ضغط السوائل في حالة السكون

ماذا نعرف عن ضغط السائل في حالة السكون؟ نعلم أنه إذا تم وضعه داخل حاوية معينة، فإنه، وفقًا للعلاقة P=F/A, وبسبب وزنه، سيكون هناك ضغط عند كل نقطة داخل السائل بناءً على العمق.

ضغط السائل في حالة السكون عند نقطة معينة يكون متناسبًا بشكل مباشر مع العمق. نعرف ذلك من خلال التعبير:

P = \rho g h

حيث \rho هي كثافة السائل، و g هي تسارع الجاذبية، و h هي العمق.

يمكننا إثبات ذلك من خلال غمر أسطوانة افتراضية بقاعدة أفقية مساحتها A عند نقطة ذات عمق h في السائل.

سنرى أن القرص سيتم ضغطه بوزن السائل فوقه وبالقوة العمودية أسفله، والتي تعادل وتعاكس الوزن (لأننا نفترض أن النظام في حالة سكون).

اشتقاق معادلة ضغط السائل في حالة السكون: {P=\rho g h}

يشكل السائل فوق الجسم المغمور أسطوانة أخرى بنفس مساحة القاعدة A، ولكن بارتفاع h، وبالتالي يكون له حجم.

V=A h

ومن هنا نستنتج أن

\displaystyle A=\frac{V}{h}

إذا كانت كثافة السائل \rho، فإن كتلة السائل الذي يضغط على القرص هي m=\rho V، وبالتالي تمارس قوة وزن

F_p=m g = \rho V g

وبالمثل، يتم تطبيق القوة العمودية على الوجه السفلي للأسطوانة بنفس المقدار ولكن في الاتجاه المعاكس.

نظرًا لأن الوزن والقوة العمودية عموديان، فإنهما لا يمارسان ضغطًا على الجوانب الجانبية للأسطوانة.

إذا اعتبرنا الأسطوانة مسطحة وخفيفة بما فيه الكفاية، فإن وزنها لن يضيف أي شيء يجب موازنته بالقوة العمودية، بالإضافة إلى أن أي تأثير على الجوانب الجانبية سيكون مهملًا مقارنة بكل شيء آخر. وبالتالي، ستكون القوة الكلية على الجسم:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

يشير «+» في هذه القوة إلى أن القوى موجهة نحو السطح.

وهكذا، فإن الضغط على الجسم المغمور سيكون:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{السفلي}+A_{العلوي}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

هذا يوضح أن الضغط الذي يمارسه السائل (في حالة السكون) متساوٍ في جميع النقاط عند نفس العمق. ينطبق هذا على السوائل والغازات (طالما أنها في حالة سكون)، مما يعني أنه إذا أخذنا في الاعتبار العمود الهوائي الذي فوقنا، فيمكننا أيضًا الحديث عن «الضغط الجوي».

الضغط الجوي عند مستوى سطح البحر هو

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

يجب أن نتذكر أن 1[Pa] = 1[N/m^2].

بدمج الضغط الجوي مع الضغط الذي يمارسه السائل بسبب وزنه، نحصل على الضغط الهيدروستاتيكي

P = P_{atm} + \rho g h

الضغط النسبي

عندما نقيس الضغط، نكون عادةً مغمورين في وسط معين. أحيانًا يكون ضغط الوسط ذا صلة، وأحيانًا لا يكون كذلك. على سبيل المثال، عند قياس ضغط إطارات سيارتك، لا تهتم بإضافة الضغط الجوي، لأن ما يهم بالفعل هو الفرق بين ضغط الإطار الداخلي والبيئة الخارجية:

إذا كان مرتفعًا جدًا، فإن الإطار ينتفخ بشكل زائد؛ وإذا كان منخفضًا جدًا، فإنه ينكمش.

لهذا السبب لدينا طرق مختلفة للحديث عن الضغط.

الضغط الجوي

لقد تحدثنا عن هذا سابقًا، وهو الضغط الذي يمارسه الوسط الذي نحن مغمورون فيه. على سبيل المثال، في جبال الهيمالايا، يمكن أن يصل الضغط الجوي إلى ثلث ما هو عليه عند مستوى سطح البحر. يتم تمثيله عادةً بـ P_{atm} أو P_{0}.

الضغط المطلق

عندما نأخذ بعين الاعتبار الضغط الناتج عن مجموع القوى التي تؤثر على جسم ما، نتحدث عن الضغط المطلق. الضغط الهيدروستاتيكي الذي ناقشناه سابقًا هو شكل من أشكال الضغط المطلق لأنه يأخذ في الاعتبار مجموع الضغوط الناتجة عن وزن السائل بالإضافة إلى الضغط الذي يمارسه الغلاف الجوي. طريقة أخرى للتعبير عن الضغط المطلق هي «الضغط بالنسبة إلى الفراغ». نُرمز إليه بـ P_{abs}.

