Pressão dos Fluidos em Repouso

O que sabemos sobre a pressão de um fluido em repouso? Sabemos que, se colocarmos dentro de um reservatório, como a relação P=F/A, se cumpre e devido ao seu peso, haverá pressão em cada ponto dentro do fluido, em função da profundidade.

A pressão de um fluido em repouso em um ponto é diretamente proporcional à sua profundidade. Sabemos disso pela expressão:

P = \rho g h

Onde \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração gravitacional e h é a profundidade.

Podemos demonstrar isso mergulhando um cilindro imaginário com área de base horizontal A em algum ponto de profundidade h no fluido.

Veremos que o disco será comprimido pelo peso do fluido acima e pela força normal abaixo, que é igual e oposta ao peso (pois assumimos que o sistema está em repouso).

Dedução da fórmula da pressão de um fluido em repouso: {P=\rho g h}

O fluido forma sobre o corpo submerso outro cilindro com a mesma área de base A, mas altura h, e, consequentemente, tem um volume.

V=A h

De onde inferimos que

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Se o fluido tem uma densidade \rho, então a massa do fluido que comprime o disco é m=\rho V, e, portanto, exerce uma força peso

F_p=m g = \rho V g

Da mesma forma, a força normal é exercida na face inferior do cilindro com a mesma magnitude, mas na face oposta.

Como o peso e a força normal são verticais, elas não exercem pressão nos lados laterais do cilindro.

Se considerarmos o cilindro suficientemente plano e leve, seu peso não contribuirá com nada que precise ser contrabalançado pela força normal, e qualquer efeito nas laterais será desprezível. Assim, a força total sobre o corpo será:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

O “+” nesta força deve-se ao fato de que as forças estão orientadas em direção à superfície.

Assim, a pressão sobre o corpo submerso será:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Com isso, vemos que a pressão exercida por um fluido (em repouso) é a mesma em todos os pontos da mesma profundidade. Isso se aplica tanto a líquidos quanto a gases (desde que estejam em repouso), então, se considerarmos a coluna de ar que temos acima de nós, também podemos falar de uma “pressão atmosférica”.

A pressão atmosférica ao nível do mar é

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Devemos lembrar que 1[Pa] = 1[N/m^2].

Combinando a pressão atmosférica com a pressão exercida por um fluido devido ao seu próprio peso, temos a pressão hidrostática

P = P_{atm} + \rho g h

Pressão Relativa

Quando medimos a pressão, geralmente estamos imersos em um meio. Às vezes, a pressão do meio é relevante e outras vezes não. Por exemplo, quando você mede a pressão dos pneus do seu carro, você não se preocupa em somar a pressão atmosférica porque o que realmente importa para o bom funcionamento é a diferença de pressão entre o interior do pneu e o ambiente externo:

Se for muito alta, ele se infla mais do que o necessário; e se for muito baixa, ele se desinfla.

É por isso que temos diferentes formas de falar sobre pressão.

Pressão Atmosférica

Já discutimos isso antes, e é a pressão do meio em que estamos imersos. Por exemplo, no Himalaia, a pressão atmosférica pode chegar a ser até um terço da pressão que temos ao nível do mar. Geralmente é representada por P_{atm} ou P_{0}.

Pressão Absoluta

Quando consideramos a pressão obtida da soma de todas as forças atuando sobre um corpo, falamos de Pressão Absoluta. A pressão hidrostática que revisamos antes é uma forma de pressão absoluta porque considera a soma das pressões devido ao peso do líquido + a pressão exercida pela atmosfera. Outra maneira de expressar a pressão absoluta é como “a pressão relativa ao vácuo”. A representamos por P_{abs}.

Pressão Manométrica e Pressão de Vácuo

Quando medimos a pressão dos pneus de um veículo, tanto o pneu quanto o instrumento de medição estão sendo pressionados pela atmosfera que os rodeia. Por isso, o que o instrumento mede é, na verdade, a diferença de pressão entre o interior e o exterior. Esta pressão é chamada de “pressão manométrica”, representada por P_{man}, e satisfaz a relação:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

A pressão que medimos ao considerar apenas o peso de um fluido é um exemplo de pressão manométrica. Se a pressão absoluta for superior à atmosférica, medimos a pressão manométrica; caso contrário, medimos a pressão de vácuo P_{vac}, que é definida de forma semelhante:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Isso ocorre, por exemplo, quando você retira o ar de uma seringa, tampa a entrada/saída de ar e, em seguida, puxa o êmbolo; a pressão atmosférica tentará empurrar o êmbolo de volta, e a pressão dentro da seringa será, consequentemente, uma pressão de vácuo.

Exemplos práticos

Um homem acabou de construir uma piscina com 39[pés] de comprimento, 26[pés] de largura e 5.2[pés] de profundidade e tem as seguintes dúvidas:

1. Ele comprou uma bomba para a piscina, mas só quando chegou em casa pensou em verificar as especificações do fabricante. Elas dizem que o uso não deve ultrapassar a pressão manométrica de 0,193[atm]. Ele pode instalar a bomba no fundo da piscina?
2. Não satisfeito com o esquecimento das especificações da bomba, este homem tem um problema auditivo. Seus tímpanos não podem suportar uma força superior a 10[N]. Se seus tímpanos têm um diâmetro de 1[cm], praticamente circulares. Este cavalheiro pode mergulhar tranquilamente no fundo da piscina?

SOLUÇÃO:

1. 1. Neste caso, a pressão manométrica no fundo da piscina pode ser determinada como a que é exercida apenas pela água da piscina. Portanto, a partir da fórmula para a pressão de um fluido em repouso, teremos:

      P_{man} = \rho g h

      Tomando a densidade da água \rho=997[kg/m^3], a profundidade convertida para metros h=5.2[pés] = 5.2\cdot 0.3048[m] e a aceleração da gravidade g=9.81[m/s^2], temos que a pressão manométrica no fundo da piscina será

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      Mas 1[atm] = 101.325[Pa], de modo que

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      Então, sim. Como a pressão manométrica no fundo da piscina está abaixo dos 0,193[atm] que o fabricante especificou como limite para o bom funcionamento da bomba, ela funcionará corretamente e o cavalheiro não desperdiçou seu dinheiro.

   2. Da parte anterior, já calculamos a pressão manométrica no fundo da piscina, mas agora precisamos da pressão total. Sem problemas, só precisamos lembrar que:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

e já temos ambas. Isso nos dá que

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

Agora precisamos conhecer a área do tímpano deste homem. Como o tímpano é aproximadamente circular, temos que:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Aqui expressei a área do círculo como função do diâmetro d, que mede 1[cm]. Portanto:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

Finalmente, como P=F/A, a força total aplicada pela pressão no fundo da piscina sobre o tímpano deste homem será

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

Como não supera os 10[N], por pouco, ele pode mergulhar com segurança no fundo da piscina. Que sorte tem esse homem.