Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Задачи оптимизации

Краткое содержание

В этом уроке решаются задачи, в которых нужно найти наилучшую из многих возможных конфигураций: прямоугольник наибольшей площади, цилиндр наименьшей площади поверхности, кратчайший или самый быстрый путь. Предшествующие уроки дали средства для нахождения абсолютных экстремумов заданной функции; здесь функция не задана, и большая часть работы, как и большая часть ошибок, приходится на её построение. Урок устанавливает метод из пяти этапов (переменная, функция, область определения, абсолютные экстремумы с их обоснованием и вывод) и доказывает, что функция и её композиция со строго возрастающей функцией достигают экстремумов в одних и тех же точках, что позволяет, например, минимизировать квадрат расстояния вместо самого расстояния. Затем он доказывает, что для всякой точки на графике функции, непрерывной на замкнутом промежутке, есть ближайшая к ней точка и что, если эта точка не лежит на границе, данная точка лежит на нормали; и получает из принципа наименьшего времени законы преломления (закон Снеллиуса) и отражения (закон Герона). Задачи находят ящик наибольшего объёма, цилиндр наименьшей площади поверхности, самый длинный стержень, который можно пронести за угол, место, из которого картина видна под наибольшим углом, и самый быстрый способ пересечь канал.

Цели обучения

  1. Сводить геометрическую или физическую задачу к поиску абсолютного экстремума функции одной переменной на точно указанной области определения.
  2. Обосновывать, что найденный экстремум абсолютный: с помощью теоремы Вейерштрасса, если область определения является отрезком, а если нет, с помощью знака производной, выпуклости вниз или пределов на концах области определения.
  3. Находить точку графика, ближайшую к данной точке, и распознавать, что прямая, которая их соединяет, является нормалью к графику.
  4. Получать из принципа наименьшего времени законы отражения и преломления и распознавать, когда оптимум достигается на границе области определения.

Метод

Уроки о теореме Вейерштрасса и о максимумах и минимумах научили находить абсолютные экстремумы заданной функции на заданном промежутке. В задаче оптимизации, напротив, требуется найти наилучшую конфигурацию фигуры или движения, а исследуемую функцию вместе с её областью определения нужно построить по условию задачи. Метод состоит из пяти этапов.

  1. Переменная. Выбрать величину, которая определяет конфигурацию (длину, угол, положение), и выразить через неё, с помощью условий задачи, все остальные.
  2. Функция. Записать величину, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей, как функцию одной этой переменной.
  3. Область определения. Указать множество значений, которые переменная может принимать в задаче; обычно это промежуток. Если функция продолжается по непрерывности на вырожденные конфигурации, такие как прямоугольник нулевой высоты или ящик без объёма, их полезно допустить, чтобы получить замкнутый промежуток, при условии, что искомый экстремум на них не достигается.
  4. Абсолютные экстремумы. Найти их в области определения и обосновать, что они абсолютные. Если область определения является отрезком, теорема Вейерштрасса гарантирует их существование, а утверждение об абсолютных экстремумах на отрезке из урока о максимумах и минимумах находит их сравнением значений. Если нет, используется знак производной (признак абсолютного экстремума по первой производной или следствие о единственной критической точке из того же урока), выпуклость вниз (следствие о критических точках функции, выпуклой вниз, из урока о выпуклости) или пределы на концах области определения (утверждение об абсолютных экстремумах на интервале).
  5. Вывод. Вернуться к задаче: указать оптимальную конфигурацию, а не только оптимальное значение, и убедиться, что она имеет смысл, в единицах измерения и в частных случаях.

Чаще всего пропускают четвёртый этап: найти точку, в которой производная обращается в нуль, недостаточно. Эта точка может оказаться минимумом, когда ищут максимум, лишь локальным экстремумом или точкой вне области определения; а абсолютный экстремум может находиться на конце промежутка, где производная вовсе не обязана обращаться в нуль. Урок о максимумах и минимумах показал с помощью функции 1x+x2\frac{1}{x} + x^2, что единственная критическая точка ничего не гарантирует, если область определения не является промежутком. Кроме того, часто полезно заменить функцию более простой, которая достигает экстремумов в тех же точках.