الضغط المانومتري وضغط الفراغ

عند قياس ضغط إطارات مركبة ما، يتعرض كل من الإطار وأداة القياس للضغط الجوي. لهذا السبب، ما تقيسه الأداة فعليًا هو فرق الضغط بين الداخل والخارج. يسمى هذا الضغط «الضغط المانومتري»، ويتم تمثيله بـ P_{man}، وهو يحقق العلاقة:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

الضغط الذي نقيسه عند أخذ وزن السائل فقط في الاعتبار هو مثال على الضغط المانومتري. إذا كان الضغط المطلق أعلى من الضغط الجوي، نقيس الضغط المانومتري؛ وإلا فإننا نقيس ضغط الفراغ P_{vac}، والذي يُعرَّف بطريقة مماثلة:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

يحدث هذا، على سبيل المثال، عندما تسحب الهواء من محقنة، ثم تغلق فتحة الهواء وتسحب المكبس؛ سيحاول الضغط الجوي دفع المكبس للعودة، وبالتالي يصبح الضغط داخل المحقنة ضغط فراغ.

أمثلة عملية

قام رجل ببناء مسبح يبلغ طوله 39[قدمًا] وعرضه 26[قدمًا] وعمقه 5.2[قدمًا]، ولديه الأسئلة التالية:

1. لقد اشترى مضخة للمسبح، ولكن عند وصوله إلى المنزل، تذكر فقط التحقق من مواصفات الشركة المصنعة. تشير المواصفات إلى أن الضغط المانومتري لا يجب أن يتجاوز 0.193[atm]. هل يمكنه تركيب المضخة في قاع مسبحه؟
2. بالإضافة إلى نسيانه لمواصفات المضخة، يعاني هذا الرجل من مشكلة سمعية. لا يمكن أن تتحمل طبلة أذنه قوة أكبر من 10[N]. إذا كان قطر طبلة أذنه 1[سم]، وهي شبه دائرية تمامًا. هل يستطيع هذا الرجل الغوص بأمان إلى قاع مسبحه؟

الحل:

1. 1. في هذه الحالة، يمكن تحديد الضغط المانومتري في قاع المسبح باعتباره الضغط الناتج فقط عن ماء المسبح. وبالتالي، من معادلة ضغط السائل في حالة السكون، سنحصل على:

      P_{man} = \rho g h

      بأخذ كثافة الماء \rho=997[كغ/م^3], والعمق المحول إلى متر h=5.2[قدم] = 5.2\cdot 0.3048[م] وتسارع الجاذبية g=9.81[م/ث^2], نحصل على أن الضغط المانومتري في قاع المسبح سيكون:

      P_{man} =997[كغ/م^3]\cdot 9.81[م/ث^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[م] \approx 15.501,81[باسكال]

      ولكن 1[atm] = 101.325[باسكال]، وبالتالي

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      لذا نعم. بما أن الضغط المانومتري في قاع المسبح أقل من 0.193[atm] المحدد من قبل الشركة المصنعة كحد أقصى لتشغيل المضخة بشكل صحيح، فستعمل المضخة بشكل سليم، ولم يضيع الرجل ماله هباءً.

   2. من الجزء السابق، قمنا بالفعل بحساب الضغط المانومتري في قاع المسبح، ولكن الآن نحتاج إلى حساب الضغط الكلي. لا توجد مشكلة في ذلك، علينا فقط أن نتذكر:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

ولدينا بالفعل كلاهما. هذا يعطينا:

P_{total} \approx 15.501,81[باسكال] + 101.325[باسكال] = 116.286,81[باسكال]

الآن نحتاج إلى معرفة مساحة طبلة أذن هذا الرجل. نظرًا لأن طبلة الأذن دائرية تقريبًا، نحصل على:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

هنا قمت بالتعبير عن مساحة الدائرة كدالة للقطر d، الذي يبلغ 1[سم]. لذلك:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[سم^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{م}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[م^2]=0.785\cdot 10^{-4}[م^2]

أخيرًا، بما أن P=F/A، ستكون القوة الكلية الناتجة عن الضغط في قاع المسبح على طبلة أذن هذا الرجل:

F=PA\approx 116.826,81[باسكال] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[م^2] \approx 9.17[نيوتن]

وبما أن هذه القوة لا تتجاوز 10[نيوتن]، فإنه يمكنه الغوص بأمان في قاع المسبح. يا له من رجل محظوظ.