Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Векторное и смешанное произведения

Краткое содержание

В этом уроке векторное произведение двух векторов пространства определяется через их координаты, как формальный определитель с векторами i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} и k⃗\vec{k}, и с помощью свойств определителей доказывается, что оно антикоммутативно и билинейно, но не ассоциативно. Доказывается, что векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям, доказывается тождество Лагранжа и из него выводится, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях, и что оно обращается в нуль тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны. Устанавливаются формула двойного векторного произведения и тождество Якоби, смешанное произведение определяется как определитель третьего порядка, доказывается его свойство циклической перестановки, и оно истолковывается как объём параллелепипеда и тетраэдра; приводятся признак компланарности и выражение объёма через скалярные произведения. Точно указывается, что в правиле правой руки доказывается, а что является соглашением; показывается, что векторное произведение есть векторная часть произведения двух чистых кватернионов, и оно применяется к моменту силы, к магнитной силе, действующей на движущийся заряд, к площади треугольника в пространстве и к нормалям в компьютерной графике.

Цели обучения

  1. Вычислять векторные и смешанные произведения через координаты и с помощью определителей и выполнять с ними преобразования, пользуясь антикоммутативностью, билинейностью, свойством циклической перестановки и формулой двойного векторного произведения.
  2. Доказывать перпендикулярность векторного произведения сомножителям, тождество Лагранжа, признак коллинеарности, формулу двойного векторного произведения и признак компланарности.
  3. Вычислять площади параллелограммов и треугольников в пространстве и объёмы параллелепипедов и тетраэдров и решать, лежат ли четыре точки в одной плоскости.
  4. Различать в правиле правой руки то, что доказывается, и то, что принимается по соглашению, и моделировать с помощью векторного произведения момент силы, магнитную силу и ориентацию поверхностей в компьютерной графике.

Векторное произведение

В уроке о векторах в пространстве и скалярном произведении векторы из R3\mathbb{R}^3 записывались тройками u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), а скалярное произведение u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 позволило измерять длины и углы, распознавать перпендикулярность и проектировать один вектор на другой. Скалярное произведение двух векторов есть число. Однако многие задачи о пространстве требуют вектора: направления, перпендикулярного плоской поверхности, оси, вокруг которой сила поворачивает тело, направления, в котором магнитное поле отклоняет заряд. На плоскости у каждого направления лишь один перпендикуляр; в пространстве перпендикуляры к одному направлению заполняют целую плоскость, и, чтобы задать общий перпендикуляр, нужны два неколлинеарных направления. Если это так, естественно спросить: если даны два вектора u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, какой вектор x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) удовлетворяет условиям u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 и v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0?

Это два линейных уравнения с тремя неизвестными. Если умножить первое, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, на v1v_1, второе на u1u_1 и вычесть, то исчезает x1x_1 и остаётся (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, что выполняется при x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 и x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1; рассуждая так же с другими неизвестными, получаем x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Все три выражения суть определители второго порядка, составленные из координат u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, как в уроке об определителях. Этот поиск подсказывает определение; в параграфе о геометрии векторного произведения доказывается, что построенный так вектор действительно перпендикулярен обоим сомножителям.

Пусть u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) и v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) являются векторами из R3\mathbb{R}^3. Их векторным произведением называется вектор u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

У определения есть закономерность, которую полезно запомнить. Каждая координата получается из предшествующей циклическим сдвигом индексов 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: первая равна u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2; если прибавить 11 к каждому индексу, считая 3+13 + 1 за 11, получается u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, то есть вторая, а повторив сдвиг, получаем третью. Чтобы записывать определение по памяти, используют векторы стандартного базиса i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) и k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), через которые всякий вектор записывается как u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, и формальный определитель: таблицу третьего порядка, первая строка которой содержит векторы i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} и k⃗\vec{k} и которая раскладывается по этой строке, как в уроке об определителях.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Определитель называется формальным, потому что не все его элементы являются числами, и к нему не применяется ни одно свойство определителей: он лишь кратко записывает формулу разложения по первой строке. Знак минус при втором слагаемом воспроизводит вторую координату, потому что −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. Напротив, каждая координата есть настоящий определитель второго порядка, составленный из двух столбцов матрицы со строками u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}; на этом наблюдении основаны алгебраические свойства векторного произведения.