ЛеммаЭкстремумы и строго монотонные функции

Пусть функция ff определена на множестве AA, cc есть точка из AA, а функция φ\varphi строго возрастает на множестве, содержащем значения ff. Тогда ff достигает в точке cc своего абсолютного максимума на AA тогда и только тогда, когда его достигает φ∘f\varphi \circ f; то же верно для абсолютного минимума, для локальных экстремумов и для строгих экстремумов. Если φ\varphi строго убывает, то ff достигает в cc максимума тогда и только тогда, когда φ∘f\varphi \circ f достигает в cc минимума того же типа, и наоборот. Строго возрастающая функция не меняет порядка между значениями, а экстремумы зависят только от этого порядка.

Доказательство

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    Пусть uu и ww принадлежат области определения φ\varphi. Если u<wu < w, строгая монотонность даёт φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w); если u=wu = w, значения совпадают; а если u>wu > w, она даёт φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w). Следовательно, неравенства между числами и между их образами равносильны.

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    При u=f(x)u = f(x) и w=f(c)w = f(c) для каждого xx из AA или для каждого xx из AA, отстоящего от cc меньше чем на некоторое δ\delta, неравенства, которые определяют абсолютный максимум, локальный и строгие, согласно уроку о максимумах и минимумах и определению локального экстремума из урока о теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, выполняются для ff тогда и только тогда, когда они выполняются для φ∘f\varphi \circ f. С минимумом так же, а если φ\varphi строго убывает, неравенства между образами меняют направление.

Чаще всего используются четыре случая. Квадратный корень строго возрастает на [0,∞)\ico{0}{\infty}: расстояние и его квадрат минимизируются в одних и тех же точках, а квадрат записывается без радикалов. Квадрат строго возрастает на [0,∞)\ico{0}{\infty}: неотрицательная величина и её квадрат максимизируются в одних и тех же точках. Логарифм строго возрастает на (0,∞)\ioo{0}{\infty}: произведение положительных степеней и его логарифм, который является суммой, тоже. А положительная функция достигает максимума там, где обратная ей величина достигает минимума, потому что 1u\frac{1}{u} строго убывает на (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

ПримерПрямоугольник, вписанный в полуокружность

Среди прямоугольников, вписанных в полуокружность радиуса RR так, что одна сторона лежит на диаметре, найти прямоугольник наибольшей площади. Этапы нахождения совпадают с этапами метода.

Доказательство

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    Переменная и функция. Поместим центр в начало координат, а диаметр на горизонтальную ось. Прямоугольник определяется половиной xx своего основания: его верхние вершины лежат на полуокружности, в точках (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right), а его площадь есть следующая функция.

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    Область определения. Настоящие прямоугольники получаются при xx из (0,R)\ioo{0}{R}; допустим также 00 и RR, которые дают вырожденные прямоугольники нулевой площади, и получим отрезок, на котором AA непрерывна: по теореме Вейерштрасса максимум существует. Поскольку AA неотрицательна, по лемме достаточно максимизировать её квадрат, который является многочленом и, в отличие от AA, дифференцируем также в точке RR.

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    Кандидаты. Производная FF обращается в нуль лишь в одной точке из (0,R)\ioo{0}{R}.

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    Сравнение и вывод. По утверждению об абсолютных экстремумах на отрезке максимум FF есть наибольшее из её значений в 00, в RR и в критической точке. Оптимальный прямоугольник имеет основание 2R\sqrt{2}R, высоту R2\frac{R}{\sqrt{2}}, равную половине основания, и площадь R2R^2.

Отразив оптимальный прямоугольник относительно диаметра, получаем квадрат со стороной 2R\sqrt{2}R, вписанный в полную окружность, площади 2R22R^2; по тому же вычислению он и есть прямоугольник наибольшей площади, вписанный в неё. Вырожденные прямоугольники не изменили результата: максимум достигается на настоящем прямоугольнике.