静止流体の圧力

静止している流体の圧力について何を知っているか？ ある容器に入れると、関係式 P=F/A, が成り立ち、その重量によって、内部の各点に深さに応じた圧力が存在することがわかる。

静止流体の圧力 は、ある点において深さに比例する。これは次の式からわかる。

P = \rho g h

ここで \rho は流体の密度、g は重力加速度、h は深さを表す。

これは、基底面積 A を持つ仮想的な円柱を、流体中の深さ h の点に水平に置くことで示すことができる。

円盤は、上方の流体の重さによって押し潰され、下方からはその重さと等しく逆向きの法線力を受ける（系が静止していると仮定するため）。

静止流体の圧力公式の導出: {P=\rho g h}

流体は浸された物体の上に 基底面積 A、高さ h の別の円柱を形成し、その結果、体積を持つ。

V=A h

ここから次が導かれる。

\displaystyle A=\frac{V}{h}

流体の密度が \rho であれば、円盤を押し潰す流体の質量は m=\rho V となり、したがって次の重力による力を及ぼす。

F_p=m g = \rho V g

同様に、法線力は円柱の下面に対して、同じ大きさで反対側の面に作用する。

重力と法線力は垂直であるため、これらは円柱の側面には圧力を及ぼさない。

円柱が十分に薄く軽いと仮定すれば、その重量は法線力で相殺する必要がなく、また側面への影響も他と比べれば無視できるほど小さい。したがって、物体に作用する合力は次のようになる。

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

この「+」は、力が表面の内側に向かって作用していることを意味する。

したがって、浸された物体にかかる圧力は次のように表される。

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

この結果、流体（静止している場合）が及ぼす圧力は、同じ深さのすべての点で等しいことがわかる。これは液体にも気体にも（静止している限り）当てはまり、上にある空気の柱を考慮すれば「大気圧」についても言及できる。

海面における大気圧は

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

ここで注意すべきは 1[Pa] = 1[N/m^2]. である。

大気圧と流体自身の重さによる圧力を組み合わせると、静水圧 となる。

P = P_{atm} + \rho g h

相対圧力

圧力を測定するとき、一般的に我々はある媒質に浸っている。 ある場合にはその媒質の圧力が重要であり、別の場合にはそれほど重要ではない。例えば、自動車のタイヤの圧力を測定する際には、大気圧を加えることを気にしない。実際に重要なのは、タイヤ内部と外部環境との圧力差だからである。

圧力が高すぎれば必要以上に膨張し、低すぎれば空気が抜ける。

このため、圧力にはさまざまな表現方法がある。

大気圧

これは既に述べた通りであり、我々が浸っている媒質そのものの圧力である。例えば、ヒマラヤでは大気圧が海面での値の 1/3 にまで下がることがある。一般的に P_{atm} または P_{0} で表される。

絶対圧

ある物体に作用するすべての力の和として得られる圧力を考えるとき、これを絶対圧と呼ぶ。先に見た静水圧は、液体の重さによる圧力と大気圧の和を考慮しているため、絶対圧の一形式である。絶対圧を表すもう一つの方法は「真空に対する相対的な圧力」としてである。これは P_{abs} で表される。

ゲージ圧と真空圧

自動車のタイヤの圧力を測定するとき、タイヤも測定器も周囲の大気に押されている。そのため、測定器が実際に測っているのは内部と外部の圧力差である。この圧力は「ゲージ圧」と呼ばれ、P_{man} で表され、次の関係を満たす。

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

流体の重さのみを考慮して測定した圧力は、ゲージ圧の一例である。絶対圧が大気圧より大きい場合にはゲージ圧を測定し、逆に小さい場合には真空圧 P_{vac} を測定することになる。真空圧は次のように定義される。

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

例えば、注射器から空気を抜き、出入口を塞いでピストンを引くと、大気圧がピストンを押し戻そうとし、その結果、注射器内部の圧力は真空圧となる。

実用例

ある男性が、長さ 39[フィート]、幅 26[フィート]、深さ 5.2[フィート] のプールを新しく建設し、次の疑問を持った。

1. プール用のポンプを購入した が、自宅に到着してから初めて製造元の仕様を確認した。仕様には、使用時にゲージ圧が 0.193[atm] を超えてはならないと記載されている。このポンプをプールの底に設置できるだろうか。
2. ポンプの仕様を忘れただけでなく、 この男性には聴覚の問題がある。彼の鼓膜は 10[N] を超える力に耐えることができない。鼓膜の直径は 1[cm] で、ほぼ円形である。この男性は安心してプールの底に潜水できるだろうか。

解答:

1. 1. この場合、プールの底でのゲージ圧は、プールの水だけによって生じる圧力として求められる。したがって、静止流体の圧力の式から次が得られる。

      P_{man} = \rho g h

      水の密度を \rho=997[kg/m^3],、深さをメートルに換算して h=5.2[pie] = 5.2\cdot 0.3048[m]、重力加速度を g=9.81[m/s^2], とすると、プール底のゲージ圧は次のようになる。

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      しかし 1[atm] = 101.325[Pa] であるから、

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      したがって、はい。プールの底でのゲージ圧は、製造元が正常動作の上限として示した 0,193[atm] よりも低いため、このポンプは正常に動作し、この男性のお金は無駄にはならない。

   2. 前の部分ですでにプール底でのゲージ圧を計算したが、ここでは全圧が必要である。これに問題はなく、次を思い出せばよい。

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

両方の値はすでに求めてある。したがって次のようになる。

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

次に、この紳士の鼓膜の面積を求める必要がある。鼓膜は円形に近似できるので、次のようになる。

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

ここでは直径 d を用いて円の面積を表した。直径は 1[cm] である。したがって次のようになる。

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

最後に、P=F/A であるから、プールの底での圧力によってこの紳士の鼓膜に作用する全力は次のようになる。

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

これは 10[N] を超えないため、ぎりぎりではあるが、この紳士は問題なくプールの底で潜水できる。なんと幸運なことだ。