静止流体的压力

我们对静止流体的压力了解多少？ 我们知道，如果将其置于某个容器中，由于满足关系式P=F/A,并且由于其重量，流体内部的每个点都会根据深度产生压力。

静止流体的压力 在某个点与深度成正比。我们知道该表达式为：

P = \rho g h

其中\rho 是流体的密度，g 是重力加速度，h 是深度。

我们可以通过在流体中某个深度h处沉入一个水平放置的虚拟柱体，其底面积为A 来证明这一点。

我们将看到该圆盘会被其上方流体的重量压缩，而底部则会受到与重量相等且相反的法向力（因为我们假设系统处于静止状态）。

静止流体压力公式的推导: {P=\rho g h}

流体在被浸没的物体上方形成另一个底面积为A、高度为h的柱体，因而形成了一个体积。

V=A h

由此我们推断出

\displaystyle A=\frac{V}{h}

如果流体的密度为\rho，则压在圆盘上的流体质量为m=\rho V，因此产生重量力

F_p=m g = \rho V g

同样，法向力作用在柱体的下表面，大小相同，但作用在相对表面。

由于重量和法向力是垂直的，因此它们不会对柱体的侧面施加压力。

如果我们认为柱体足够扁平和轻盈，那么其重量不会产生需要由法向力平衡的作用力，此外，任何侧面的影响与其他力相比都可以忽略不计。这样，作用在物体上的总力为：

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

此力中的“+”是因为力是指向表面的。

因此，作用在浸没物体上的压力为：

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

通过此推导，我们得知流体（处于静止状态）的压力在相同深度的所有点都是相同的。这适用于液体和气体（只要它们处于静止状态），因此，如果我们考虑上方的大气柱，我们也可以谈论“大气压力”。

海平面上的大气压为

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

我们必须记住， 1[Pa] = 1[N/m^2].

将大气压力与流体由于其自身重量产生的压力相结合，我们得到静水压力

P = P_{atm} + \rho g h

相对压力

当我们测量压力时，通常是处于某种介质中。 有时介质的压力是相关的，有时则不那么重要。例如，当你测量汽车轮胎的压力时，你不需要担心加上大气压力，因为真正重要的是轮胎内外的压力差：

如果压力太高，它会膨胀过度；如果太低，它会漏气。

这就是我们为何有多种描述压力的方式。

大气压力

我们之前已经讨论过，它是我们所处介质的压力。例如，在喜马拉雅山上，大气压力可能仅为海平面压力的三分之一。它通常表示为 P_{atm} 或 P_{0}.

绝对压力

当我们考虑作用在一个物体上的所有力的总和所产生的压力时，我们称之为绝对压力。 我们之前讨论的静水压力是一种绝对压力，因为它考虑了液体重量的压力与大气压力的总和。绝对压力的另一种表达方式是“相对于真空的压力”。 我们用 P_{abs}. 来表示它。

表压和真空压力

当我们测量车辆轮胎的压力时，轮胎和测量仪器都受到周围大气的压力。因此，仪器实际上测量的是内外压力差。这种压力称为“表压”，用P_{man} 表示，并满足以下关系：

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

我们只考虑流体重量时测得的压力是表压的一个例子。如果绝对压力大于大气压力，我们测量的是表压，否则我们测量的是真空压力P_{vac}，定义类似：

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

这发生在你从注射器中抽出空气，封住空气入口/出口后再拉动活塞时；大气压力会试图将活塞推回，注射器内的压力因此为真空压力。

实际例子

一位先生刚刚建造了一座长39英尺、宽26英尺、深5.2英尺的游泳池，并且有以下问题：

1. 他买了一台泳池泵， 但回家后才想到查看制造商的规格。说明中提到，泵的表压不能超过0.193[atm]。他能将泵安装在泳池底部吗？
2. 不仅他忘了泵的规格，这位先生还有听力问题。他的耳膜不能承受超过10[N]的力。如果他的耳膜直径为1[厘米]，几乎是完美的圆形。 这位先生能在泳池底部安全潜水吗？

解决方案：

1. 1. 在这种情况下，我们可以确定泳池底部的表压仅由池中的水施加。因此，使用静止流体的压力公式，我们将得到：

      P_{man} = \rho g h

      取水的密度 \rho=997[kg/m^3], 深度转换为米 h=5.2[英尺] = 5.2\cdot 0.3048[m]，重力加速度g=9.81[m/s^2], 我们得出泳池底部的表压为

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      但1[atm] = 101.325[Pa]，因此

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      所以可以。因为泳池底部的表压低于制造商规定的0,193[atm] 泵的操作上限，因此泵将正常工作，先生没有浪费钱。

   2. 在前一部分中，我们已经计算了泳池底部的表压，但现在我们需要计算总压。没问题，只需要记住：

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

我们已经有了两者。这给我们：

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

现在我们需要知道这位先生耳膜的面积。因为耳膜大致为圆形，所以我们有：

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

我已经将圆的面积表示为直径d的函数，该直径为1[厘米]。因此：

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

最后，由于P=F/A，泳池底部压力作用在先生耳膜上的总力将是：

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

由于没有超过10[N]，差一点，他可以安全地在泳池底部潜水。这个先生真幸运。