Presion de los fluidos en reposo

¿Qué sabemos de la presión de un fluido en reposo? Sabemos que si lo colocamos dentro de cierto depósito entonces, dado que se cumple la relación P=F/A, y por su peso, en cada punto de su interior habrá una presión en función de la profundidad.

La presión de un fluido en reposo en un cierto punto de su interior es directamente proporcional a su profunidad. Lo sabemos por la expresión:

P = \rho g h

Donde \rho es la densidad del fluido, g la aceleración de gravedad y h la profundidad.

Esto lo podemos demostrar sumergiendo un cilindro imaginario de área basal A puesto horizontalmente (por simplicidad) en algun punto de profundidad h en el fluido.

Veremos que el disco será aplastado por el peso del fluido que tiene por arriba y por la fuerza normal por debajo, que es igual y contraria al peso (porque asumimos el sitema en reposo).

Deducción de la fórmula de la presión de un fluido en reposo: {P=\rho g h}

El fluido forma sobre el cuerpo sumergido otro cilindro también de área basal A, pero altura h, y en consecuencia tiene un volumen.

V=A h

De donde inferimos que

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Si el fluido tiene una densidad \rho, entonces la masa del fluido que aplasta el disco es m=\rho V, y por lo tanto ejerce una fuerza peso

F_p=m g = \rho V g

Y de forma similar, la fuerza normal se ejerce sobre la cara inferior del cilindro con la misma magnitud pero sobre la cara opuesta.

Dado que el peso y la normal son verticales, estas no ejercen presión sobre los lados laterales del cilindro.

Si consideramos el cilindro lo suficientemente plano y ligero, entonces su peso no aportará nada que deba ser contrarrestado por la fuerza normal, y además cualquier efecto sobre los laterales será despresciable respecto a todo lo demás. Así, la fuerza total sobre el cuerpo será:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

El «+» en esta fuerza se debe a que las fuerzas están orientadas hacia el interior de la superficie.

De éste modo, la presión sobre el cuerpo sumergido será:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Con esto vemos que la presión que ejerce un fluido (en reposo) es la misma en todos los puntos de la misma profundidad. Esto aplica tanto para líquidos como gases (siempre que estén en reposo), de modo que si consideramos la columna de aire que tenemos encima, podemos hablar también de una «presión atmosférica».

La presión atmosférica a nivel del mar es

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Debemos tener en cuenta que 1[Pa] = 1[N/m^2].

Combinando la presión atmosférica con la que ejerce un fluido debido a su propio peso tenemos la presión hidrostática

P = P_{atm} + \rho g h

Presión Relativa

Cuando medimos la presión, generalmente lo hacemos inmmersos en un medio. Unas veces la presión del medio es relevante y otras veces no lo es tanto. Por ejemplo, cuando mides la presión de las llantas de tu automovil, no te preocupas de sumar la presión atmosférica porque, lo que en realidad importa para su buen funcionamiento, es la diferencia de presión entre el interior de la llanta y el ambiente exterior:

Si es muy alta, se hincha más de lo necesario; y si es muy baja, se desinfla.

Es por esto que tenemos distintas formas de hablar de presión.

Presión Atmosférica

Ya hemos hablado de ésta antes, y es la presión que es propia del medio en el que estamos inmersos.Por ejemplo, en el Himalaya la presión atmosférica puede llegar a ser hasta 1/3 de la presión que tenemos a nivel del mar. Generalmente se representa por P_{atm} o P_{0}.

Presión Absoluta

Cuando consideramos la presión obtenida de la suma de la totalidad de las fuerzas actuando sobre un cuerpo hablamos de Presión Absoluta. La presión hidrostática que revisamos antes es una forma de presion absoluta porque considera la suma de las presiones debido al peso del líquido + la presión ejercida por la atmósfera. Otra forma de expresar la presión absoluta es como «la presión relativa al vacío». La representamos por P_{abs}.

Presión Manométrica y Presión de Vacío

Cuando medimos la presión de las llantas de un vehículo, tanto la llanta como el instrumento de medición están siendo presionados por la atmosfera que los rodea. Por este motivo, lo que el instrumento mide en realidad es la diferencia de presión entre el interior y el exterior. Esta presión se denomina «presión manométrica», se representa por P_{man} y satisface la relación:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

La presión que medimos al considerar sólo el peso de un fluido es un ejemplo de presión manométrica. Si la presión absoluta es superior a la atmosférica, medimos la presión manométrica, en caso contrario medimos la presión de vacío P_{vac}, que se define de un modo similar:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Esta se da, por ejemplo, cuando sacas el aire de una jeringa, tapas la entrada/salida de aire y luego tiras del émbolo; la presión atmosférica intentará aplastar el émbolo de regreso y la presión en el interior de la jeringa será, en consecuencia, una presión de vacío.

Ejemplos practicos

Un señor acaba de construir una pscina de 39[pies] de largo, 26[pies] de ancho y 5.2[pies] de profundidad y tiene las siguientes dudas:

1. Ha comprado una bomba para la piscina, pero sólo cuando llegó a su casa se le ocurrió la idea de mirar las especificaciones del fabricante. Estas dicen que en su uso no se debe superar la presión manométrica de 0,193[atm]. ¿Podrá instalar la bomba en el fondo de su piscina?
2. No teniendo suficiente con haber olvidado el detalle de las especificaciones de la bomba, este señor tiene un problema auditivo. Sucede que sus tímpanos no pueden soportar una fuerza superior a 10[N]. Si sus tímpanos tienen un diámetro de 1[cm], con forma prácticamente circular. ¿Podrá este caballero bucear tranquilo en el fondo de su piscina?

SOLUCIÓN:

1. 1. En este caso, la presión manométrica del fondo de la piscina la podemos determinar como la que es ejercida sólo por el agua de la piscina. Por lo tanto, de la fórmula para la presión de un fluido en reposo se tendrá:

      P_{man} = \rho g h

      Tomando la densidad del agua \rho=997[kg/m^3],, la profundidad convertida a metros h=5.2[pie] = 5.2\cdot 0.3048[m] y la aceleración de la gravedad g=9.81[m/s^2], se tiene que la presión manométrica en el fondo de la piscina será

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      Pero 1[atm] = 101.325[Pa], de modo que

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      Así que si. Como la presión manométrica del fondo de la piscina está por debajo de las 0,193[atm] que indicaba el fabricante como límite para el buen funcionamiento de la bombao, esta funcionará correctamente y el caballero no ha desperdiciado su dinero.

   2. De la parte anterior ya calculamos la presión manométrica en el fondo de la piscina, pero ahora necesitamos la presión total. Sin problemas con esto, sólo nos basta con recordar que:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

y ambas las tenemos ya. De esto nos queda que

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

Ahora necesitamos conocer el área del tímpano de este buen señor. Como el tímpano se aproxima circular se tiene que:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Aquí he expresado el área de la circunferencia como función del diametro d, que mide 1[cm]. Por lo tanto:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

Finalmente, como P=F/A, la fuerza total aplicada por efecto de la presión en el fondo de la piscina sobre el timpano de este caballero será

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

Como no supera los 10[N], por los pelos puede bucear sin problemas en el fondo de la piscina. Qué suertudo es este señor.