ПримерВекторное произведение и произведения векторов стандартного базиса

Вычислить u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} для u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) и v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), а также попарные произведения векторов стандартного базиса.

Доказательство

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Первая координата: вычёркиваем столбец первых координат и вычисляем оставшийся определитель второго порядка.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Вторая координата: вычёркиваем средний столбец и меняем знак определителя.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Третья координата: вычёркиваем последний столбец.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Собираем три координаты. На рисунке три вектора изображены с общим началом; u⃗\vec{u} лежит в горизонтальной плоскости, а u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} направлен вверх.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    По определению i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), и так же для других пар. Каждый вектор базиса, умноженный на идущий за ним в циклическом порядке i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, даёт третий; в обратном порядке получается противоположный ему.

Алгебраические свойства

Свойства векторного произведения читаются по его координатам. Обозначим через D1D_1, D2D_2 и D3D_3 три образующих их определителя второго порядка, со столбцами в циклическом порядке: D1D_1 использует второй и третий столбцы матрицы со строками u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}; D2D_2 использует третий и первый, именно в таком порядке; а D3D_3 использует первый и второй.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
ТеоремаАлгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} и w⃗\vec{w} из R3\mathbb{R}^3 и любых действительных ss и tt векторное произведение антикоммутативно, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; оно билинейно, то есть линейно по каждому сомножителю, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} и v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; кроме того, u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Все три свойства сводятся к свойствам определителей второго порядка, применённым к каждой из трёх координат: к лемме о перестановке двух строк и к лемме о линейности по каждой строке, доказанным в уроке об определителях для любого порядка. Рисунок продолжает пример «Векторное произведение и произведения векторов стандартного базиса».

Доказательство

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Каждая координата DmD_m есть определитель матрицы второго порядка, первая строка которой взята из u⃗\vec{u}, а вторая строка взята из v⃗\vec{v}, с одними и теми же двумя столбцами.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Если поменять местами u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, то меняются местами две строки каждого определителя, и по лемме о перестановке каждая координата меняет знак. На рисунке v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) направлен вниз.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Если первый сомножитель равен su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, то первая строка каждого определителя равна произведению ss на строку, взятую из u⃗\vec{u}, плюс произведение tt на строку, взятую из w⃗\vec{w}. По лемме о линейности каждая координата раскладывается так же.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    Линейность по второму сомножителю выводится из двух доказанных выше свойств: меняем порядок, применяем линейность по первому сомножителю и снова меняем порядок.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Если два сомножителя совпадают, то у каждого определителя две равные строки, и он равен нулю. В частности, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Благодаря билинейности векторное произведение вычисляется и раскрытием скобок, как произведение сумм, с использованием произведений векторов стандартного базиса. Например, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. Антикоммутативность означает, что порядок сомножителей важен, как в произведении матриц, хотя и весьма особым образом: его перемена лишь меняет знак.

ПримерВекторное произведение не ассоциативно

Сравнить (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} с i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Доказательство

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    По теореме произведение вектора на самого себя равно нулю, а по билинейности произведение нулевого вектора на любой другой тоже равно нулю.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    При другой расстановке скобок произведение в скобках равно k⃗\vec{k} по примеру со стандартным базисом.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    По антикоммутативности i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} противоположно k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Два результата различны: векторное произведение не ассоциативно, и выражение вида u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} без скобок не имеет смысла.

Нет и нейтрального элемента: никакой вектор e⃗\vec{e} не удовлетворяет условию e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} для всякого u⃗\vec{u}, потому что e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} потребовало бы e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, и тогда e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} для всякого u⃗\vec{u}. Поэтому у векторного произведения нет ни одного из свойств произведения чисел, кроме дистрибутивности. Параграф о двойном векторном произведении даст точное правило, заменяющее ассоциативность.