Druck von ruhenden Fluiden

Was wissen wir über den Druck eines ruhenden Fluids? Wir wissen, dass wenn wir es in ein bestimmtes Behältnis geben, dann gilt die Beziehung P=F/A, und aufgrund seines Gewichts herrscht an jedem Punkt im Inneren ein Druck in Abhängigkeit von der Tiefe.

Der Druck eines ruhenden Fluids an einem bestimmten Punkt in seinem Inneren ist direkt proportional zu seiner Tiefe. Dies wissen wir aus dem Ausdruck:

P = \rho g h

Dabei ist \rho die Dichte des Fluids, g die Erdbeschleunigung und h die Tiefe.

Dies können wir zeigen, indem wir einen gedachten Zylinder mit einer Grundfläche A, der horizontal (der Einfachheit halber) an einem Punkt in der Tiefe h im Fluid liegt, eintauchen.

Wir werden sehen, dass die Scheibe durch das Gewicht des darüberliegenden Fluids zusammengedrückt wird und durch die Normalkraft von unten, die dem Gewicht gleich und entgegengesetzt ist (weil wir das System in Ruhe annehmen).

Herleitung der Formel für den Druck eines ruhenden Fluids: {P=\rho g h}

Das Fluid bildet über dem eingetauchten Körper einen weiteren Zylinder ebenfalls mit der Grundfläche A, aber der Höhe h, und folglich hat er ein Volumen.

V=A h

Woraus wir folgern können, dass

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Wenn das Fluid eine Dichte \rho hat, dann ist die Masse des Fluids, das die Scheibe zusammendrückt, m=\rho V, und daher übt es eine Gewichtskraft aus

F_p=m g = \rho V g

Und in ähnlicher Weise wird die Normalkraft auf die Unterseite des Zylinders mit derselben Größe, jedoch auf der gegenüberliegenden Fläche, ausgeübt.

Da Gewicht und Normalkraft vertikal sind, üben sie keinen Druck auf die Seitenflächen des Zylinders aus.

Wenn wir den Zylinder hinreichend flach und leicht betrachten, dann trägt sein Eigengewicht nichts bei, was durch die Normalkraft ausgeglichen werden müsste, und außerdem ist jeder Effekt auf die Seiten im Vergleich zu allem anderen vernachlässigbar. Somit wird die Gesamtkraft auf den Körper:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

Das „+“ in dieser Kraft ergibt sich daraus, dass die Kräfte nach innen auf die Oberfläche gerichtet sind.

Auf diese Weise wird der Druck auf den eingetauchten Körper:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Damit sehen wir, dass der Druck, den ein Fluid (im Ruhezustand) ausübt, an allen Punkten derselben Tiefe gleich ist. Dies gilt sowohl für Flüssigkeiten als auch für Gase (sofern sie sich im Ruhezustand befinden), sodass wir, wenn wir die Luftsäule über uns betrachten, auch von einem „atmosphärischen Druck“ sprechen können.

Der atmosphärische Druck auf Meereshöhe beträgt

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Wir müssen beachten, dass 1[Pa] = 1[N/m^2].

Wenn wir den atmosphärischen Druck mit demjenigen kombinieren, den ein Fluid aufgrund seines eigenen Gewichts ausübt, erhalten wir den hydrostatischen Druck

P = P_{atm} + \rho g h

Relativer Druck

Wenn wir den Druck messen, tun wir dies im Allgemeinen in einem Medium. Manchmal ist der Druck des Mediums relevant und manchmal weniger. Zum Beispiel, wenn du den Reifendruck deines Autos misst, kümmerst du dich nicht darum, den atmosphärischen Druck hinzuzurechnen, weil es für das richtige Funktionieren tatsächlich auf den Druckunterschied zwischen dem Inneren des Reifens und der Außenumgebung ankommt:

Ist er zu hoch, bläht sich der Reifen stärker als nötig auf; ist er zu niedrig, entleert er sich.

Deshalb haben wir unterschiedliche Arten, über Druck zu sprechen.

Atmosphärischer Druck

Darüber haben wir bereits gesprochen, und es ist der Druck, der dem Medium, in dem wir uns befinden, eigen ist. Zum Beispiel kann im Himalaya der atmosphärische Druck bis zu 1/3 des Drucks auf Meereshöhe betragen. Allgemein wird er durch P_{atm} oder P_{0} dargestellt.

