и каждый из них является строгим локальным, так как cos⁡x<1\cos x < 1 при 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Постоянная функция имеет в каждой точке абсолютный максимум и абсолютный минимум, и ни один из них не строгий. Вообще, если ff имеет в точке x0x_0 одновременно локальный максимум и локальный минимум, она постоянна вблизи x0x_0. Наибольшее значение, если оно существует, единственно; строгий абсолютный максимум, кроме того, достигается лишь в одной точке.

Экстремумы зависят от области определения. Если ff имеет экстремум в точке x0x_0 и BB есть подмножество AA, содержащее x0x_0, то сужение ff на BB тоже имеет в ней экстремум, так как сравнение идёт с меньшим числом значений; обратное неверно: x2x^2 достигает на [1,2]\icc{1}{2} своего абсолютного минимума в точке 11, а на R\mathbb{R} не имеет в точке 11 никакого экстремума.