परिचय

पिछली कक्षाओं में हमने समान रूप से त्वरित रेखीय गति का अध्ययन किया और देखा कि जब एक समान त्वरक को गति की दिशा में लागू किया जाता है तो क्या होता है। जब हम दिशा पर प्रतिबंध हटाते हैं, तो हमें समान रूप से त्वरित गति प्राप्त होती है, लेकिन अब यह रेखीय नहीं होती। इस परिदृश्य में, गति एक परवलयिक चाप पर विकसित होती है, और यहीं प्रक्षेप्य गति का अध्ययन शुरू होता है।

प्रक्षेप्य गति में, प्रारंभिक गति किसी भी दिशा में दी जाती है, जबकि त्वरक गुरुत्वाकर्षण की सामान्य दिशा का अनुसरण करता है। जब प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण सीधे ऊपर की ओर किया जाता है, तो हमें एक ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण प्राप्त होता है, जो समान रूप से त्वरित गति का एक मामला है।

प्रक्षेप्य गति का विकास

मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रक्षेप्य है जिसे जमीन से एक तोप द्वारा प्रारंभिक गति v_0 और एक झुकाव कोण \theta के साथ हवा में प्रक्षिप्त किया गया है। इस प्रक्षेप्य की गति को बिना किसी समस्या के उसके पथ की समीकरणों को दी गई जानकारी से निकालकर मॉडल किया जा सकता है। ये समीकरण निम्नलिखित हैं:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

जहां \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) प्रारंभिक वेग है, \vec{r}_0=(x_0,y_0) प्रारंभिक स्थिति है, और g=9.81[m/s^2] गुरुत्वाकर्षण का त्वरक है। अब, यदि हम पिछले पैराग्राफ को देखें, तो हमें यह पता चलेगा कि प्रक्षेप्य का वेग सीधे नहीं दिया गया है, बल्कि इसकी गति और प्रक्षेपण कोण दिए गए हैं। इस जानकारी और थोड़ी सी त्रिकोणमिति का उपयोग करके प्रारंभिक वेग को निर्धारित करना संभव है क्योंकि:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

जहां v_0 = \|\vec{v}_0\| प्रारंभिक वेग की परिमाण है। यदि हम प्रारंभिक स्थिति (x_0,y_0)=(0,0) जोड़ते हैं, तो पथ की समीकरण निम्नलिखित रूप में व्यक्त की जाती हैं:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

इसके साथ हम प्रक्षेप्य प्रक्षेपण से संबंधित कुछ सवालों का उत्तर दे सकते हैं: यह कितनी दूर जाएगा? यह कितनी ऊंचाई तक पहुंचेगा? गिरने में कितना समय लगेगा? आदि।

प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊंचाई को कैसे निर्धारित करें?

इस सवाल का उत्तर देने के लिए हमें खुद से पूछना होगा: जब प्रक्षेप्य अपनी अधिकतम ऊंचाई पर पहुंचता है तो क्या होता है? जो होता है वह यह है कि इसके वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और इसलिए:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

यह कहने के बराबर है कि:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

अर्थात, प्रक्षेप्य अधिकतम ऊंचाई पर पहुंचता है जब प्रक्षेपण के बाद t=v_0\sin(\theta)/g का समय गुजर चुका होता है। हम इसे “अधिकतम ऊंचाई का समय” कहते हैं और लिखते हैं:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

फिर, प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम ऊंचाई को प्रक्षेप्य की स्थिति के ऊर्ध्वाधर घटक में t=t_{alt.max} को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण की सीमा कैसे निर्धारित करें?