Absoluter Druck

Wenn wir den Druck betrachten, der sich aus der Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte ergibt, sprechen wir vom Absoluten Druck. Der zuvor betrachtete hydrostatische Druck ist eine Form des absoluten Drucks, da er die Summe des Flüssigkeitsgewichts und des von der Atmosphäre ausgeübten Drucks berücksichtigt. Eine andere Möglichkeit, den absoluten Druck auszudrücken, ist als „der Druck relativ zum Vakuum“. Wir bezeichnen ihn mit P_{abs}.

Manometerdruck und Vakuumdruck

Wenn wir den Reifendruck eines Fahrzeugs messen, werden sowohl der Reifen als auch das Messinstrument durch die sie umgebende Atmosphäre belastet. Aus diesem Grund misst das Instrument in Wirklichkeit die Druckdifferenz zwischen dem Inneren und dem Äußeren. Dieser Druck wird „Manometerdruck“ genannt, er wird durch P_{man} dargestellt und erfüllt die Beziehung:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

Der Druck, den wir messen, wenn wir nur das Gewicht eines Fluids berücksichtigen, ist ein Beispiel für den Manometerdruck. Wenn der Absolutdruck größer als der Atmosphärendruck ist, messen wir den Manometerdruck; andernfalls messen wir den Vakuumdruck P_{vac}, der in ähnlicher Weise definiert wird:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Dies geschieht zum Beispiel, wenn du die Luft aus einer Spritze herausziehst, den Luftweg verschließt und dann den Kolben herausziehst; der Atmosphärendruck wird versuchen, den Kolben zurückzudrücken, und der Druck im Inneren der Spritze wird folglich ein Vakuumdruck sein.

Praktische Beispiele

Ein Herr hat gerade ein Schwimmbecken mit 39 [Fuß] Länge, 26 [Fuß] Breite und 5.2 [Fuß] Tiefe gebaut und hat die folgenden Fragen:

1. Er hat eine Pumpe für das Schwimmbecken gekauft, aber erst als er zu Hause ankam, kam er auf die Idee, die Spezifikationen des Herstellers zu prüfen. Diese besagen, dass bei der Nutzung der Manometerdruck von 0,193 [atm] nicht überschritten werden darf. Kann er die Pumpe am Boden seines Schwimmbeckens installieren?
2. Nicht genug damit, dass er die Details der Spezifikationen der Pumpe vergessen hat, dieser Herr hat auch ein Hörproblem. Es stellt sich heraus, dass seine Trommelfelle einer Kraft von mehr als 10 [N] nicht standhalten können. Wenn seine Trommelfelle einen Durchmesser von 1 [cm] haben und praktisch kreisförmig sind – kann dieser Herr ruhig am Boden seines Schwimmbeckens tauchen?

LÖSUNG:

1. 1. In diesem Fall können wir den Manometerdruck am Boden des Schwimmbeckens als denjenigen bestimmen, der nur vom Wasser des Beckens ausgeübt wird. Daher gilt nach der Formel für den Druck eines ruhenden Fluids:

      P_{man} = \rho g h

      Unter Annahme der Dichte des Wassers \rho=997[kg/m^3],, der in Meter umgerechneten Tiefe h=5.2[Fuß] = 5.2\cdot 0.3048[m] und der Erdbeschleunigung g=9.81[m/s^2], ergibt sich der Manometerdruck am Boden des Schwimmbeckens zu

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      Aber 1[atm] = 101.325[Pa], sodass

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      Also ja. Da der Manometerdruck am Boden des Schwimmbeckens unter den 0,193[atm] liegt, die der Hersteller als Grenze für das einwandfreie Funktionieren der Pumpe angegeben hat, wird diese korrekt arbeiten und der Herr hat sein Geld nicht verschwendet.

   2. Aus dem vorherigen Teil haben wir bereits den Manometerdruck am Boden des Schwimmbeckens berechnet, aber nun benötigen wir den Gesamtdruck. Damit gibt es kein Problem, wir müssen uns nur daran erinnern, dass:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

und beide Werte haben wir bereits. Daraus folgt, dass

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

Nun müssen wir die Fläche des Trommelfells dieses Herrn bestimmen. Da das Trommelfell annähernd kreisförmig ist, gilt:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Hier habe ich die Fläche des Kreises als Funktion des Durchmessers d ausgedrückt, der 1[cm] misst. Daher:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

Schließlich, da P=F/A, ergibt sich die gesamte Kraft, die durch den Druck am Boden des Schwimmbeckens auf das Trommelfell dieses Herrn ausgeübt wird, zu

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

Da sie die 10[N] nicht überschreitet, kann er gerade noch problemlos am Boden des Schwimmbeckens tauchen. Welch ein Glück für diesen Herrn.