यदि आप यह जानना चाहते हैं कि प्रक्षेप्य जमीन को छूने तक कितनी दूरी तय करता है, तो आपको बस प्रक्षेप्य प्रक्षेपण से संबंधित पथ समीकरणों से पूछना है। लेकिन हम ऐसा कैसे करें? सरल: जब प्रक्षेप्य जमीन को छूता है तो क्या होता है? जो होता है वह यह है कि ऊंचाई से संबंधित स्थिति निर्देशांक शून्य हो जाती है, अर्थात:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

यहां हम प्रक्षेप्य के जमीन को छूने के समय को हल कर सकते हैं, जो दो बार होता है: प्रक्षेपण के समय और जब यह गिरता है क्योंकि इस समीकरण के संभावित समाधान हैं:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

गैर-शून्य परिणाम को हम “गिरावट का समय” कहते हैं और लिखते हैं:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

यदि आप ऊपर देखें, तो आपको यह पता चलेगा कि t_{caida} = 2t_{alt.max} क्योंकि प्रक्षेप्य को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उतना ही समय इसे अपने उच्चतम बिंदु से गिरने में लगता है। यह प्रक्षेप्य की गति में एक निश्चित समरूपता का संकेत देता है। वास्तव में, यह समरूपता पहले से ही स्पष्ट है जब आप देखते हैं कि ऊंचाई से संबंधित निर्देशांक एक परवलय का आकार लेता है।

गिरावट का समय जानने के बाद, अब यह संभव है कि जब प्रक्षेप्य जमीन को छूता है तो उसने कितनी दूरी तय की है, इसे पहली स्थिति निर्देशांक में प्रतिस्थापित करके गणना करें:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

कौन सा प्रक्षेपण कोण प्रक्षेप्य की सीमा को अधिकतम करता है?

यदि आप यह जानना चाहते हैं कि कौन सा प्रक्षेपण कोण प्रक्षेप्य की सीमा को अधिकतम करता है, या आप यह साबित करना चाहते हैं कि जो आप जानते हैं वह वास्तव में सही है, तो आपको बस हमारे द्वारा प्रदर्शित अभिव्यक्तियों में से वह लेना है जो आपको प्रश्न को गणितीय रूप में तैयार करने की अनुमति देता है। हमने पहले ही पिछले खंड में गिरावट की दूरी की गणना कर ली है, और यह प्रक्षेपण कोण का एक कार्य है:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

साइन फ़ंक्शन के दो चरम परिणाम होते हैं: +1 और -1, लेकिन हमें पहले वाले में रुचि है। \sin(2\theta)=+1 के लिए यह आवश्यक है कि 2\theta = 90^o (+2k\pi, लेकिन हम उस हिस्से को छोड़ देंगे क्योंकि हमें इसकी आवश्यकता नहीं है) और इसलिए \theta=45^o प्रक्षेपण कोण है जो सीमा को अधिकतम करता है। इस समस्या को हल करना भी संभव है यदि हम इसे एक अनुकूलन समस्या के रूप में तैयार करें (उपयोग करके इस कैलकुलस कक्षा के उपकरण) लेकिन मैंने इस रास्ते को चुना है जो तेज है और समान रूप से चित्रात्मक है।

प्रस्तावित अभ्यास

1. एक प्रक्षेप्य को जमीन से \theta=30^o के ऊंचाई कोण और v_0=70[km/h]. की प्रारंभिक गति के साथ प्रक्षिप्त किया जाता है। a) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊंचाई क्या है? b) प्रक्षेप्य ने जमीन को छूने तक कितनी दूरी तय की? c) प्रक्षेप्य को गिरने में कितना समय लगता है?
2. एक तोप जो जमीन पर रखी जाती है, 90[km/h] की गति से एक गोली दागती है। तोप को किस ऊंचाई कोण पर समायोजित करना चाहिए ताकि गोली क्षैतिज दूरी 20[m] पर गिरे?
3. पिछले अभ्यास की वही तोप अब 5[m] की ऊंचाई पर रखी जाती है। इसे समायोजित करने के लिए किस ऊंचाई कोण का उपयोग करना चाहिए ताकि गोली अभी भी क्षैतिज दूरी 20[m] पर गिरे?
4. एक बमवर्षक 3,000[m] की ऊंचाई पर 1,500[km/h] की गति से उड़ता है। यदि यह एक प्रक्षेप्य को अपने भार के कारण गिरने देता है, तो प्रक्षेप्य जमीन को छूने तक कितनी दूरी तय करेगा?